8.2 一元线性回归模型及其应用
课时2 一元线性回归模型及其应用
【学习目标】 1.了解随机误差、残差、残差图的概念.(数学抽象) 2.会通过分析残差判断一元线性回归模型的拟合效果.(数据分析、数学运算) 3.了解常见的非线性回归模型转化为一元线性回归模型的方法.(数学运算、数据分析、数学建模)
【自主预习】
1.什么是残差
2.如何比较两个模型的拟合效果
3.R2的计算公式是什么
4.什么是非线性经验回归方程
5.如何猜测非线性经验回归方程的类型
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以为样本编号. ( )
(2)残差平方和越小,回归模型的拟合效果越好. ( )
(3)R2越小,回归模型的拟合效果越好. ( )
2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同的模型,计算它们的决定系数R2,得到下表.
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
建立的回归模型拟合效果最好的是( ).
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是( ).
A B
C D
4.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了如表所示的一组试验数据.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=x+1.74.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 .(填序号)
【合作探究】
残差
小明:还有什么方法能刻画回归效果呢
小明同桌:作残差图.
问题1:如何作残差图
问题2:怎样利用残差说明模型的拟合效果
1.观测值
对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值.
2.残差
观测值减去预测值所得的差称为残差.
3.残差分析
残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析.
4.残差的应用
一般地,建立经验回归方程后,通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进,使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.
随着生活水平的逐步提高,人们对文娱活动的需求与日俱增,其中观看电视就是一种老少皆宜的娱乐活动.但是我们在观看电视娱乐身心的同时,也要注意把握好观看时长.近期研究显示,一项久坐的生活指标——看电视时长,是导致视力下降的重要因素,即看电视的时间越长,视力下降的风险越大.研究者在某小区统计的每天看电视时长x(单位:小时)与视力下降人数y的相关数据如下:
编号 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
(1)请根据上面的数据求y关于x的经验回归方程.
(2)我们用第(1)问求出的经验回归方程=x+中的估计bx+a,因为随机误差e=y-(bx+a),所以=y-是e的估计值,称为点(xi,yi)的残差.
①填写下面的残差表,并绘制残差图;
编号 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
②若残差图所在带状区域宽度不超过4,则我们认为该模型拟合精度比较高,经验回归方程的预报精度较高,试根据①中绘制的残差图分析该模型拟合精度是否比较高.
附:经验回归方程=x+中==,=-.
【方法总结】作残差分析时,一般从以下几个方面予以说明:(1)散点图;(2)决定系数;(3)残差图中的异常点和残差点所在的水平带状分布区域的宽窄.
两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示:
x 9 9.5 10 10.5 11
y 11 10 8 6 5
其经验回归方程是=x+40,则相对应于点(11,5)的残差为( ).
A.0.1 B.0.4 C.0.3 D.0.2
R2的计算和非线性经验回归方程
变量y关于x的非线性经验回归方程为=,其一组数据如表所示:
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
问题1:如何求非线性经验回归方程=中的
问题2:你能写出解题过程吗
问题3:上述问题中,若x=5,则预测y的值可能为多少
1.R2的计算公式为R2=1-.
2.一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
下表为收集到的一组数据:
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出y与x的散点图,并猜测y与x之间的关系;
(2)建立x与y的关系,预报回归模型并计算残差(精确到小数点后3位);
(3)利用所得模型,预测当x=40时,y的值.
附:经验回归方程=x+中==,=-.
【方法总结】非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数模型y=,其图象如图所示. 处理方法:两边取自然对数得ln y=ln ,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b. (2)对数函数模型y=bln x+a,其图象如图所示. 处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b. (3)二次函数模型y=bx2+a 处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂,为了解其效果,通过实验,收集到其不同浓度x(单位:mol/L)与灭死率y的数据,得下表:
浓度x/(mol/L) 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4
灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
(1)以x为解释变量,y为响应变量,在=x+和=c1+c2lg x中选一个作为灭死率y关于浓度x(单位:mol/L)的经验回归方程,不用说明理由.
(2)①根据(1)的选择结果及表中数据,求出所选经验回归方程.
