7.4 二项分布与超几何分布
课时2 超几何分布
【学习目标】 1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.(数学抽象、数学运算) 2.能用超几何分布解决简单的实际问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.超几何分布模型是不是一种有放回抽样
2.超几何分布模型在形式上有怎样的特点
3.你能写出超几何分布的概率表示吗
4.超几何分布的期望公式是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在产品检验中,超几何分布描述的是有放回抽样. ( )
(2)从4名男演员和3名女演员中随机选出4名演员,其中所选女演员的人数X服从超几何分布. ( )
(3)在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不同值m时的概率P(X=m). ( )
2.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( ).
A. B. C. D.
3.15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于的是( ).
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
4.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列;
(2)他能及格的概率.
【合作探究】
超几何分布
已知一箱节能灯共100个,其中有8个次品.
问题1:有放回地随机抽取4个,设抽取的4个节能灯中次品数为X,求随机变量X的分布列.
问题2:如果采用不放回抽样,那么抽取的4个节能灯中次品数X是否也服从二项分布
问题3:采用不放回抽样,如果不服从二项分布,那么X的分布列是什么
超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示取出的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中M≤N,n≤N,n,N,M∈N*,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
若随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
一、超几何分布的判断
(多选题)一箱儿童玩具中有3件正品,2件次品,现从中不放回地任取2件进行检测.记随机变量X为检测到的正品的件数,则( ).
A.X服从二项分布
B.P(X≥1)=
C.E(X)=
D.X最有可能的取值为1
【方法总结】判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点: (1)总体是否可分为两类明确的对象; (2)是否为不放回抽样; (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
(改编)(多选题)一个袋子中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球(取后不放回),则下列变量服从超几何分布的是( ).
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.X表示取出的白球个数
D.取出1个黑球记2分,取出1个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分减去4的差值
二、超几何分布概率求解
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的学生中随机抽取3名男生和3名女生组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4名参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列.
【方法总结】求超几何分布的分布列的步骤
不透明的袋子中装有6个红球,3个黄球,这些球除颜色外其他完全相同.从袋子中随机取出4个小球.
(1)求取出的红球个数大于黄球个数的概率;
(2)记取出的红球个数为X,求X的分布列.
超几何分布的期望
根据《关于全面推行中国特色企业新型学徒制 加强技能人才培养的指导意见》的通知,我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训,深化产教融合,校企合作,学徒培养以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2024年度某企业共需要学徒制培训200人,培训结束后进行考核,现对考核取得相应岗位证书进行统计,统计情况如下表:
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师
人数 20 60 60 40 20
问题1:现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团,则交流团中取得技师类(包括技师和高级技师)岗位证书的人数是多少
问题2:再从问题1选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言,记这3人中技师类的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
问题3:问题2中计算X的期望比较复杂,我们知道服从二项分布的期望可以用简洁的公式求解,服从超几何分布是否有相关的公式呢
超几何分布的期望
E(X)==np(p为N件产品的次品率).
某厂家生产了两批同种规格的芯片,第一批占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在将两批芯片混合,工作人员从中抽样检查.
(1)从混合的芯片中任取1片,求这个芯片是合格品的概率;
(2)若在两批产品中采取分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为15的样本,再从样本中抽取3片芯片,求这3片芯片含第二批芯片数X的分布列和数学期望.
【方法总结】超几何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同k值时的概率P(X=k),从而求出X的分布列、期望,利用公式时注意期望公式中各量的意义.
某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.
二项分布与超几何分布
二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
区别 ①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; ②当这n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布
联系 在不放回的n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,那么此时超几何分布可近似为二项分布
已知条件①采用不放回抽取;②采用有放回抽取.请在上述两个条件中任选一个,补充在下面问题中横线上并作答,选两个条件作答的以条件①评分.
问题:在一个口袋中装有3个红球和4个白球,这些球除颜色外完全相同,若 ,从这7个球中随机抽取3个球,记取出的3个球中红球的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【方法总结】超几何分布需要知道总体容量,二项分布不需要知道总体容量,但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题,二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率.
(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1:不分类卖出,售价为20元/kg.
方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下.
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价/(元/kg) 16 18 22 24
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案
(3)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望.
【随堂检测】
1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选的3人中女生的人数,则P(ξ≤1)=( ).
A. B.
C. D.
2.(改编)(多选题)中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等,是中国民间的传统节日.中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗活动,流传至今,经久不息.一个食盒中装有大小相同的五仁月饼6个,豆沙月饼4个,小明同学从中一次性任取4个月饼,设取出的4个月饼中豆沙月饼的个数为X,则( ).
A.P(X=2)=
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.P(1
3.某10人组成兴趣小组,其中有5名团员,从这10人中任选4人参加某项活动,用X表示所选的4人中团员的人数,则P(X=3)= .
