1.2.3 等差数列的前n项和 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

1.2.3 等差数列的前n项和
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，能够将等差数列前n项和公式与实际问题相互联系，进而感受等差数列的实际运用.(数学建模)
2.能够正确推导有关等差数列前n项和的性质，并能够灵活运用.(逻辑推理)
【自主预习】
　　一个工厂把所生产的钢管堆成如图所示的形状，从上面的一排起，各排钢管的数量依次是3，4，5，6，7，8，9.
1.图中这些钢管的总数是多少
2.按图中规律堆放钢管n排，各排钢管的数量依次是3，4，5，6，7，…，n+2.此时，钢管总数是多少
3.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
4.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式中共涉及几个量 如何求这些量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差，可求S10. (　　)
(2)已知等差数列的首项、末项a17，可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差数列{an}中，a1=1，d=1，则Sn=(　　).
A.n
B.n(n+1)
C.n(n-1)
D.
3.已知在等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=(　　).
A.10 B.12
C.20 D.24
4.已知{an}是等差数列，a1=10，前10项和S10=70，则其公差d=　　　　.
【合作探究】
　等差数列的前n项和公式
　　泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑.
问题1：上述情境的图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能不能快速地求出呢
问题2：你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗
等差数列前n项和公式Sn==na1+，其推导方法是倒序相加法.
(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=(　　).
A.-12 B.-10 C.10 D.12
(2)在等差数列{an}中，a2=2，a4=6，若数列{an}的前m项和Sm=30，则m的值为(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
【方法总结】通过列出方程组求得等差数列的首项和公差，再利用求和公式列式求解.
若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=(　　).
A.12 B.13 C.14 D.15
在等差数列{an}中，a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为(　　).
A.37 B.36 C.20 D.19
　a1，d，n，an，Sn，知三求二
问题：在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn
　　在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)，进而求出余下的两个量，计算时需注意整体代换及方程思想的应用.
在等差数列{an}中，
(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；
(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.
【方法总结】知三求二中，一般是根据已知的三个基本量列出方程(组)，再通过解方程(组)求出其他的两个未知量.
已知在等差数列{an}中，
(1)a1=1，a4=7，求S9；
(2)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d.
　等差数列前n项和的性质
　　已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
问题1：从函数的观点分析Sn关于n的函数具有什么特点
问题2：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题3：an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项和等差数列求和公式进行推导.
问题4：S奇，S偶具有什么关系 对n分类讨论.
问题5：数列是什么数列
　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.
(1)Sn=An2+Bn，其中A=，B=a1-.
(2)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(3)S2n-1=(2n-1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
(4)当项数为偶数2n时，S偶-S奇=nd，S奇∶S偶=an∶an+1；当项数为奇数2n-1时，S奇-S偶=a中，S奇∶S偶=n∶(n-1).
(5)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
(1)已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若=6，则 的值为(　　).
A. B. C. D.
(2)项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分别为　　　　.
(3)若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=　　　　.
【方法总结】(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…是等差数列；(2)通过等差数列前n项和与通项的关系即可求得的表达式.
设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若S3=16，S6=8，则S12=(　　).
A.-50 B.-60
C.-70 D.-80
在等差数列{an}中，a1=2 020，前n项和为Sn，若-=-2，则S2 024=　　　　.
一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差为　　　　.
　等差数列前n项和的实际应用
(2020年全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　).
A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
【方法总结】应用等差数列解决实际问题的一般思路：
已知甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27，a10=8，则a100=(　　).
A.100 B.99
C.98 D.97
2.已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S20=15，S60=75，则S40=(　　).
A.40 B.45
C.50 D.55
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=，则=(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.
4.在等差数列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，则n=　　　　时，{an}的前n项和Sn取最大值.
5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线
参考答案
1.2.3 等差数列的前n项和
自主预习·悟新知
预学忆思
1.3+4+5+6+7+8+9=42，即钢管总数是42.
2.设钢管总数是S，则S=3+4+5+…+(n+2)=(n+2)+(n+1)+…+3.
所以2S=[3+(n+2)]×n=n2+5n，
即S=n2+n.
故钢管总数是n2+n.
3.等差数列的前n项和公式Sn=na1+d，它与首项a1，公差d和项数n这三个量有关；等差数列的前n项和公式Sn=，它与首项a1，末项an和项数n这三个量有关.
4.在这些公式中共含有5个量，即a1，d，n，an，Sn，只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.D　【解析】Sn=na1+d=n+==.故选D.
