1.3.3 等比数列的前n项和 学案（含答案） 2024-2025学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

1.3.3 等比数列的前n项和
【学习目标】
1.会用错位相减法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式，并能够和实际问题相互联系，进而感受等比数列的实际运用.(数学建模)
2.能够正确推导有关等比数列前n项和的性质，并能够进行灵活运用.(逻辑推理)
3.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题，初步学会分类讨论的数学思想.(数学运算)
【自主预习】
1.公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算
2.当q≠1时，如何计算等比数列的前n项和Sn
3.当等比数列的公比为字母时，求{an}的前n项和要注意什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. (　　)
(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列. (　　)
2.在等比数列{an}中，a1=1，q=2，则S5=　　　　.
3.某厂去年的产值为a，计划在今后5年内每年比上一年的产值增长10%，则从今年起5年内该厂的总产值为　　　　.
4.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S3=10，S6=20，则S9=　　　　.
【合作探究】
　等比数列的前n项和公式
　　已知等比数列{an}的公比为q，Sn是其前n项和，则Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.
问题1：若q=1，则Sn与a1有何关系
问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗 如何表示
　　在等比数列{an}中，Sn=
求和公式的推导方法：乘公比，错位相减.为解题方便，有时可将求和公式变形为Sn=Bqn-B(q≠1)，其中B=，q≠0且q≠1.
在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比.
(1)若S2=30，S3=155，求Sn；
(2)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5；
(3)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q.
【方法总结】　　解决此类问题的方法是先求出等比数列的首项a1与公比q，再代入等比数列{an}的前n项和公式求得Sn.
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=，a2a6=8(a4-2)，则S2 020=(　　).
A.22 019- B.1-2 019
C.22 020- D.1-2 020
在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比.
(1)若an=2n，求S6；
(2)若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n.
　a1，q，n，an，Sn中知三求二
问题：在等比数列{an}中，若已知q，n，an，如何求a1和Sn
　　在等比数列{an}的五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换.根据等比数列{an}的前n项和公式列方程时还要注意对q是否为1进行讨论.
(1)在等比数列{an}中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值为　　　　.
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=　　　　.
【方法总结】等比数列{an}中的五个基本量a1，an，n，q，Sn能够“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时要用到换元法.
已知等比数列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和公比q.
　等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
问题1：当q≠1时，从函数的角度分析Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么
问题2：数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题3：Sm，Sn，Sm+n之间有什么等量关系 利用等比数列求和公式进行推导.
问题4：S奇，S偶分别是多少 两者之间具有什么关系 对n进行分类讨论.
1.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0，a≠1，n∈N*)，则数列{an}是等比数列.
2.若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…构成等比数列，且公比为　　.
3.若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sm+n=Sn+qnSm.若等比数列{an}的前n项和为Sn，则等比数列的项数为偶数时，=q；等比数列的项数为奇数时，=q.
(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3=　　　　.
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=　　　　.
【方法总结】熟练掌握等比数列前n项和的性质是解题的关键，且有助于减少运算量.
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=(　　).
A.2 B. C. D.3
已知等比数列{an}的公比q=2，前100项的和为S100=90，则其偶数项和a2+a4+…+a100=(　　).
A.15 B.30 C.45 D.60
　错位相减法在数列求和中的应用
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn.
【方法总结】理解错位相减法的运算法则的两个关键点，一是通过乘以公比q的同类项错位，二是相减合并同类项，再用等比数列求和公式计算.
已知{an}是各项均为正数的数列，Sn为数列{an}的前n项和，Sn>1且2Sn=(an-1)(an+2)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
【随堂检测】
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=a2+10a1，a5=9，则a1=(　　).
A. B.- C. D.-
2.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　).
A. B. C. D.
3.已知等比数列{an}的公比为2，其前n项和为Sn，且前5项和为1，那么前10项和等于(　　).
A.31 B.33 C.35 D.37
4.已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S5=10，S10=50，则S15=　　　　.
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列.
(1)求数列{an}的公比q；
(2)若a1-a3=3，求Sn.
参考答案
1.3.3 等比数列的前n项和
自主预习·悟新知
预学忆思
1.当q=1时，a1=a2=…=an，
所以Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.利用公式Sn=计算.
3.若等比数列的公比为字母，应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.31　【解析】S5===31.
3.11a(1.15-1)　【解析】因为去年的产值为a，所以从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，所以从今年起5年内该厂的总产值为1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
4.30　【解析】因为数列{an}是等比数列，所以S3，S6-S3，S9-S6(S3≠0)成等比数列，即10，10，S9-20 成等比数列，显然S9-20=10，解得S9=30.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：Sn=na1.
问题2：∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，　①
∴两边同时乘以q，可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，　②
由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，
∴当q≠1时，Sn=.
