1.3.2 等比数列的性质及其应用 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

1.3.2 等比数列的性质及其应用
【学习目标】
1.理解等比中项的概念，并能够利用等比中项进行解题.(数学运算)
2.熟悉等比数列的相关性质，并能够应用该知识进行灵活运算.(逻辑推理)
【自主预习】
1.已知等比数列的第m项为am，公比为q，求通项公式an.
2.若m+n=p+r，m，n，p，r∈N*，在等差数列中有am+an=ap+ar，则在等比数列中，你能得出什么结论
3.在等比数列{an}中，若q>1，则{an}是递增数列吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列. (　　)
(2)当q=1时，{an}为常数列. (　　)
(3)若{an}是等比数列，且m+n=p，则aman=ap. (　　)
(4)若等比数列{an}的公比是q，则an=amqm-n(m，n∈N*). (　　)
2.已知在等比数列{an}中，a1=1，a3=，则a5=(　　).
A.± B.- C. D.±
3.若在等比数列{an}中，a4=4，则a2·a6=(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
4.已知在等比数列{an}中，a7a12=5，则a8a9a10a11=　　　　.
【合作探究】
　等比中项
关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，因此各个格子里的麦粒数依次是1，2，22，23，…，263.
问题1：观察上面这个数列，这个数列的任意连续三项之间有什么样的关系
问题2：结合情境设置，若任意选取4项，且满足p+q=m+n，请你猜测ap·aq与am·an之间存在什么样的关系.
1.如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么称G为a与b的等比中项，且G2=ab或G=±.
2.在等比数列中，若p+q=m+n，则ap·aq=am·an；若2m=p+q，则=ap·aq.(p，q，m，n∈N*)
(1)已知数列{an}为等比数列，若a4+a6=10，则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(　　).
A.10 B.20 C.100 D.200
(2)在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　　　　.
【方法总结】在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时要注意设而不求思想的运用.
在等比数列{an}中，a3和a5是一元二次方程x2+kx+5=0的两个根，则a2a4a6的值为(　　).
A.±5 B.5 C.-5 D.25
若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5(e为自然对数的底数)，则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　　.
　等比数列的性质
将一根长为1米的木棒截去一半后，再从剩下的一半中截去一半，以此类推，可以得到数列：，，，，…，.
问题1：结合情境设置，你能归纳出一般的等比数列的通项公式吗
问题2：若从上述的等比数列中按序等距离取出若干项，能否构成一个新的等比数列
　　(1)通项公式的推广：　.
(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，仍为等比数列，且公比分别为　　　　.
(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an+m，an+2m，…仍为等比数列，公比为　　　　.
已知{an}为等比数列.
(1)若数列{an}满足a2a4=，求a1a5；
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；
(3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10.
【方法总结】利用等比数列的性质解题的基本思路：(1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦.此时，常利用等比数列的性质求解，可使问题简单明了.另外，在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是(　　).
A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
在等比数列{an}中，若a2·a8=36，a3+a7=15，则公比q=(　　).
A.± B.± C.或 D.±或±
在等比数列{an}中，a888=3，a891=81，则公比q=　　　　.
　等比数列的判定与证明
问题1：利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
问题2：在数列{an}中，若an+1=2an，则数列{an}是等比数列吗
问题3：若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1，q为非零常数，n∈N*).反之，能说明数列{an}是等比数列吗
问题4：如何证明数列{an+1}是等比数列
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足=q(n∈N*，q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N*，a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若=anan+2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an+1=kan+b关系时，往往构造数列，方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照，求出x即可.
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值；
(2)若bn=an-1，试证明数列{bn}为等比数列.
【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法，注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任一项不等于零.
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2-an，求证：{an}为等比数列.
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　).
A.a1，a3，a9成等比数列 B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列
2.(多选题)若在等比数列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，则公比q可以为 (　　).
A. B.2 C.- D.-2
3.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值等于(　　).
A.- B. C.± D.
4.在数列{an}中，已知a2=4，a3=15，且数列{an+n}是等比数列，则an=　　　.
5.从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：
(1)第n次操作后溶液的浓度是多少
(2)当a=2时，至少应操作几次后才能使溶液的浓度低于10%
参考答案
1.3.2 等比数列的性质及其应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.由am=a1qm-1，得a1=，
所以an=a1qn-1=·qn-1=amqn-m.