②依据①中所求的经验回归方程,要使灭死率不低于0.8,估计该灭草剂的浓度至少要达到多少.
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其经验回归方程=x+中==,=-.
【随堂检测】
1.(2020年全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)之间的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( ).
A.y=a+bx
B.y=a+bx2
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
2.下列有关线性回归的说法,不正确的是( ).
A.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系
B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到的两个变量的一组数据的图形叫作散点图
C.经验回归方程最能代表观测值x,y之间的线性关系
D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的经验回归方程
3.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y=3e2x+1的图象附近,令u=ln y,则可通过转换得到经验回归方程为 .
4.某个服装店经营某种服装,某周内获得的纯利润y(单位:元)与该周每天销售这种服装件数x(单位:件)之间的一组数据如表所示:
x/件 3 4 5 6 7 8 9
y/元 66 69 73 81 89 90 91
已知=280,=45 309,xiyi=3 487.
(1)求,的值(精确到小数点后两位);
(2)已知纯利润y与每天销售件数x之间线性相关,求出y关于x的经验回归方程(精确到小数点后两位);
(3)求残差平方和、决定系数(精确到小数点后四位).
参考答案
课时2 一元线性回归模型及其应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.观测值减去预测值所得的差称为残差.
2.可以通过残差平方和比较,残差平方和越小,拟合效果越好,也可以用R2来比较,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好.
3.R2=1-.
4.如果具有相关关系的两个变量x,y不是线性相关关系,那么称它们有非线性相关关系,所得到的方程称为非线性经验回归方程.
5.可以通过作出散点图,结合已学的函数模型进行猜测.
自学检测
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.A 【解析】决定系数R2越大,表示回归模型的拟合效果越好.
3.A 【解析】用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
4.④ 【解析】画出散点图,如图所示.
由图可知,上述点大致在函数y=log2x的图象上,故y=log2x可以近似地反映这些数据的规律,故填④.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:纵坐标为残差,横坐标可以为样本编号或身高数据或体重的估计值等,这样作出的图形就是残差图了.
问题2:残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高.
新知运用
例1 【解析】(1)==2,==20,xiyi=218,=22.5,
则==7.2,=20-7.2×2=5.6,
故y关于x的经验回归方程为=7.2x+5.6.
(2)①残差表:
编号 1 2 3 4 5
x 1 1.5 2 2.5 3
y 12 16 22 24 26
-0.8 -0.4 2 0.4 -1.2
残差图:
②残差图所在带状区域的宽度为2-(-1.2)=3.2.因为3.2<4,所以我们认为该模型拟合精度比较高.
巩固训练 D 【解析】由题意得==10,==8,则样本点的中心为(10,8).
因为经验回归方程为=x+40,所以8=10+40,解得=-3.2,所以=-3.2x+40,
当x=11时,=4.8,则相对应于点(11,5)的残差为5-4.8=0.2.
探究2 情境设置
问题1:将式子两边取自然对数,得到ln =x-0.5,令=ln ,则=x-0.5,根据题中所给的表格,列出x,z的取值对应的表格,求得,,利用经验回归直线过样本点的中心,列出等量关系式,求得.
问题2:由=,得ln =x-0.5,令=ln ,则=x-0.5.
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
==2.5,==3.5.
∵经验回归直线=x-0.5过点(,),
∴3.5=·2.5-0.5,解得=1.6.
问题3:由上可知=1.6x-0.5,∴=e1.6x-0.5,
当x=5时,=e1.6×5-0.5=.
新知运用
例2 【解析】(1)作出散点图,如图所示,从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y=c1的周围,其中c1,c2为待定的参数.
(2)对y=c1的两边取自然对数,把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了,数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
则≈27.429,≈3.612,xizi=733.741,=5 414,
∴=≈≈0.273,
=-≈3.612-0.273×27.429=-3.876,
求得经验回归方程为=0.273x-3.876,
∴=.
残差表如下:
y 7 11 21 24 66 115 325
6.404 11.056 19.087 32.950 56.883 129.024 292.657
0.596 -0.056 1.913 -8.950 9.117 -14.024 32.343
(3)当x=40时,=≈1 146.
