2025年九年级中考数学三轮冲刺图形的旋转的综合练习（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺图形的旋转的综合练习
一、选择题
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α°得到△AB'C'．当点B，C，B'在同一直线上，∠BAC＝100°，α＝150时，∠C'＝（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
3．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
6．如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
7．如图，等边△ABC的边长为2，点D在AB上，BD，连接CD，将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得到CE，连接DE交AC于点G．则点G到CD的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 　 　．
10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　 　度．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，则EF的长为 　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC，BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 　 　．
三、解答题
14．如图1，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α得到△DBE，此时点D落在AC的延长线上．
（1）求α的大小；
（2）设AB＝x，BC＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，连接AE，F为AE的中点，连接BF，证明：直线BF⊥AD．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，点E在线段AO上（与端点不重合），线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD上，FH⊥AC，垂足为H．
（1）求证：△OBE≌△HEF；
（2）设OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．
17．如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4．
（1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
（2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．
18．如图，在Rt△ABC中，，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE．
（1）求证：△CAD≌△CBE；
（2）若AD＝2时，求CE的长；
（3）点D在AB上运动时，试探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
19．如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 　 　．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
20．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A A B B C D
1．【解答】解：由题意可得：
∴AB＝AB′，∠BAB′＝150°，
∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
∴∠AB′C′＝∠B＝15°，∠B′AC′＝∠BAC＝100°，
∴∠C′＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故选：B．
2．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，
∴AB6，
由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，
∴OA′＝OB′，
∵△AOB绕点O顺时针旋转45°，
∴∠BOB′＝45°，
∴∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BOB′＝∠BOA′，
∵OA′＝OB′，
∴D是A′B′的中点，
∴ODA′B′63．
故选：B．
3．【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD，
∴AD，
故选：A．
4．【解答】解：过点A作AG⊥BD于点G，
∵∠ABD＝30°，∠A＝105°，
∴∠ADB＝45°，
设AE＝BE＝a，则AB＝2a，
∴，BG，
∴DG＝AG＝a，
∴AD，
∵，，
∴，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴∠ADE＝∠ABD＝30°，
∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°＝∠ADE+∠EDF+∠CDF，
∴90°＝30°+∠EDF+30°，
∴∠EDF＝30°＝∠ADE，
∵AD＝CD＝DF，DE＝DE，
∴△ADE≌△FDE（SAS），
∴EF＝AE＝BE＝1，
过点E作EH⊥BD于点H，
∴EH，BD，
∴△BED的面积，
故选：A．
5．【解答】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴∠A＝∠MGN'＝90°，
由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN′，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN′，
∴△AMN≌△GMN′（AAS），
∴MG＝AM，
∴点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接MB交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值，
最小值为BM+BM′，
∵BMAB＝5，MM′＝5+5＝10，
∴，
故选：B．
6．【解答】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°，
∴∠A＝∠BON．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝MO，ON＝AM．
∵点A的坐标为（﹣4，6），
∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6，
∴点B的坐标为（6，4）．
故选：B．
7．【解答】解：过D作DM⊥BC于M，
∴∠DMB＝∠DMC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵BD，
∴BM，DMBD，
∴CM＝BC﹣MB＝2，
∴CD，
∵将CD绕点C按顺时针方向旋转60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ECG，
∵∠B＝∠E＝60°，
∴△BCD∽△ECG，
∴，
∴，
∴EG，
∴DG＝DE﹣EG，
过G作GH⊥CD于H，
∴GHDG，
故选：C．
8．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，
∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，
∴BD⊥CE，故②正确；
当点E在BA的延长线上时，如图：
同理可得∠DMC＝90°，
∴∠DMC＝∠EAC，
∵∠DCM＝∠ECA，
∴△DCM∽△ECA
∴，
∵AC，AD＝1＝AE，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：
∵∠BMC＝90°，
∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，
∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，
∵AE＝AD，
∴四边形AEMD是正方形，
∴MD＝AE＝1，
∵BD，
∴CE＝BD，BM＝BD﹣MD1，
∴MC＝CE+ME1，
∵BCAB，
∴MB1，
∴△MBC的面积为（1）×（1），故④正确，
故选：D．
二、填空题
9．【解答】解：作C′F⊥AO，交y轴于点F，
由题可得：OA＝4，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠OAC＝30°，
∴，
在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，
即，
解得，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，