新知运用
例1　【解析】(1)由题意知
解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)(法一)由题意知解得
所以S5==.
(法二)由a4+a6=(a1+a3)q3=，得q3=，所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，所以S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128，a1+an=66，所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根，
解得或
又Sn==126，所以q=2或q=.
巩固训练1　A　【解析】由等比数列的性质及a2a6=8(a4-2)，得=8a4-16，解得a4=4.又a4=a1q3=q3，所以q=2.所以S2 020==22 019-.故选A.
巩固训练2　【解析】(1)∵an=2n=2×2n-1，∴a1=2，q=2.
∴S6==126.
(2)(法一)由Sn=，an=a1qn-1及已知条件，得
解得
(法二)由公式Sn=及已知条件，
得189=，解得a1=3.
由an=a1qn-1，
得96=3×2n-1，解得n=6.
探究2　情境设置
问题：利用an=a1qn-1代入q，n，an，可求出a1，利用Sn=可求出Sn.
新知运用
例2　(1)1或-　(2)2n-1　【解析】(1)根据已知条件得
所以=3，整理得2q2-q-1=0，
解得q=1或q=-.
(2)设等比数列{an}的公比为q，
因为
由②÷①得q=，所以a1=2，
所以an=2×n-1=22-n，
Sn==41-，
所以==2n-1.
巩固训练　【解析】若q=1，则S3=3a1=6，符合题意，
此时a3=a1=2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3===6，
解得q=1(舍去)或q=-2，
此时a3=a1q2=2×(-2)2=8.
综上所述，q=1，a3=2或q=-2，a3=8.
探究3　情境设置
问题1：若q≠1，则Sn==qn-=Aqn-A，其中A=.
故等比数列Sn关于n的解析式对应的函数模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
问题2：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比例数列.当q=-1时，例如an=(-1)n，当k为偶数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k都等于零，不能构成等比数列.
当q≠-1时，Sn≠0，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列，
因为S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk，
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k，
所以==qk，所以Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列.
问题3：当公比q=1时，有Sn=na1，Sm=ma1，Sm+n=(m+n)a1，所以Sn+qnSm=na1+1n·ma1=(m+n)a1，所以Sm+n=Sn+qnSm；当公比q≠1时，有Sn=(1-qn)，Sm=(1-qm)，Sm+n=(1-qn+m)，所以Sn+qnSm=(1-qn)+qn·(1-qm)=(1-qn+qn-qm+n)=·(1-qn+m)，所以Sm+n=Sn+qnSm.
综上可得，Sm+n=Sn+qnSm.
问题4：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1，S偶=a2+a4+a6+…+a2n(n∈N*).若项数为2n(n∈N*)，则===q；若项数为2n+1(n∈N*)，则===q.
新知生成
2.qn
新知运用
例3　(1)3∶4　(2)2　【解析】(1)由等比数列的性质得S3，S6-S3，S9-S6仍成等比数列，于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6)，不妨令S3=2，则S6=1，代入解得S9=，故S9∶S3=3∶4.
(2)由题意知
解得
故公比q===2.
巩固训练1　B　【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意知q≠-1，根据等比数列前n项和的性质，得==1+q3=3，解得q3=2.于是===.
巩固训练2　D　【解析】设S=a1+a3+…+a99，则a2+a4+…+a100=(a1+a3+…+a99)q=2S.
因为S100=a1+a2+…+a100=90，所以3S=90，解得S=30，
所以a2+a4+…+a100=2S=60.
探究4
例4　【解析】(1)由题意得
解得或
故或
(2)由d>1，知an=2n-1，bn=2n-1，故cn=，
于是Tn=1+++++…+，　①
Tn=+++++…+，　②
由①-②可得Tn=2+++…+-=3-，故Tn=6-.
巩固训练　【解析】(1)当n=1时，a1=S1=，解得a1=2或a1=-1，因为an>0，所以a1=2.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-，即(an-an-1-1)(an+an-1)=0，
因为an>0，所以an-an-1=1.
所以数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
故an=n+1.
(2)因为bn=，所以bn=，
因此Tn=++…++，
Tn=++…++，
两式相减得Tn=++…+-=--，
所以Tn=--=-.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】由题知等比数列{an}的公比q≠1，则S3==a1q+10a1，得q2=9.又a5=a1q4=9，所以a1=.故选C.
2.D　【解析】Sn==.
3.B　【解析】根据等比数列性质得=q5，
∴=25，∴S10=33.
4.210　【解析】设S15=x，
∵S5，S10-S5，S15-S10 为等比数列，∴10，40，x-50 为等比数列，
∴402=10(x-50)，解得x=210.
5.【解析】(1)依题意得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)，
由于a1≠0，故2q2+q=0.
又q≠0，所以q=-.
(2)由已知可得a1-a1-2=3，解得a1=4.
所以Sn==×1--n.