7.3 离散型随机变量的数字特征
课时1 离散型随机变量的均值
【学习目标】 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.(数学抽象) 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(逻辑推理、数学运算) 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量
2.随着样本容量的增加,样本的平均值与总体的平均值有什么关系
3.对于n个数x1,x2,…,xn,称=(x1+x2+…+xn)为这n个数的平均数,如何从随机变量的角度看这个问题
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机变量的均值反映了样本的平均水平. ( )
(2)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4. ( )
(3)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=P(X=1). ( )
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E(X)=( ).
A. B.2 C. D.3
3.若随机变量Y=aX+3,且E(Y)=,E(X)=-,则a= .
4.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止.
求:(1)抽取次数X的分布列;
(2)平均抽取多少次可取到好电池.
【合作探究】
离散型随机变量的均值
某商场要将单价分别为18元/千克,24元/千克,36元/千克的3种糖果按质量3∶2∶1的比例混合销售.
问题1:如何对混合糖果定价才合理
问题2:什么是权数 什么是加权平均
问题3:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗
离散型随机变量的均值
设离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.
一个袋子中装有6个黑球,2个白球,它们除颜色外其他完全相同.现每次从袋中不放回地随机取出1个球,直到2个白球都被取出为止,以X表示袋中还剩下的黑球个数.
(1)记事件Ak表示“第k次取出的是白球”,k=1,2,…,8,求P(A5|A2);
(2)求X的分布列和数学期望.
【方法总结】求离散型随机变量ξ的均值的步骤:(1)根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每个值的概率;(3)写出ξ的分布列;(4)利用定义求出均值.其中第(1)(2)步是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重应用概率的相关知识.
某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望.
期望的性质与应用
已知随机变量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
问题1:求m的值.
问题2:求E(X).
问题3:若Y=aX+b,则E(X)与E(Y)之间有什么关系
问题4:若Y=2X-3,求E(Y).
期望(均值)的性质
(1)若X为常数C,则E(X)=C.
(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
一、离散型随机变量均值的性质
已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P 0.64 q2 1-2q
则E(-2X+3)=( ).
A.1.88 B.1.72 C.1.56 D.1.4
【方法总结】求线性关系的随机变量η=aξ+b的均值方法 (1)定义法:先列出η的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b,求解即可.
已知X的分布列为
X -1 0 1
P a
设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是( ).
A.- B. C.1 D.
二、均值的实际应用
随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而生产1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(X的均值);
(3)经技术革新后,仍有四个等级(一等品、二等品、三等品、次品)的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
【方法总结】解答概率模型的三个步骤 (1)建模:把实际问题转化为概率模型. (2)解模:确定分布列,计算随机变量的均值. (3)回归:利用所得数据,对实际问题作出判断.
受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x/年 0
2 02
轿车数量/辆 2 3 45 5 45
每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9
将频率作为概率,解答下列问题.
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取1辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产1辆甲品牌轿车的利润为X1万元,生产1辆乙品牌轿车的利润为X2万元,分别求X1,X2的分布列.
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为该厂应该生产哪种品牌的轿车 请说明理由.
两点分布的期望
两点分布的期望:一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)= .
已知离散型随机变量X服从两点分布,满足P(X=0)=,且P(X=0)A. B. C. D.
【方法总结】两点分布的特点 (1)两点分布只有两个对应结果,且两个结果是对立的; (2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.
已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2P(X=1)+,求随机变量Y=3X-1的期望.
【随堂检测】
1.已知Y=4X+7,E(Y)=15,则E(X)=( ).
A.67 B.11 C.2 D.1
2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,则E(X)的值为( ).
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
3.已知随机变量X的可能取值为0,1,若P(X=0)=,则X的均值为 .
4.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
x 1 2 3
P(ξ=x) !
请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“ ”处字迹模糊,但能断定这两个“ ”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)= .
参考答案
7.3 离散型随机变量的数字特征
课时1 离散型随机变量的均值
自主预习·悟新知
预学忆思
1.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.
2.随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的平均值.
3.设X为从这n个数中任取的一个数,则X所有可能的取值为x1,x2,…,xn,故X的分布列为P(X=)=(i=1,2,…,n),用表格表示如下:
X x1 x2 x3 … xn
P …
E(X)=x1·+x2·+x3·+…+xn·=(x1+x2+…+xn).
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√
2.A 【解析】E(X)=1×+2×+3×=.
3.2 【解析】∵E(X)=-,E(Y)=,Y=aX+3,
∴E(Y)=aE(X)+3=,解得a=2.
4.【解析】(1)由题意知,X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)E(X)=1×+2×+3×=1.5,即平均抽取1.5次可取到好电池.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:因为平均在每千克的混合糖果中,3种糖果的质量分别是千克,千克和千克,所以混合糖果的合理价格应该是18×+24×+36×=23(元/千克).它是3种糖果价格的一种加权平均,这里3种糖果的权数分别是,和.