4.一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中有3个红球和(n-3)个白球.已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为.若不放回地从口袋中随机取出3个球,求取到白球的个数X的数学期望E(X).
参考答案
课时2 超几何分布
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不是,超几何分布模型是一种不放回抽样.
2.超几何分布模型在形式上常由较明显的两部分组成,如“男生、女生”,“正品、次品”等.
3.假设一批产品共有N件,其中有M(M≤N)件次品,从N件产品中随机抽取n(n≤N)件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则P(X=k)=,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N.
4.超几何分布的期望E(X)==np(p为N件产品的次品率).
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√
2.A 【解析】由题意得,所求概率为=.
3.C 【解析】15个村庄中,7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个交通方便的村庄,故P(X=4)=.
4.【解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:如果采用有放回抽样,那么每次抽到次品的概率均为0.08,且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X~B(4,0.08).X的分布列为P(X=k)=×0.08k×0.924-k,k=0,1,2,3,4.
问题2:采用不放回抽样,每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合n重伯努利试验的特征,因此X不服从二项分布.
问题3:可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4.从100个产品中任取4个,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.其中4个产品中恰有k个次品的结果数为.由古典概型的知识得,X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.计算的具体结果(精确到0.000 01)如表所示.
X 0 1 2 3 4
P 0.712 57 0.256 21 0.029 89 0.001 31 0.000 02
新知运用
例1 BCD 【解析】由题意可知,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则X的分布列为
X 0 1 2
P
X服从超几何分布,而不是二项分布,A错误;P(X≥1)=1-P(X=0)=,B正确;E(X)=0×+1×+2×=,C正确;因为P(X=1)最大,所以X最有可能的取值为1,D正确.故选BCD.
巩固训练 CD 【解析】根据超几何分布的定义可知,选项A,B中的变量不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故A,B错误;选项C中的变量符合超几何分布的定义,将白球视作甲类物品,黑球视作乙类物品,则可以用超几何分布的数学模型计算概率,故C正确;选项D中的变量可以对应取出的黑球个数,符合超几何分布的定义,可以用超几何分布的数学模型计算概率,故D正确.故选CD.
例2 【解析】(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为=.
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-=.
(2)根据题意知,X的所有可能取值为1,2,3.
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
巩固训练 【解析】(1)袋子中装有6个红球,3个黄球,现从中任意取出4个小球,基本事件总数N==126,
其中红球个数大于黄球个数的基本事件个数n=+=75,
故红球个数大于黄球个数的概率P===.
(2)若变量X为取出的4个小球中红球的个数,则X的所有可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)===.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
探究2 情境设置
问题1:从200人中采用分层随机抽样的方式选出10人,则抽样比是=,
故一共应该抽取的技师和高级技师的人数是(40+20)×=3.
问题2:根据问题1中所求可知,10人中有3人是技师类,7人是非技师类,
则从10人中抽取3人,技师类的人数X可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)==,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
问题3:有,E(X)==np=3×=.
新知运用
例3 【解析】(1)设事件B为“任取1片芯片是合格品”,事件A1为“芯片取自第一批”,事件A2为“芯片取自第二批”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(A1)+P(A2)P(A2)=0.6×(1-0.06)+0.4×(1-0.05)=0.944.
(2)由题意可知,用分层随机抽样的方法抽取的第一批芯片数是15×60%=9,第二批芯片数是15×40%=6.
X可能的取值为0,1,2,3,
则P(X=0)===,
P(X=1)==,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=3×=.
巩固训练 【解析】(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==,所以选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为.
(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=k)=(k=0,1,2,3),
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
所以E(X)==.
探究3
新知运用
例4 【解析】若选①,由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
若选②,由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B3,,
∴P(X=0)=1-3=,P(X=1)=××1-2=,P(X=2)=×2×1-=,P(X=3)=3=,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=.
巩固训练 【解析】(1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到的是礼品果”为事件A,则P(A)==.
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B4,,
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=2×2=.
(2)设方案2中1 kg水果的售价为Y元,
则E(Y)=16×+18×+22×+24×==20.6.
∵E(Y)>20,∴从采购商的角度考虑,应该采用方案1.
(3)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,其中精品果4个,非精品果6个.
易知X服从超几何分布,X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.
2.ACD 【解析】由题意知,随机变量X服从超几何分布,B错误,C正确;因为P(X=2)==,P(X=3)==,所以P(13. 【解析】P(X=3)==.
4.【解析】∵从口袋中随机取出1个球是红球的概率为,
∴=,得n=5,∴5个球中有2个白球.