2.在等比数列中，若m+n=p+r，m，n，p，r∈N*，则aman=apar.
3.不一定，还需看a1的符号，只有当a1>0，q>1时，{an}才是递增数列.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】在等比数列{an}中，=a1·a5，所以a5==.
3.C　【解析】∵{an}是等比数列，∴a2·a6==16.
4.25　【解析】∵{an}是等比数列，
∴a8·a11=a9·a10=a7·a12，
∴a8a9a10a11=(a7a12)2=52=25.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：前一项与后一项的积是中间项的平方.
问题2：ap·aq=am·an.
新知运用
例1　(1)C　(2)-　【解析】(1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100.
(2)因为+=，+=，
由等比数列的性质知a7a10=a8a9，
所以+++==÷-=-.
巩固训练1　A　【解析】由根与系数的关系得a3a5=5，又因为=a2a6=a3a5=5，所以a4=±，所以a2a4a6=±5.
巩固训练2　50　【解析】由题意得a10a11=e5，所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)…(a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50.
探究2　情境设置
问题1：an=n-1=2n-2=m·n-m=，所以一般的等比数列的通项公式为an=am·qn-m(n，m∈N*).
问题2：能.
新知生成
(1)an=am·qn-m(n，m∈N*)
(2)，q1，q1q2，
(3)qm
新知运用
例2　【解析】(1)在等比数列{an}中，∵a2a4=，
∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=.
(2)由等比中项的性质，得+2a3a5+=25，即(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
=log395=10.
巩固训练1　B　【解析】∵=·=q·q=q2，n≥2且n∈N*，
∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列.故选B.
巩固训练2　D　【解析】∵a2·a8=a3·a7，
∴由
解得或
若a3=3，a7=12，则有12=3×q4，
∴q=±；
若a3=12，a7=3，则有3=12×q4，
∴q=±.故选D.
巩固训练3　3　【解析】∵a891=a888q891-888=a888q3，
∴q3===27，
∴q=3.
探究3　情境设置
问题1：关键是能够证明(n∈N*)是一个非零常数.
问题2：不一定.当an≠0时，数列{an}是等比数列；当an=0时，数列{an}不是等比数列.
问题3：能.根据等比数列的定义可以判断.
问题4：证明=q(q≠0)即可.
新知运用
例3　【解析】(1)因为Sn=2an+n-4，
所以当n=1时，S1=2a1+1-4=a1，解得a1=3.
(2)因为Sn=2an+n-4，
所以当n≥2时，Sn-1=2an-1+(n-1)-4，
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)，
即an=2an-1-1，
所以an-1=2(an-1-1)，
又bn=an-1，所以bn=2bn-1(n≥2)，且b1=a1-1=2≠0，所以bn=2n(n∈N*)，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
巩固训练　【解析】因为Sn=2-an，所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1，
所以an+1=an.
又因为S1=2-a1=a1，所以a1=1≠0，
又由an+1=an知an≠0，
所以=，所以an=n-1(n∈N*)，
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】因为=a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.
2.AC　【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4==8，解得a3=2，所以a7=a3q4=2q4=8，即q2=2，所以q= 或q=-.
3.A　【解析】∵1，a1，a2，4成等差数列，
∴3(a2-a1)=4-1，∴a2-a1=1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，∴=1×4=4，且b2=1×q2>0，
∴b2=2，∴==-.
4.2×3n-1-n　【解析】∵数列{an+n}是等比数列，
∴(a2+2)2=(a1+1)·(a3+3)，∴(4+2)2=(a1+1)×(15+3)，解得a1=1，∴公比q===3，
∴an+n=2×3n-1，∴an=2×3n-1-n.
5.【解析】(1)由题意知，开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1=1-，第(n+1)次操作后溶液的浓度为an+1=an1-，
所以{an}是首项为1-，公比为1-的等比数列，
所以an=a1qn-1=1-n，即第n次操作后溶液的浓度是1-n.
(2)当a=2时，令an=n<，得n≥4.
故至少应操作4次后才能使溶液的浓度低于10%.