问题2:权是秤锤,权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时,考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同,分别给予不同的权数.
问题3:根据古典概型计算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为,,,即取出的这颗糖果的价格为18元/千克,24元/千克,36元/千克的概率分别为,,.用X表示这颗糖果的价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为
X 18 24 36
P
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
新知运用
例1 【解析】(1)依题意得P(A2)==,P(A2A5)==.
由条件概率公式可知,P(A5|A2)===.
(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)==,
P(X=3)===,P(X=4)==,P(X=5)===,P(X=6)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
故数学期望E(X)=×0+×1+×2+×3+×4+×5+×6=2.
巩固训练 【解析】(1)7名同学中,会法语的人数为5,
从7人中选派3人,共有种选法,其中恰有2人会法语共有种选法,
∴在选派的3人中恰有2人会法语的概率P==.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
探究2 情境设置
问题1:由随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=.
问题2:E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
问题3:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
问题4:(法一)因为Y=2X-3,
所以Y的分布列为
Y -7 -5 -3 -1 1
P
所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
(法二)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×--3=-.
新知运用
例2 A 【解析】由题意可得0.64+1-2q+q2=1,解得q=0.4或q=1.6.
当q=1.6时,q2=2.56>1,1-2q=-2.2<0,不符合随机变量的性质,舍去,
所以q=0.4.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
所以E(X)=0×0.64+1×0.16+2×0.2=0.56,
所以E(-2X+3)=-2E(X)+3=1.88.故选A.
巩固训练 B 【解析】由题意可得++a=1,解得a=,
所以随机变量X的期望E(X)=-1×+0×+1×=-,
由Y=2X+1,得E(Y)=2E(X)+1=2×-+1=.
例3 【解析】(1)X的所有可能取值为6,2,1,-2,
P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25,
P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)由(1)可知,E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),
依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.
巩固训练 【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==.
(2)依题意得,X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
(3)该厂应生产甲品牌的轿车,理由如下:
由(2)得,E(X1)=1×+2×+3×=2.86.
E(X2)=1.8×+2.9×=2.79.
∵E(X1)>E(X2),∴该厂应生产甲品牌的轿车.
探究3
新知生成
p
新知运用
例4 C 【解析】因为随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,
即P(X=1)+=1,解得P(X=1)=或,
又因为P(X=0)所以E(X)=.故选C.
巩固训练 【解析】因为随机变量X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,
又P(X=0)=2P(X=1)+,所以P(X=0)=,P(X=1)=,
所以E(X)=0×+1×=,故E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=-1=-.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】E(Y)=4E(X)+7=15,则E(X)=2.
2.A 【解析】E(X)=1×+2×+3×+4×=2.5.
3. 【解析】由题意可得,X服从两点分布,P(X=1)=1-P(X=0)=1-=,
故E(X)=0×+1×=.
4.2 【解析】令“ ”为a,“!”为b,则2a+b=10课时2 离散型随机变量的方差
【学习目标】 1.通过具体实例,理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.(数学抽象、数学运算) 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,但有时两个随机变量的均值相同,其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢
2.方差与标准差刻画了随机变量的什么特征
3.随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定. ( )
(2)若a是常数,则D(a)=0. ( )
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离均值的平均程度. ( )
(4)D(X)=E((X-E(X))2). ( )
2.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知随机变量X的方差D(X)=,则X的标准差为 .
4.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
【合作探究】
离散型随机变量的方差和标准差
要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩纪录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
问题1:E(X1),E(X2)各为何值
问题2:能否根据X1和X2的均值来决定派哪名同学参赛
问题3:除平均中靶环数外,还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗
问题4:如何定量刻画随机变量的稳定性
方差与标准差
若离散型随机变量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,记作σ(X).
随机变量的方差D(X)和标准差σ(X)都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设事件A为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望与方差.
【方法总结】求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部取值;(2)求X取每个值时的概率;(3)写出X的分布列;(4)计算E(X),D(X).
袋中有形状、大小完全相同的3个球,编号分别为1,2,3.有放回地从袋中取两次,每次取1个球,以X表示取出的2个球中的最大号码.
(1)写出X的分布列;
(2)求X的均值与方差.
离散型随机变量的方差的性质
问题:离散型随机变量X加上一个常数,方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘一个常数,方差又有怎样的变化
方差的性质:D(X)= ;
D(aX+b)= .
已知X的分布列如下:
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列;
(2)求X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
【方法总结】求随机变量Y=aX+b方差的方法:一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是利用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
已知随机变量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P
(1)求E(ξ),D(ξ),;
(2)设η=2ξ+3,求E(η),D(η).
离散型随机变量的均值与方差的综合应用
A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出现次品的概率如下表:
A机床
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B机床
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
问题1:如何求E(X1),E(X2)的值
问题2:由E(X1),E(X2)的值能比较两台机床的加工质量吗 为什么
问题3:利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤:
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁发挥的水平相对稳定.