∵是不放回抽样,易知X服从超几何分布,即从5个大小相同的球(其中3个红球和2个白球)中,随机抽取3个球,
∴E(X)==.7.4 二项分布与超几何分布
课时1 二项分布
【学习目标】 1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.(数学抽象) 2.能用二项分布解决简单的实际问题.(数学运算、数据分析)
【自主预习】
1.我们前面学过两点分布,你能写出它的分布列吗 你还记得二项展开式的通项公式吗
2.n重伯努利试验具有哪些共同特征
3.二项分布与两点分布有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的. ( )
(2)n重伯努利试验每次试验中的每个基本事件只有发生与不发生两种结果. ( )
(3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的. ( )
(4)在n重伯努利试验中,各次试验中某事件发生的概率可以不同. ( )
2.连续任意抛掷3枚质地均匀且相同的硬币,恰有2枚正面朝上的概率为( ).
A. B. C. D.
3.若X~B(24,0.6),则P(X=7)=( ).
A.×0.67×0.417 B.×0.617×0.47 C.0.67×0.417 D.0.617×0.47
4.某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过三次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 .
【合作探究】
n重伯努利试验
“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率P1=0.3;同时,有n个水平相同的人组成智囊团也在研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1.
问题1:现在李某单独研究项目M,且智囊团由2个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
问题2:现在李某单独研究项目M,且智囊团由5个人组成,也同时研究项目M,试比较李某和智囊团解决项目M的概率.
问题3:智囊团至少有几人才能使他们解决项目M的概率大于李某独自解决项目M的概率
问题4:上述试验有什么特征
1.n重伯努利试验的概念
一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,则称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
2.n重伯努利试验中,试验成功的概率分布
一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p(0n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率;
(2)5次预报中至少有2次准确的概率;
(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.
【方法总结】在运用n重伯努利试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(要么发生,要么不发生),且在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率.
(多选题)下列事件不是n重伯努利试验的是( ).
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下,甲射击10次
甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是,.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
二项分布
问题1:如果王明做5道单选题,每道题都随机选1个答案,那么他做对的题数服从二项分布吗 为什么
问题2:如果王明做5道单选题,其中2道题会做,其余3道题均随机选1个答案,那么他做对的题数服从二项分布吗 如何判断一随机变量是否服从二项分布
1.二项分布
若随机变量X的分布列为P(X=k)= (k=0,1,2,…,n),则称X服从参数n,p的二项分布,简记为 .显然,两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
2.二项分布的期望、方差
一般地,若随机变量X~B(n,p),则E(X)= ,D(X)= .
特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)= ,D(X)= .
一、n重伯努利试验的概率计算
如图所示,已知一个质点在外力的作用下,从0出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,设经过5次移动后,该质点位于X的位置,则P(X>0)= .
【方法总结】n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验. (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆. (3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式计算.
某人寿保险公司规定,若投保人离世时不足65岁,则保险公司要赔偿100万元;若投保人离世时超过65岁,则保险公司不赔偿,但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人离世时超过65岁的概率都是0.9,随机抽取3个投保人,设其中离世时超过65岁的人数为X,保险公司要赔偿给这3个投保人的总金额为Y万元,则P(Y<200)=( ).
A.0.972 B.0.729 C.0.486 D.0.243
二、二项分布的期望、方差问题
(1)已知2x+n的展开式的前三项的二项式系数之和为22,求n的值并求展开式中的常数项.
(2)如图,这是一块高尔顿板的示意图,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,…,6,用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列、均值与方差.
【方法总结】解决二项分布相关问题的步骤 (1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率P; (2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性; (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p); (4)利用二项分布的期望、方差公式计算.
甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则如下:每一局比赛中,胜者得1分,负者得0分,且比赛中没有平局.根据以往双方交手战绩统计得知,每局比赛甲获胜的概率为,每局比赛的结果互不影响.
(1)经过3局比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望;
(2)计算3局比赛后,甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【随堂检测】
1.已知X~B6,,则P(X=2)=( ).
A. B.
C. D.
2.设随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则p=( ).
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
3.某学生通过某项英语听力测试的概率是,每次通过与否互不影响,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值为( ).
A.6 B.5
C.4 D.3
4.一次数学测验由25个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个题目选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分.某学生选对任一题的概率均为0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值为 ,方差为 .
参考答案
7.4 二项分布与超几何分布
课时1 二项分布
自主预习·悟新知
预学忆思
1.(1)两点分布的分布列如下:
X 0 1
P 1-p p
(2)二项展开式的通项公式为Tk+1=an-kbk.
2.(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立.
3.(1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0).二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生),试验结果有(n+1)种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.
(2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.B 【解析】抛掷1枚硬币,正面朝上的概率为,则抛掷3枚硬币,恰有2枚正面朝上的概率P=×2×=.
