7.2 离散型随机变量及其分布列
课时2 离散型随机变量的分布列
【学习目标】 1.理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示.(数学抽象) 2.掌握离散型随机变量的分布列的性质.(数学运算) 3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布的分布列).(数学运算)
【自主预习】
1.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率
2.离散型随机变量X的概率能为负值吗
3.离散型随机变量的分布列的概率和是多少
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实数. ( )
(2)在离散型随机变量的分布列中,在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积. ( )
(3)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象. ( )
(4)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1. ( )
2.(原创)某一随机变量ξ的概率分布如下表,且a-b=0.3,则a的值为( ).
ξ 7 8 9 10
P a 0.2 b 0.1
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.1
3.下列表中,可以作为离散型随机变量的分布列的是( ).
A.
ξ 1 0 1
P
B.
ξ 0 1 2
P -
C.
ξ 0 1 2
P
D.
ξ -1 0 1
P
4.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 2a 3a 5a
则a= ,P(X≥1)= .
【合作探究】
离散型随机变量的分布列
一个瓶子中装有5个球,编号分别为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个球,用X表示取出的3个球中的最大编号数.
问题1:随机变量X的可能取值是什么
问题2:试求X取不同值的概率.
问题3:你能用表格表示X与P的对应关系吗
定义:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=Pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
离散型随机变量的分布列还可以用 表示.
一袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出的3个球中的最大编号数.
(1)求X的分布列;
(2)求X的取值不小于4的概率.
【方法总结】求离散型随机变量X的分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值; (2)再求出每个取值对应的概率; (3)最后列表对应,即得分布列.
为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克),测量数据如下:
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 177 180
y 75 80 77 70 81
若产品中的微量元素x,y满足x≥177且y≥79,则该产品为优等品.现从上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数X的分布列.
离散型随机变量分布列的性质
问题:若该表格为离散型随机变量的分布列,则m为何值
X 1 2 3 4
P m
离散型随机变量分布列的性质:
(1)pi 0,i=1,2,…,n;
(2)pi= .
设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X -1 0 1
P 1-2q q2
(1)求q的值;
(2)求P(X<0),P(X≤0)的值.
【方法总结】分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求出参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
设随机变量X满足P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)= .
设随机变量X的分布列为PX==ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥;
(3)求P
两点分布
问题:在现实生活中,抽取的奖券是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些现象有什么共同点
一般地,若随机变量X的分布列是
X 0 1
P 1-p p
则称这个随机变量服从参数为p的 (或0-1分布).
袋内有10个白球和5个红球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列.
【方法总结】两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0; (3)由对立事件的概率求法可知,已知P(X=0)(P(X=1)),便可求出P(X=1)(P(X=0)); (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,那么就可以利用两点分布来研究它.
已知一批200件的待出厂产品中有1件次品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列
【随堂检测】
1.设离散型随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3 4
P p
则p的值为( ).
A. B. C. D.
2.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
3.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)= .
4.设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.
(1)设“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本样本点;
(2)设ξ=m2,求ξ的分布列.
参考答案
课时2 离散型随机变量的分布列
自主预习·悟新知
预学忆思
1.离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
2.不能,离散型随机变量X的概率都大于或等于0.
3.概率和为1.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.B 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得a+b+0.3=1,又a-b=0.3,解得a=0.5,b=0.2.
3.D 【解析】本题考查分布列的概念及性质,即ξ的取值应互不相同,且P(ξi)≥0,i=1,2,…,n,P(ξi)=1.
A中,ξ的取值重复了;B中,P(ξ=0)=-<0;C中,P(ξi)=++=>1.
故选D.
4. 【解析】由2a+3a+5a=1,解得a=,
∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:X=3,4,5.
问题2:P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)===.
问题3:能,X与P的对应关系可表示为
X 3 4 5
P
新知生成
表达式、图象
新知运用
例1 【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(2)X的取值不小于4的概率P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++=.
巩固训练 【解析】由题意知,5件抽测品中有2件优等品,则X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==0.3,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.1.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
探究2 情境设置
问题:由离散型随机变量分布列的性质可知,+m++=1,解得m=.
新知生成
(1)≥ (2)1
新知运用
例2 【解析】(1)由分布列的性质得解得q=1-.
(2)P(X<0)=P(X=-1)=;
P(X≤0)=P(X=-1)+P(X=0)=+1-21-=-.
巩固训练1 【解析】由已知得随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
∴++=1,∴k=.
∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=.
巩固训练2 【解析】依题意,随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)(法一)PX≥=PX=+PX=+P(X=1)=++=.
(法二)PX≥=1-PX≤=1-+=.