巩固训练 【解析】(1)根据表格中数据可知解释变量x呈现指数增长,而响应变量y增长幅度不大,
故选=c1+c2lg x.
(2)①令u=lg x,则=+u,
所以可得如下数据:
u -12 -10 -8 -6 -4
y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94
则=×(-12-10-8-6-4)=-8,=×(0.1+0.24+0.46+0.76+0.94)=0.5,
=(-12)2+(-10)2+(-8)2+(-6)2+(-4)2=360,
uiyi=(-12)×0.1+(-10)×0.24+(-8)×0.46+(-6)×0.76+(-4)×0.94=-15.6,
所以==0.11,=0.5-0.11×(-8)=1.38,
所以=1.38+0.11u,即=1.38+0.11lg x.
②依题意,=1.38+0.11lg x≥0.8,即0.11lg x≥-0.58,即lg x≥-,
所以x≥1,即要使灭死率不低于0.8,则估计该灭草剂的浓度至少要达到1 mol/L.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】根据散点图,用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略),由图并结合选项可排除A,B,C.故选D.
2.D 【解析】只有当数据点整体上分布在一条直线附近时,才能得到具有代表意义的经验回归方程.
3.u=1+ln 3+2x 【解析】由y=3e2x+1,得ln y=ln(3e2x+1),
即ln y=ln 3+2x+1.令u=ln y,则经验回归方程为u=1+ln 3+2x.
4.【解析】(1)==6,
=≈79.86.
(2)因为y与x具有线性相关关系,所以可设经验回归方程为=x+,
则=≈4.75,≈79.86-6×4.75=51.36,
所以y关于x的经验回归方程为=4.75x+51.36.
(3)列出残差表:
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
65.61 70.36 75.11 79.86 84.61 89.36 94.11
0.39 -1.36 -2.11 1.14 4.39 0.64 -3.11
所以残差的平方和为0.392+(-1.36)2+(-2.11)2+1.142+4.392+0.642+(-3.11)2=37.107 2,
决定系数R2=1-=1-≈0.944 3.8.2 一元线性回归模型及其应用
课时1 一元线性回归模型
【学习目标】 1.了解一元线性回归模型各量的意义.(数学抽象) 2.掌握最小二乘法的思想及意义.(逻辑推理、数学运算) 3.会求经验回归方程并进行简单应用.(数学运算、数学建模)
【自主预习】
1.经验回归直线一定过成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的某一点吗
2.点(,)在经验回归直线上吗
3.假设y与x具有相关关系,而且经验回归方程为=x+.则经验回归直线的单调性是由哪个参数决定的
4.利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗
5.经验回归方程与直线方程有何区别
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求经验回归方程前可以不进行相关性检验. ( )
(2)经验回归直线一定过样本点的中心. ( )
(3)选取一组数据的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到的经验回归方程一定相同. ( )
(4)根据经验回归方程得到的结论一定是可靠的. ( )
2.由变量x与y相对应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的经验回归方程为=2x+45,则=( ).
A.135 B.90 C.67 D.63
3.已知工人工资y(单位:元)关于劳动生产率x(单位:千元)的经验回归方程为=50+80x,则下列判断正确的是( ).
A.当劳动生产率为1 000元时,工人工资为130元
B.劳动生产率每提高1 000元,工人工资平均提高80元
C.劳动生产率每提高1 000元,工人工资平均提高130元
D.当月工资为250元时,劳动生产率为2 000元
4.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23,且过定点(4,5),则经验回归方程是 .
【合作探究】
一元线性回归模型
根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位:百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位:千克)之间的对应数据的散点图如图所示.
问题1:依据数据的散点图,计算样本相关系数r.
问题2:问题1的计算表明y与x之间具有很强的相关性,能用一个函数模型来刻画y与x之间的关系吗
问题3:用什么模型来刻画y与x之间的关系
1.一元线性回归模型的相关概念
(1)一元线性回归模型:我们称为Y关于x的一元线性回归模型.
(2)因变量和自变量:Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量.
(3)参数:a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数.
(4)随机误差:e是Y与bx+a之间的随机误差.
2.模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.
3.在一元线性回归模型Y=bx+a+e中,e产生的原因主要有以下几种:(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差;(2)忽略了某些因素的影响;(3)存在观测误差.