故答案为：80．
11．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝4，∠A＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝2，
∴DE2，
∵△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，
∴DE＝DF＝2，∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EFDE22．
故答案为：2．
12．【解答】解：∵BE⊥AE，
∴∠BEA＝90°，
∴点E是在以AB为直径的圆上运动，
∵CD＝1，且CD是绕点C旋转，
∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，
∵ABAC＝3，
∴当cos∠BAE最大时，AE最大，当cos∠BAE最小时，AE最小．
①如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC内部时，∠BAE最小，AE最大，
∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD2，
∵，
∴∠CEA＝∠CBA＝45°，
∴DE＝CD＝1，
此时AE＝21，即AE的最大值为21，
②如图，当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，∠BAE最大，AE最小，
同理可得AD＝2，DE＝1，
此时AE＝21，即AE的最小值为21，
故答案为：21；21．
13．【解答】解：作AC的中点Q．连结PQ，作以Q为圆心PQ为半径的圆．
∵P是CD的中点，Q是AC的中点，
∴PQ是△ACD的中位线，
∴PQAD．
∴线段AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心PQ为半径的圆上移动，
∴当BP经过点Q时BP的值最大．
∵BC＝2，tan∠BAC，
∴AC＝4，
∴AQ＝CQ＝2．
∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，
∴BQ＝2（负数不合题意舍去）．
∴BP的最大值为2．
故答案为：2．
三、解答题
14．【解答】解：（1）由旋转可得BA＝BD，
又∵点D落在AC的延长线上，∠BAC＝45°，
∴∠BDA＝∠BAC＝45°，
∴α＝∠ABD＝90°，
（2）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠BAC＝45°，则△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∵∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝y，
∴，，
∵，
∴，
（3）证明：如图2，连接DF，
∵∠BDA＝∠A＝45°，由旋转可得∠BDE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴DE⊥AD，
∵F是AE的中点，
∴DF＝AF，
在△ABF和△DBF中，
，
∴△ABF≌△DBF（SSS），
∴，
∴∠FDB＝∠BDE＝45°，
∴BF∥DE，
∴BF⊥AD．
15．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PFPD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BFDEb，
∴S△CEF，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEF，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF，
∴△CEF的面积是30．
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOE＝90°，
∵FH⊥AC，
∴∠EHF＝90°＝∠BOE，
∴∠BEO+∠OBE＝90°，
由旋转得：BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴∠BEO+∠FEH＝90°，
∴∠OBE＝∠FEH，
在△OBE和△HEF中，
，
∴△OBE≌△HEF（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，OB＝OC，∠ACD＝45°，
∵△OBE≌△HEF，
∴OE＝FH＝x，EH＝OB，
∴FH＝CH＝x，
∴CFFHx，
∴OE2﹣CF＝x2x＝（x）2，
∵点E在线段AO上（与端点不重合），
∴0＜x，
∴当x时，OE2﹣CF的最小值是．
17．【解答】解：（1）以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交圆于M2，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CN平分∠ACB，CNAB4＝2，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE中点，
∴CM1DE2＝1，
∴M、N距离的最小值是NM1＝CN﹣CM1＝2﹣1＝1，M、N距离的最大值是NM2＝CN+CM2＝2+1＝3．
（2）连接CM，CN，作NH⊥MC交MC延长线于H，
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB中点，
∴CNAB＝2，
同理：CMDE＝1，
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，
∴∠MCN＝120°，
∴∠NCH＝180°﹣∠MCN＝60°，
∴CHCN＝1，
∴NHCH，
∵MH＝MC+CH＝2，
∴MN．
18．【解答】（1）证明：由题意，可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE．
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
在△CAD和△CBE中，
∴△CAD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵在 Rt△ABC中，，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．
∵△CAD≌△CBE（SAS），
∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∴，
∴在 Rt△CDE 中，；
（3）解：存在，理由：
由（2）可知，AD2+BD2＝BE2+BD2＝DE2＝2CD2，
∴当CD最小时，有 AD2+BD2 的值最小，此时 CD⊥AB．
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴，
∴AD2+BD2＝2CD2≥2×32＝18．
即 AD2+BD2 的最小值为18．
19．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵BM＝DN，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∴，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH＝EG＝EF+FG＝9，
∴AM＝HE＝9，
∴，
∴AH；
（3）证明：如图，
延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMR＝∠H，交AX于R，
∴XM＝2BM，
∵AB⊥XM，
∴AX＝AM，
∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，
设∠XAB＝∠BAM＝α，
∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，
∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，
∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，
∴∠X＝∠MRX，
∴RM＝XM，
∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，
∴△HEF≌△MAR（ASA），
∴FH＝RM＝XM＝2BM．
20．【解答】（1）证明：如图1，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：如图2，连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如图3，
当点N在线段AM上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x，
∴AM＝BN，
如图4，
当点M在线段AN上时，连接BN，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x，
∴AM＝BN，
综上所述，线段AM的长为或．
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