2025年九年级中考数学三轮冲刺一元二次方程综合专题练习（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺一元二次方程综合专题练习
一、选择题
1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
4．等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
5．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）
A．5m B．70m
C．5m或70m D．10m
6．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（　　）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
8．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
二、填空题
9．已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　，　 　．
10．超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　 　，
11．已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　 　．
12．已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　．
13．若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则　 　．
14．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2　 　．
三、解答题
15．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　；
（2）求，x1；
（3）已知2p+1，求p的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值．
19．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
20．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A C B A
1．【解答】解：根据题意得，
解得m≤4且m≠2．
故选：D．
2．【解答】解：∵m﹣2n＝3，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）
＝m2+4n2﹣4mn﹣4
＝（m﹣2n）2﹣4
＝32﹣4
＝9﹣4
＝5＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x22，x1x2，
∵2，
∴x1+x2＝2x1x2，
∴﹣2＝2，
解得k＝﹣1，
方程化为﹣x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，
∴k的值为﹣1．
故选：B．
4．【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．
故选：C．
5．【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故选：A．
6．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
7．【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
8．【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m＝1或m＝﹣3，
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m，
∴m＝1不合题意，舍去，
∴m＝﹣3；
故选：A．
二、填空题
9．【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0，
即x＝2或ax2+bx+c＝0，
∵4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，
∴b2﹣4ac≥0，且4，
∵a，b，c是有理数，a≠0，
∴4也是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，
∴该方程的另外两根分别是2和4．
故答案为：2，4．
10．【解答】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486，
解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%．
故答案为：10%．
11．【解答】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，
∴a+b＝﹣2，
∴4a2+8ab+4b2
＝4（a2+2ab+b2）
＝4（a+b）2
＝4×（﹣2）2
＝16．
故答案为：16．
12．【解答】解：∵y2﹣x＝0，
∴y2＝x≥0，
∵x2﹣3y2+x﹣3＝0，
∴x2﹣3x+x﹣3＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
即x的值为3，
故答案为：3．
13．【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴．
故答案为：．
14．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2
＝（m）2+2
＝（）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
三、解答题
15．【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
∵240000÷1600＝150（套），
∴m＞100，
由题意得：m（160040）＝240000，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝200，m2＝300，
当m＝200时，160040＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意；
当m＝300时，160040＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去；
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
16．【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1．
∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9．
整理，得m2+m﹣2＝0．
∴（m+2）（m﹣1）＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝1．
∴m的值为﹣2或1．
17．【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为：p，1；
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴p；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴，
∴，即；
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵，
∴，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p1＝3，p2＝﹣1，
当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
18．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m．
19．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1x2；
故答案为：，；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n，mn，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn1；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t，st，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（），
∴t﹣s＝±，
∴±．
20．【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1，x2，x3，x4；
故答案为：x1，x2，x3，x4；
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2，或a2＝b2，
当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．
当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2，此时a4+b4＝2（a2）2．
综上所述，a4+b4或．
（3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
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