3.A 【解析】∵X~B(24,0.6),∴P(X=7)=×0.67×0.417.故选A.
4.0.648 【解析】设击中目标的次数为X,则X~B(3,0.6),
故P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.62(1-0.6)+0.63=0.648.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,智囊团研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1,
设这个2人智囊团解决项目M的概率为P2,则P2=1-0.92=1-0.81=0.19,所以P2问题2:李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,智囊团研究项目M,他们各自独立解决项目M的概率都是0.1,
设这个5人智囊团解决项目M的概率为P2,则P2=1-0.95=1-0.95=1-0.590 49=0.409 51,所以P2>P1,故智囊团解决项目M的概率大于李某解决项目M的概率.
问题3:李某独自一人解决项目M的概率P1=0.3,
设智囊团解决项目M的概率为P3,智囊团有n人,
则P3=1-0.9n,因为P3>P1,所以1-0.9n>0.3,即0.9n<0.7,又n为整数,所以n≥4,即至少有4人.
问题4:在相同条件下进行,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响.
新知生成
2.pk(1-p)n-k
新知运用
例1 【解析】(1)记“预报1次准确”为事件A,则P(A)=0.8,5次预报相当于5次独立重复试验,
恰有2次准确的概率P=×0.82×0.23=0.051 2≈0.05,因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”,故所求概率P1=1-[×0.25+×0.8×0.24]=1-0.006 72=0.993 28≈0.99,
即5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
(3)由题意知,第1,2,4,5次预报中恰有1次预报准确,
所以所求概率为×0.8×0.23×0.8=0.020 48≈0.02,
即5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
巩固训练1 ABC 【解析】A,C是互斥事件;B是相互独立事件;D是n重伯努利试验.
巩固训练2 【解析】(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,由题意知,射击4次,相当于做4次独立重复试验.
故P(A1)=1-P()=1-4=,
所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件B2,
则P(A2)=×2×1-4-2=,
P(B2)=×3×1-4-3=.
因为甲、乙射击相互独立,所以P(A2B2)=P(A2)·P(B2)=×=,
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
探究2 情境设置
问题1:服从二项分布.因为每道题都是随机选1个答案,结果只有2个(对与错),并且每道题做对的概率均相等,所以做5道题可以看成1道题重复做了5次,做对的题数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数,故他做对的题数服从二项分布.
问题2:不服从二项分布.因为会做的2道题做对的概率与随机选取1个答案做对的概率不同,不符合二项分布的特点.
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键是看它是否是n次独立重复试验,每次事件发生与不发生的概率是否相同,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这三点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布.
新知生成
1.pk(1-p)n-k X~B(n,p)
2.np np(1-p) p p(1-p)
新知运用
例2 【解析】由题意,设该质点向右移动的次数为Y,则Y~B5,,Y=0,1,2,3,4,5.
因为X=Y-(5-Y)=2Y-5,
所以X的可能取值为1,3,5.
所以P(X>0)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=3×2+4×+5=.
巩固训练 A 【解析】依题意知X~B(3,0.9),因为3个投保人中,离世时超过65岁的人数为X,所以离世时不足65岁的人数为3-X,因此Y=100(3-X)+5X,即Y=300-95X(X=0,1,2,3),
所以P(Y<200)=P(X=2)+P(X=3)=×0.92×(1-0.9)+×0.93=0.972.
例3 【解析】(1)依题意,有++=22,即n2+n-42=0,
解得n=6或n=-7(舍去).
由通项公式可得Tk+1=(2x)6-kk=26-k(k=0,1,2,3,4,5,6),
令6-k=0,解得k=4,
∴展开式的常数项为T5=×22=60.
(2)依题意有X~B6,,
∴P(X=k)=k6-k=6(k=0,1,2,3,4,5,6),
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
∴E(X)=np=6×=3,D(X)=np(1-p)=6××=.
巩固训练 【解析】(1)由题意得,X~B3,,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=1-3=,
P(X=1)=××1-2=,
P(X=2)=×2×1-=,
P(X=3)=3=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X~B3,,所以E(X)=np=3×=2.
(2)3局比赛后,甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况:甲获胜2局,甲获胜3局.
故所求概率P=P(X=2)+P(X=3)=+=.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】P(X=2)=×2×4=.
2.B 【解析】由题意得,E(X)=1.6=np, ①
D(X)=1.28=np(1-p), ②
①与②相除可得1-p==0.8,∴p=0.2.
3.C 【解析】由1-1-n>0.9,得n<0.1,∴n≥4,即n的最小值为4.
4.60 96 【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的成绩为Y,则Y=4X.
由题意知X~B(25,0.6),
所以E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6,
E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42×D(X)=16×6=96,
所以该学生在这一次测试中的成绩的均值与方差分别是60与96.