(多选题)在一元线性回归模型Y=bx+a+e中,下列说法错误的是( ).
A.Y=bx+a+e是一次函数
B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的
C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外,可能还受到其他因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生
D.随机误差e是计算不准确造成的,可通过精确计算避免随机误差e的产生
【方法总结】明确一元线性回归模型的含义是解题的关键,其中a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数,e是Y与bx+a之间的随机误差.
关于一元线性回归模型给出下列说法:
①表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系;
②bx+a反映了由于x的变化而引起的Y的变化;
③误差项e是一个期望值为0的随机变量,即E(e)=0;
④对于所有的x值,e的方差σ2都相同.
以上说法正确的是 .(填序号)
最小二乘法
雾霾天气影响了人们的生活,对雾霾天气的研究也渐渐多了起来,某研究机构对某地春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x 4 5 7 8
y 2 3 5 6
问题1:请画出上表数据的散点图.
问题2:能用一元线性回归模型表示y与x的关系吗
问题3:如何求出一元线性回归模型的方程呢
问题4:求出该一元线性回归模型的方程.
1.经验回归方程(直线)
我们将=x+称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.
2.最小二乘法
求经验回归方程的方法叫作最小二乘法,求得的,叫作b,a的最小二乘估计.
3.方程=x+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中,是待定参数,其最小二乘估计分别为==,=-,其中=xi,=yi,(,)称为样本点的中心.
4.经验回归方程与直线方程的区别:经验回归方程中y的上方加记号“^ ”是为了与实际值y相区别,因为经验回归方程中“”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值,它具有随机性,因而对于每一个具体的实际值而言,的值只是比较接近,但存在一定的误差,即y=+e(其中e为随机变量),预测值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定.
大学生小敏利用寒假参加社会实践,对机械销售公司7月份至12月份某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查,销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示:
月份 7 8 9 10 11 12
销售单价x/元 9 9.5 10 10.5 11 8
销售量y/件 11 10 8 6 5 14
(1)根据7月份至11月份的数据,求出y关于x的经验回归方程.
(2)若由经验回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5件,则认为所得到的经验回归方程是理想的,试问(1)中所得到的经验回归方程是否理想
(3)预计在今后的销售中,销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系,若该种机械配件的成本是2.5元/件,则该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润 (注:利润=销售收入-成本)
参考公式:在经验回归方程=x+中,=,=-.
参考数据:xiyi=392,=502.5.
【方法总结】用经验回归方程估计总体的一般步骤: (1)作出散点图,判断散点是否在一条直线附近; (2)若散点在一条直线附近,则用公式求出,,并写出经验回归方程,否则求出的经验回归方程是没有意义的; (3)根据经验回归方程对总体进行估计.
某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度,将所得数据分成[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],共五组,并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列,第五组与第二组的频率相等.
(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数.
(2)为了了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关,现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限),数据如下表:
工龄x/年 6 8 12 10 14
生产速度y/(件/小时) 40 55 60 60 65
根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的经验回归方程=x+,并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度.
经验回归方程=x+中=,=-.
【随堂检测】
1.已知变量y与x正线性相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的经验回归方程可能为( ).
A.=0.4x+2.3
B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5
D.=-0.3x+4.4
2.根据如下样本数据得到的经验回归方程为=x+,若=5.4,则x每增加1个单位,y估计( ).
x 3 4 5 6 7
y 4 2.5 -0.5 0.5 -2
A.增加0.9个单位
B.减少0.9个单位
C.增加1个单位
D.减少1个单位
3.如图,这是一组数据(x,y)的散点图,经最小二乘法计算,y与x之间的经验回归方程为=x+1,则= .
4.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的,求经验回归方程.
参考答案
8.2 一元线性回归模型及其应用
课时1 一元线性回归模型
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不一定.
2.在.
3..
4.不一定,它只是真实值的一个预测值.
5.经验回归方程中y的上方加记号“^”,是为了与实际值y相区别,因为经验回归方程中的“”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值,它具有随机性,因而对于每一个具体的实际值而言,的值只是比较接近,但存在一定的误差,即y=+e(其中e为随机变量),预测值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定.直线方程中y与x的关系是确定的,对于每一个x的值,y都有唯一确定的值与之对应.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.D 【解析】∵=×(1+5+7+13+19)=9,=2+45,
∴=2×9+45=63,故选D.