3.D　【解析】由S10==120，得a1+a10=24.
4.-　【解析】S10=10a1+d=70，又a1=10，所以d=-.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：
S21==231.
问题2：设Sn是等差数列{an}的前n项和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]，
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]，
∴2Sn=(a1+an)·n，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式为Sn=.
新知运用
例1　(1)B　(2)C　【解析】(1)设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×3×2+d=2×2+d+4×2+d，解得d=-3，所以a5=a1+4d=2-12=-10.
(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1+d=2，a1+3d=6，故a1=0，d=2，则Sm=m2-m=30，解得m=6或m=-5(舍去).
巩固训练1　B　【解析】由S5=得，25=，解得a4=7，所以7=3+2d，解得d=2，所以a7=a4+3d=7+3×2=13.
巩固训练2　A　【解析】am=a1+a2+…+a9=9a1+d=36d=(m-1)d，解得m=37.
探究2　情境设置
问题：利用an=a1+(n-1)d可求a1；利用Sn=或Sn=na1+d可求Sn.
新知运用
例2　【解析】(1)
解得
∴a8=a6+2d=10+2×3=16，
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172，
解得a8=39，
又∵a8=4+(8-1)d=39，
∴d=5.
巩固训练　【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4=a1+3d=1+3d=7，所以d=2.
故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由题意得，Sn===-5，解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-，所以d=-.
探究3　情境设置
问题1：Sn=na1+d=n2+a1-n=An2+Bn，其中A=，B=a1-，
故Sn关于n的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式.
问题2：当m=2时，S2=a1+a2，S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d，S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d，所以S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，公差为4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d，
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d，
所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列，公差为m2d.
问题3：S2n-1==(2n-1)an.
问题4：若项数为2n，则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd，===；
若项数为2n-1，由等差数列的性质可知，a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an，所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=·(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an，S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan，所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(这里an=a中，a中是中间项)，==.
问题5：已知数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n-1)d，所以有=+a1-，=+a1-.因为-=+a1---a1-=，所以数列是首项为a1，公差为的等差数列.
新知运用
例3　(1)B　(2)11　7　(3) 　【解析】(1)因为数列{an} 为等差数列，所以S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9 成等差数列.
因为=6，设S3=k，则S9=6k，由2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，即2(S6-k)=k+(6k-S6)，得S6=3k，所以S12-S9=4k，所以S12=10k，所以= .
(2)设等差数列{an}的项数为2n+1，S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1，S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1，
所以==，解得n=3，所以项数为2n+1=7.
又因为S奇-S偶=an+1=a中，所以a4=S奇-S偶=44-33=11，所以中间项为11.
(3)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差中项的性质以及求和公式可得====，又因为=，将n=9 代入得=== .
巩固训练1　D　【解析】由等差数列的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9 成等差数列，
且该数列的公差为(S6-S3)-S3=-8-16=-24，则S9-S6=(S6-S3)-24=-32，
所以S12-S9=(S9-S6)-24=-56，因此S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=-80.
巩固训练2　-6 072　【解析】设{an}的公差为d0，
∵Sn=，
∴=，∴-=-=.
∵为常数，∴为等差数列.
设的公差为d，
∵a1=2 020，∴=2 020.
∵-=2d=-2，
∴d=-1，
∴=2 020+2 023×(-1)=-3，则S2 024=-6 072.
巩固训练3　5　【解析】设等差数列前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得解得
又S偶-S奇=6d，所以d==5.
探究4
例4　C　【解析】设第n环天心石块数为an，第一层共有n环，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，an=9+(n-1)×9=9n，设Sn为{an}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，
即-=-+729，即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27==3 402.故选C.
巩固训练　【解析】(1)设n分钟后相遇，依题意，有2n++5n=70，
整理得n2+13n-140=0，解得n=7或n=-20(舍去).
故相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n++5n=3×70，
整理得n2+13n-420=0，解得n=15或n=-28(舍去).
故第2次相遇是在开始运动后15分钟.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9=(a1+a9)=9a5=27，∴a5=3.又∵a10=8，
∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
2.A　【解析】由等差数列的性质得S20，S40-S20，S60-S40 成等差数列，
所以2(S40-15)=15+(75-S40)，解得S40=40.
3.A　【解析】因为S2n-1=(2n-1)an，
所以==×=1.
4.5　【解析】∵∴
∴Sn的最大值为S5，∴n=5.
5.【解析】从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.
由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24，公差d=-.
25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500，而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.