(3)因为探究3 情境设置
问题:这些现象的共同点是随机试验只有两个可能的结果.定义一个随机变量,使其中一个结果对应于1,另一个结果对应于0,即得到服从两点分布的随机变量.
新知生成
两点分布
新知运用
例3 【解析】由题设可知,X服从两点分布,
P(X=0)==,
∴P(X=1)=1-P(X=0)=1-=.
∴X的分布列为
X 0 1
P
巩固训练 【解析】由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1
P
随堂检测·精评价
1.C 【解析】由分布列的性质可知p=1---=.
2.C 【解析】由随机变量X的分布列,知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X3.0.8 【解析】因为Y=3X-2,所以当Y=-2时,X=0,
所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.
4.【解析】(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.
因为m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,
所以事件A包含的基本样本点为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)因为m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,且m取各值的概率相等,为,
所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=4)==,P(ξ=9)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P7.2 离散型随机变量及其分布列
课时1 离散型随机变量
【学习目标】 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.(数学抽象) 2.了解随机变量与函数的区别与联系.(数学抽象) 3.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其意义.(数学抽象、数学建模)
【自主预习】
1.如何来表示离散型随机变量
2.随机变量与函数有怎样的关系
3.离散型随机变量的取值必须是有限个吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“出现正面的次数”为随机变量. ( )
(3)离散型随机变量的取值是任意的实数. ( )
2.下列变量中,是离散型随机变量的是( ).
A.到2022年10月1日止,我国发射的人造地球卫星数
B.一只刚出生的大熊猫,一年以后的身高
C.某人在车站等出租车的时间
D.某人投篮10次,可能投中的次数
3.若袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为( ).
A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7
C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5
4.已知在一次比赛中,需回答四个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答错误得-100分.则选手甲回答这四个问题的总得分ξ的取值集合是 .
【合作探究】
随机变量的概念
问题1:掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示.那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢
问题2:在掷骰子和掷硬币的随机试验中,试验结果可以一一列举出来吗 若用X表示电灯泡的使用寿命,则X的值可以一一列举出来吗
问题3:随机变量与函数有什么关系
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 .随机变量一般用大写英文字母 , , ,…表示,用小写英文字母 , , ,…来表示随机变量的取值.随机变量所有可能取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围.
(1)若6件产品中有2件次品与4件正品,从中任取2件,则下列可作为随机变量的是( ).
A.取到产品的件数 B.取到正品的件数
C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
(2)判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
①北京国际机场候机厅明天的旅客数量;
②2025年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数;
③2025年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间;
④体积为1 000 cm3的球的半径长.
【方法总结】随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果具有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,那么该变量为随机变量.
判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)某天某公司客服接到咨询电话的个数;
(2)标准大气压下,水沸腾的温度;
(3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,某人的一件作品获得的奖次;
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长.
离散型随机变量
问题1:在一块地里种10棵树苗,设成活的树苗棵树为X,则X取哪些值
问题2:抛掷一枚质地均匀的骰子,出现向上的点数为ξ,则“ξ≥4”表示的随机事件是什么
1.定义:可能取值为有限个或可以 的随机变量,我们称为离散型随机变量.
2.特征:(1)可用数值表示;(2)试验之前可以判断其出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值;(4)试验结果能一一列出.
(多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白球,每次从中摸1个球,摸出后再放回口袋中,摸到红球记2分,摸到白球记1分,共摸球3次.设所得分数为随机变量ξ,若P(ξ=3)=,则ξ的取值可能为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【方法总结】离散型随机变量判定的关键及方法 (1)关键:判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出. (2)具体方法: ①明确随机试验的所有可能结果; ②将随机试验的试验结果数量化; ③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题.比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是 .
随机变量之间的关系
一个袋中装有8个红球、3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X.
问题:若规定取出一个红球积2分,而取出一个白球扣1分,以ξ表示累积得分,则结果如何
一般地,如果X是一个随机变量,a,b是常数且a≠0,那么Y=aX+b也是一个随机变量.由于X=t的充要条件是Y=at+b,故P(X=t)=P( ).
一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个球,其中所含白球的个数为X.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;
(2)若规定取3个球,每取到1个白球加5分,取到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.
设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X表示一次试验的成功次数,则X的值可以是( ).
A.2 B.1或2
C.0或1 D.0或1或2
已知Y=2X为离散型随机变量,Y的所有可能取值所构成的集合为{1,2,3,4,…,10},则X的可能取值为 .
【随堂检测】
1.下列随机变量X不是离散型随机变量的是( ).
A.某网站一天的点击量为X
B.某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C.某电子元件的寿命为X
D.某高中每年参加高考的人数为X
2.袋中装有10个红球和5个黑球,每次从中随机摸取1个球,若取得黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若摸球的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是( ).
