2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数应用综合练习（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数应用综合练习
1．某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
2．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
3．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
4．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
5．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
6．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
7．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
8．某种商品的销售单价y1（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）；每件的成本y2（元/件）与销售月份x（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低．
（1）求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率．
（2）求该商品销售单价y1关于销售月份x的函数解析式．
（3）在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润＝售价﹣成本）
9．某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋．
（1）试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式；
（2）当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？
（3）如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？
10．某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据．
生产吨数（吨） 50 70
生产费用（万元） 1500 1840
（1）求y与x的函数解析式；
（2）已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元．
①求w与x的函数解析式；
②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值．
11．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米．
（1）写出超市销售这种大米，每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获得利润最大？最大利润为多少？
12．近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法．察觉到商机的某服装超市以每件80元的价格购进一批军大衣，商家经过调查统计，当每件军大衣售价为130元时，一天可以卖出100件，在此基础上，售价每降1元，则每天的销售量会增加10件．
设每件商品的售价为x（x≥80）元，每天可获得的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示下列各量：
①每件军大衣的利润为　 　元；
②每天军大衣的销售量为　 　件．
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是多少？
13．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y元，
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？
14．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
15．一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
已知：桥洞L1的最大高度OC为8米，跨度AB＝32米，桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米．
（1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，现需要在桥洞L2，L3上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度．
参考答案
1．【解答】解：（1）由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，
又过（100，300），（120，200），
∴．
∴．
∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．
（2）由题意得，，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）
＝﹣5x2+1200x﹣64000
＝﹣5（x﹣120）2+8000，
又﹣5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．
2．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x2＝22
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，w最大＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
3．【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
4．【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，
由题意可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x1＝13，x2＝25（舍去），
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
5．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
6．【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高2元，
答：T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴当x＝10时，M最大值 ＝4000元，
∴销售单价：40+10＝50（元），
答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．
7．【解答】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y（10﹣5）2+6，
∴点（10，）在抛物线y（x﹣5）2+6上．
又∵1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
8．【解答】解：（1）设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为x，
根据题意得：50（1﹣x）2＝32，
解得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意，舍去），
答：5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为20%；
（2）设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b，
把点（5，50）与点（7，32）代入y1＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y1关于x的函数解析式为：y1＝﹣9x+95；
（3）∵抛物线的顶点坐标是（8，21），
∴设y2关于x的函数解析式为．
把点（5，30）代入中得：
a（5﹣8）2+21＝30，
解得：a＝1，
∴，
设销售这种商品每件获得的利润是w元．
则，
∵a＝﹣1，b＝7，
∴，
∴该抛物线开口向下，对称轴直线是，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
∵x＝5，6，7，8，
∴当x＝5时，w取最大值，
∴5月销售这种商品，每件获得的利润最大．
9．【解答】解（1）当每袋售价x元时，则y＝500﹣（x﹣40）×20＝﹣20x+1300，
500÷20+40＝25+40＝65（元）
即y＝﹣20x+1300（40≤x≤65）；
（2）依题意可得：
，
当x＝47.5时，T有最大利润为6125元；
（3）由题意可得：40≤x≤46，且T＝﹣20x2+1900x﹣39000≥6000，
解得45≤x≤50，
∴45≤x≤46，
∵y＝﹣20x+1300中的y随x的增大而减小，
∴当x＝46时，y＝﹣20×46+1300＝380，
即ymin＝380．
答：超市每天至少销售大米380袋．
10．【解答】解：（1）依题意，设材料费用为y1＝k1x，制造费用为，
则：，
根据题意可知，（50，1500），（70，1840）满足解析式，
代入可得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：y＝0.1x2+5x+1000；
（2）①w＝P x﹣y
，
综上所述，w与x的函数解析式为：；
②∵，
配方得：，
∵当生产吨数是150吨时，利润最大，
即当x＝150时，w有最大值，
∴，
解得a＝45，此时P＝4540．
11．【解答】解：（1）根据题意得每天售出大米的数量可得：w＝（x﹣4）（1200﹣50x）＝﹣50x2+1400x﹣4800，
由条件可知4≤x≤7，
∴每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式为w＝﹣50x2+1400x﹣4800（4≤x≤7）；
（2）当每天销售该大米的利润达到1800元时，
依题意得：﹣50x2+1400x﹣4800＝1800，
解得：x1＝22（舍去），x2＝6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）由（1）知：w＝﹣50x2+1400x﹣4800（4≤x≤7），
∴w＝﹣50（x﹣14）2+5000，
∵﹣50＜0，对称轴为x＝14，
∴当x＜14时，y随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴当x＝7时，（元），
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
12．【解答】解：（1）①∵每件商品的售价为x（x≥80）元，每件军大衣的进价为80元，
∴每件军大衣的利润为（x﹣80）元；
②由条件可知：每天军大衣的销售量为100﹣10（x﹣130）＝（1400﹣10x）件，
故答案为：①（x﹣80）；②（1400﹣10x）；
（2）根据题意得：y＝（x﹣80）（1400﹣10x）＝﹣10x2+2200x﹣112000＝﹣10（x﹣110）2+9000
∵﹣10＜0，
∴当x＝110时，y取最大值，最大值为9000，
答：每件商品的售价定为110元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是9000元．
13．【解答】解：（1）由题意，∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100+10x；
（2）由题意，结合（1），∵y＝100+10x，
∴W与x的函数关系式为W＝（50﹣30﹣x）y＝（20﹣x）（100+10x）＝﹣10（x﹣5）2+2250（0＜x≤20）；
（3）由题意，∵W＝﹣10（x﹣5）2+2250，﹣10＜0，
∴当x＝5时，w有最大值，且最大值为2250，此时定价为：50﹣5＝45（元）．
14．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），
∴81a+9＝3.6．
解得：a．
∵yx+b经过点（9，3.6），
∴3.69+b．
解得：b＝8.1；
②由①得：yx2+x
（x2﹣15x）
（x）2（0≤x≤9）．
∴火箭运行的最高点是km．
∴1.35＝2.4（km）．
∴2.4x2+x．
整理得：x2﹣15x+36＝0．
解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．
由①得：yx+8.1．
∴2.4x+8.1．
解得：x＝11.4．
∴11.4﹣3＝8.4（km）．
答：这两个位置之间的距离为8.4km；
（2）当x＝9时，y＝81a+9．
∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．
设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．
∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0）
∴．
解得：．
∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．
15．【解答】解：（1）由题意得，顶点C（0，8），
∴可设桥洞L1所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+8．
∵AB＝32，
∴B（16，0）．
∴256a+8＝0．
∴a．
∴桥洞L1所在抛物线的函数表达式yx2+8．
（2）由题意，∵桥洞L1所在抛物线的函数表达式yx2+8，且三个桥洞L1，L2，L3均呈抛物线型且抛物线形状相同，
∴可设桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+k，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+k（h＞16）．
又∵桥洞L2，L3关于y轴对称，且最大高度均为4米，
∴k＝4．
∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣h）2+4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+h）2+4．
又∵A（﹣16，0），B（16，0），
∴（16﹣h）2+4＝0．
∴h＝16+8或h＝16﹣8（舍去）．
∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y（x﹣16﹣8）2+4，桥洞L3所在抛物线的函数表达式y（x+16+8）2+4．
令y＝2，
∴x＝8+8或24+8（舍去）；x＝﹣8﹣8或﹣24﹣8（舍去）．
∴PQ＝8+8（﹣8﹣8）＝（16+16）（米）．
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