3.B 【解析】因为经验回归直线的斜率为80,所以x每增加1,y平均增加80,即劳动生产率每提高1 000元,工人工资平均提高80元.
4.=1.23x+0.08 【解析】经验回归直线的斜率的估计值为1.23,即=1.23,又经验回归直线过定点(4,5),∴=5-1.23×4=0.08,∴=1.23x+0.08.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:因为==5,==5,
(xi-)(yi-)=(-3)×(-2)+(-1)×(-1)+0×0+1×1+3×2=14,
(xi-)2=(-3)2+(-1)2+02+12+32=20,
(yi-)2=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,
所以r===≈0.99.
问题2:不能,因为西红柿亩产量的增加量y除了与某种液体肥料的使用量x有关系外,还与阳光、温度等有关系.
问题3:根据散点图,可以用一元线性回归模型来刻画.
新知运用
例1 ABD 【解析】对于A,在一元线性回归模型Y=bx+a+e中,方程表示的不是确定性关系,因此Y=bx+a+e不是一次函数,所以A错误;
对于B,响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的,所以B错误;
对于C,响应变量Y除了受解释变量x的影响外,可能还受到其他因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生,所以C正确;
对于D,随机误差是不能避免的,只能将误差缩小,所以D错误.
故选ABD.
巩固训练 ①②③④ 【解析】根据一元线性回归模型的含义可知,以上说法均正确.
探究2 情境设置
问题1:画出散点图,如图所示.
问题2:能,从散点图看,这些散点大致在一条直线上.
问题3:用最小二乘法求出y关于x的一元线性回归模型的方程.
问题4:xiyi=4×2+5×3+7×5+8×6=106,=×(4+5+7+8)=6,=×(2+3+5+6)=4,=42+52+72+82=154,则===1,=-=4-6=-2,
故一元线性回归模型的方程为=x+=x-2.
新知运用
例2 【解析】(1)因为=×(9+9.5+10+10.5+11)=10,=×(11+10+8+6+5)=8,
所以==-3.2,则=8-(-3.2)×10=40,
于是y关于x的经验回归方程为=-3.2x+40.
(2)当x=8时,=-3.2×8+40=14.4,则=|14.4-14|=0.4<0.5,
所以可以认为所得到的经验回归方程是理想的.
(3)令销售利润为W,则W=(x-2.5)(-3.2x+40)=-3.2x2+48x-100=-3.2(x-7.5)2+80,
所以当x=7.5时,W取得最大值.
故当该配件的销售单价定为7.5元时,获得的利润最大.
巩固训练 【解析】(1)设前四组的频率分别为a1,a2,a3,a4,公差为d,由题意知a2=a1+d=0.016×10=0.16,
故a1+a2+a3+a4=4a1+6d=1-0.16=0.84,
联立解得a1=0.06,d=0.1.
故各组频率分别为0.06,0.16,0.26,0.36,0.16.
又a1+a2+a3=0.48,
所以中位数为50+×10=.
(2)由题意得=10,=56,(xi-)(yi-)=110,
(xi-)2=40,
则===,
=-=56-×10=,
故经验回归方程为=x+.
当x=18时,=78,故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】因为变量y和x正线性相关,所以经验回归直线的斜率为正,排除C,D;将点(3,3.5)代入选项A和B的方程中检验,排除B.故选A.
2.B 【解析】由题意可得=5,=×(4+2.5-0.5+0.5-2)=0.9.因为经验回归方程为=x+,=5.4,且经验回归直线过点(5,0.9),所以0.9=5+5.4,解得=-0.9,所以x每增加1个单位,y估计减少0.9个单位.
3.0.8 【解析】==2,==2.6,将点(2,2.6)代入=x+1中,解得=0.8.
4.【解析】由已知得==9,==4,
=62+82+102+122=344,xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
则===0.7,=-=4-0.7×9=-2.3,
故所求的经验回归方程为=0.7x-2.3.