A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5
3.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得2分,回答错误倒扣1分.记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ,则ξ的所有可能取值构成的集合是 .
4.已知随机变量X的取值范围为{1,2,3},且满足P(X=i)=(i=1,2,3),随机变量Y=2X-1,则P(Y≥3)= .
参考答案
7.2 离散型随机变量及其分布列
课时1 离散型随机变量
自主预习·悟新知
预学忆思
1.随机变量常用大写字母表示,例如X,Y,Z.
2.
相同点 随机变量和函数都是一种映射
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域
3.不是.离散型随机变量的取值可以是有限个,例如取值为1,2,…,n;也可以是无限个,如取值为1,2,…,n,….
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.D 【解析】选项A中的结果是定值,所以不是随机变量;选项B,C的数值可以是区间内的任一实数,所以不是离散型随机变量;选项D中,投篮10次,可能投中的次数是离散型随机变量.
3.B 【解析】由题意可知,X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.
4.{400,200,0,-200,-400} 【解析】由题意知,有全对、三对一错、两对两错、一对三错、全错五种结果,相应得分依次为400分、200分、0分、-200分、-400分.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:可以.例如可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.
问题2:掷骰子和掷硬币的试验结果可以一一列举出来,而电灯泡的使用寿命X不能一一列举.
问题3:随机变量的定义与函数的定义类似,这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量,而样本空间Ω相当于函数的定义域,不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化,这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
新知生成
随机变量 X Y Z x y z
新知运用
例1 (1)B 【解析】(1)A中取到的产品的件数是一个常量,C,D都是一个定值,而B中取到正品的件数可能是0,1,2,故B是随机变量.
(2)①旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
②所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
③动车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量.
④球的体积为1 000 cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.
巩固训练 【解析】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(2)标准大气压下,水沸腾的温度为100 ℃,是定值,所以不是随机变量.
(3)获得的奖次可能是一、二、三等奖,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm,是定值,所以不是随机变量.
探究2 情境设置
问题1:X=0,1,2,3,…,10.
问题2:“ξ≥4”表示出现向上的点数为4,5,6.
新知生成
1.一一列举
新知运用
例2 BCD 【解析】口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n个白球,每次从中摸1个球,摸出后再放回口袋中,∴摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,又ξ=3表示这3次摸到的都是白球,且P(ξ=3)=,
∴3=,解得n=3,
∴ξ的取值可能为3,4,5,6.故选BCD.
巩固训练 -1,0,1,2,3 【解析】X=-1表示甲队抢到1题且答错,乙队抢到2题均答错;
X=0表示甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题或甲队抢到2题且答对1题答错1题,乙队抢到1题且答错;
X=1表示甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题或甲队抢到3题且答对其中的2题,乙队没有抢到题;
X=2表示甲队抢到2题均答对;
X=3表示甲队抢到3题均答对.
故X的可能取值是-1,0,1,2,3.
探究3 情境设置
问题:“ξ=10”表示“取出的5个球全是红球”;“ξ=7”表示“取出1个白球,4个红球”;“ξ=4”表示“取出2个白球,3个红球”;“ξ=1”表示“取出3个白球,2个红球”.
新知生成
Y=at+b
新知运用
例3 【解析】(1)可能出现的结果与对应的X的值如表所示:
X 0 1 2 3
结果 取得3 个黑球 取得1个白 球2个黑球 取得2个白 球1个黑球 取得3 个白球
(2)由题意可得Y=5X+6,而X可能的取值为0,1,2,3,所以Y对应的各值是6,11,16,21.
故Y的可能取值为6,11,16,21,显然Y为离散型随机变量.
巩固训练1 C 【解析】这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件,对一次试验的成功次数没有影响,故X的可能取值有两种,即0,1.
巩固训练2 ,1,,2,,3,,4,,5 【解析】由Y=2X,得X=Y.
因为Y的取值为1,2,3,4,…,10,所以对应的X的取值为,1,,2,,3,,4,,5.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】选项A,B,D中的随机变量X的可能取值,都可以一一列出,故它们都是离散型随机变量;选项C中的X可以取某一区间内的任意值,无法一一列出,故其不是离散型随机变量.
2.C 【解析】“放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,所以ξ=6.故选C.
3.{-3,0,3,6} 【解析】三个问题回答完,其回答的可能结果有三个全对、两对一错、两错一对、三个全错,故得分的可能情况是6分、3分、0分、-3分,所以ξ的所有可能取值构成的集合为{-3,0,3,6}.
4. 【解析】由题意可知P(Y≥3)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.