(3)下结论.依据均值与方差的几何意义作出结论.
为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的分布列;
(2)求X,Y的数学期望与方差,以此比较甲、乙的射击水平并从中选拔一人参加奥运会.
【方法总结】均值体现了随机变量取值的平均水平,在比较两个对象时,只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们取值的离散程度,即比较方差,才能得出更准确的判断.
某投资公司计划在2025年年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为,.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
针对以上两个投资项目,请你为该投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
【随堂检测】
1.已知随机变量ξ满足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( ).
A.0.6,0.7 B.1.7,0.09
C.0.3,0.7 D.1.7,0.21
2.已知随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b
若E(X)=,则D(X)的值是( ).
A. B.
C. D.
3.已知随机变量X服从两点分布,其中P(X=1)=,若Y=2X+3,则D(Y)= .
4.(改编)甲、乙两厂生产的产品的质量误差分别为X,Y(单位:秒),其分布列为
甲厂生产的产品质量误差的分布列
X -1 0 1
P a 0.8 0.1
乙厂生产的产品质量误差的分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 b 0.1
(1)求a,b的值.
(2)甲、乙两厂生产的产品哪个质量更好
参考答案
课时2 离散型随机变量的方差
自主预习·悟新知
预学忆思
1.利用方差可以研究这种差异.
2.随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度,D(X)(或)越小,稳定性越好,波动越小,取值越集中.显然D(X)≥0(≥0).
3.样本的方差可能随着样本的不同而变化,因此它是一个变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数(量).对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体的方差.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.C 【解析】D(2X+1)=22D(X)=4×1=4.
3. 【解析】X的标准差==.
4.【解析】E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:E(X1)=8,E(X2)=8.
问题2:不能.
问题3:有,可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击水平.
问题4:利用方差来刻画随机变量的稳定性.
新知运用
例1 【解析】(1)由已知得P(A)==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
巩固训练 【解析】(1)由题意可知X的所有可能取值为1,2,3,且有放回地从袋中取两次,每次取1个球的所有情况为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
故P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)由(1)可得,E(X)=1×+2×+3×=,
D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.
探究2 情境设置
问题:离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移,不改变X与其均值的离散程度,方差保持不变.离散型随机变量X乘一个常数a,其方差变为原方差的a2倍.
新知生成
E(X2)-(E(X))2 a2D(X)
新知运用
例2 【解析】(1)由分布列的性质,知++a=1,解得a=,所以X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)(法一:直接法)由(1)知a=,
所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-,
故D(X)=-1+2×+0+2×+1+2×=.
(法二:公式法)由(1)知a=,所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-,又E(X2)=0×+1×=,所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=--2=.
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=16D(X)=11.
巩固训练 【解析】(1)E(ξ)=(-1)×+0×+1×=-,
D(ξ)=-1+2×+0+2×+1+2×=,
所以=.
(2)因为η=2ξ+3,所以E(η)=2E(ξ)+3=2×-+3=,D(η)=22D(ξ)=4×=.
探究3 情境设置
问题1:E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44.
E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
问题2:不能.因为E(X1)=E(X2),所以根据均值不能比较两台机床的加工质量.
问题3:可利用方差,方差越小,说明机床加工的产品质量越稳定.
新知运用
例3 【解析】(1)依题意,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2,
∴X的分布列为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y的分布列为
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高,
D(X)所以甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加奥运会.
巩固训练 【解析】选择项目一更好.理由如下:
设投资项目一、二获利分别为X,Y万元,
则X的所有可能取值有30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=,
Y的所有可能取值有50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=,
所以E(X)=30×+(-15)×=20,E(Y)=50×+(-30)×+0×=20,
所以E(X)=E(Y).
D(X)=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,
D(Y)=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1 400,则D(X)这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等,但项目一更稳妥,因此,选择项目一较好.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】E(ξ)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(ξ)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
2.C 【解析】由分布列的性质可知a+b+=1,∴a+b=.由E(X)=-a+=,解得a=,b=,∴D(X)=-1-2×+0-2×+1-2×=.
3. 【解析】根据两点分布的特点得P(X=0)=,
则E(X)=1×+0×=,D(X)=×+×=.
根据方差的性质得D(Y)=22×=.
4.【解析】(1)由分布列的性质知,a+0.8+0.1=1,解得a=0.1,由0.1+0.2+0.4+b+0.1=1,解得b=0.2.
(2)由表知E(X)=(-1)×0.1+0×0.8+1×0.1=0,E(Y)=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,
所以E(X)=E(Y),即甲、乙两厂生产的产品质量误差的均值相同.
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.8+12×0.1=0.2,D(Y)=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,
所以D(X)综上,甲、乙两厂生产的产品质量误差的均值相同,但甲的方差较小,所以甲厂生产的产品质量更好.