2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中线段最值问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中线段最值问题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C（0，﹣4）点，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及B点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
2．平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于A（0，﹣3），与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为D（2，1）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是抛物线上一动点，且位于直线AC的上方，过点E作AC的垂线交AC于点F，求EF长度的最大值；
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是x轴上方抛物线上一点，作MN⊥BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴．A，B是抛物线上两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AB的解析式为y＝kx﹣4k﹣3，且△PAB的面积为35，求k的值；
（3）如图（2），若∠APB＝90°，PC⊥AB于点C，求PC的最大值．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是直线AC上方抛物线上一动点，连接OM交AC于点N，当的值最大时，求点M的坐标；
6．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作PE⊥x轴交AC于点E，求线段PE长度的最大值；
7．【问题背景】
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，连接AC．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作ND∥y轴，交AC于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
8．如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为5米，宽OP为10米．以点O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求出该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点A，D在抛物线上，点B，C在OP上，求出所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．
9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
10．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线AD交抛物线于另一点E．
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD的函数表达式．
（2）点P是直线AE下方抛物线上的一点，过点P作直线AE的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段PF最大？请求出PF的最大值．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
12．已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
13．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，5）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EF的最大值；
14．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MB的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值．
15．如图，抛物线与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，且经过点（2，5），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点P为抛物线图象上的一点，S△POC＝4S△BOC，求P点的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
16．综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），连接AB，P（m，n）为抛物线AB部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交x轴于点N．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）①求线段PM的最大值．
②连接OM，当△OBM为等腰三角形时，求m的值．
17．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
（3）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
18．已知抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）填空：a＝　 　，k＝　 　，t＝　 　；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值．
19．如图，抛物线y＝x2+bx﹣5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）且B（5，0），抛物线与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若P是y轴上一动点，当PA+PD值最小时，求点P的坐标．
（3）点M为抛物线上一动点，且横坐标为m（0＜m＜2），过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，过点M作MN∥x轴，交抛物线于点N，求MQ+MN的最大值．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
参考答案
1．【解答】解：（1）把（0，﹣4），（﹣1，0），代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4，
令x2﹣3x﹣4＝0，则x＝﹣1或4，
∴B（4，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝5，OC＝4，
；
（3）设直线BC的解析式为yBC＝kx﹣4，
∵B（4，0），
∴0＝4k﹣4，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为yBC＝x﹣4，
设P（x，x2﹣3x﹣4），0＜x＜4，
∵PQ∥y轴，
∴Q（x，x﹣4），
∴PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，PQmax＝4，此时P（2，﹣6），
∴线段PQ的最大值是4，此时点P的坐标为（2，﹣6）．
2．【解答】解：（1）∵顶点坐标为D（2，1），
设二次函数的顶点式为y＝a（x﹣2）2+1，
∵抛物线与y轴交于A（0，﹣3），
∴a（0﹣2）2+1＝﹣3，
解得，a＝﹣1．
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）由题意，由（1）得，抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．
∴顶点D（2，1）．
令y＝0，
∴x2﹣4x+3＝0．
∴x＝1或3．
∴抛物线与x轴的交点B（1，0），C（3，0）．
由A（0，﹣3），C（3，0）得，直线AC为y＝x﹣3．
由题意，当平行于AC的直线l与抛物线相切时，EF最大．
可设直线l为y＝x+m，由抛物线为y＝﹣x2+4x﹣3，
∴此时方程为x+m＝﹣x2+4x﹣3，
则Δ＝9﹣4（3+m）＝0．
∴m．
∴l为y＝x，又AC为y＝x﹣3，
∴（﹣3）．
∵直线l与y轴夹角45°，
∴EF的最大值为．
3．【解答】解：（1）物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），将点A，点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）由B（6，0），C（0，6）解得直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
过点M作MQ∥y轴交BC于点Q，如图1，
设，Q（m，﹣m+6），
，
∵∠MQN＝∠OCB＝45°，MN⊥BC，
∴，
∴，
∴当m＝3时，MN最大，最大值是；
（3）过F作FG⊥AP于点G，过B作BH⊥AP于点H，过B作BK∥y轴交AP的延长线于点K，如图2，
∵S△AFE＝S△ABE，
∴FG＝BH，
又∵∠FDG＝∠BKH，∠FGD＝∠BHK＝90°，
∴△FDG≌△BKH（AAS），
∴FD＝BK，
∵，
且CF＝OD，
∴OD：DF：CF＝1：4：1，
∴，
∴D（0，1），
∴直线AD的解析式为，
∵，
∴，
解得x＝5或﹣2（舍去），
∴，
∴△PAB的面积，
故△PAB的面积为14．
4．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点P（4，2），对称轴为y轴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2+6；
（2）∵y＝kx﹣4k﹣3＝k（x﹣4）﹣3，
∴直线AB过定点D（4，﹣3）．
如图，连结PD，
∵P（4，2），D（4，﹣3），
∴PD∥y轴，PD＝5，
∴S△ABP|xB﹣xA|＝35，
∴|xB﹣xA|＝14，
由kx﹣4k﹣3x2+6，
整理得x2+4kx﹣16k﹣36＝0，
由根与系数的关系得xB+xA＝﹣4k，xBxA＝﹣16k﹣36，
∴|xB﹣xA|2＝（xB+xλ）2﹣4xBxA＝142，
∴4k2+16k﹣13＝0，
解得k＝﹣2或k＝﹣2；
∴k的值为﹣2或﹣2；
（3）设A（m，m2+6），B（n，n2+6），直线AB解析式为y＝tx+b'，
由得x2+tx+b'﹣6＝0，
由根与系数的关系得m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24，
如图，过点P作直线PN∥x轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足为E、F，
∴∠E＝90°，∠F＝90°，
∴∠APE+∠PAE＝90°，∠E＝∠F，
∵∠APB＝90°，
∴∠APE+∠BPF＝90°，
∴∠PAE＝∠BPF，
∴△PAE∽△BPF，
∴，
∴，
整理变形可得mn+4（m+n）+32＝0，
又∵m+n＝﹣4t，mn＝4b'﹣24，
∴b'＝4t﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝tx+4t﹣2＝t（x+4）﹣2，
∴直线AB经过定点C（﹣4，﹣2），
∵P（4，2），
∴PC的最大值为4．
5．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C（0，3）．将点A、点B、点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，过点M作MH∥y轴，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+t，将点A、点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设M（m，﹣m2+2m+3），则H（m，﹣m+3），
∴MH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵MH∥y轴，
∴△MHN∽△OCN，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴点M的坐标为．
6．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，
令y＝0，得：﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，得：y＝3，
∴C（0，3），
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4）；
（2）P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），PE⊥x轴交AC于点E，如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
∴y＝x+3，
设P（p，﹣p2﹣2p+3）（﹣3＜p＜0），则E（p，p+3），
∴PE＝﹣p2﹣2p+3﹣（p+3）
＝﹣p2﹣3p
，
∴当时，PE有最大值为；
7．【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；
设点N的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点M（x，﹣x﹣3），
∴DN＝﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣2x+3，DM＝﹣（﹣x﹣3）＝x+3，
∴，
∵﹣1＜0，
∴MN有最大值，最大值为，
当x时，y＝x2+2x﹣3，
∴点N的坐标为；
8．【解答】解：（1）由题意可设这条抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
∵抛物线过O（0，0），
∴25a+5＝0，
解得a，
∴这条抛物线的函数解析式为y（x﹣5）2+5；
（2）设点A的坐标为（m，m2+2m），
则OB＝m，AB＝DC2m，
根据抛物线的轴对称，可得：OB＝m＝CP，BC＝10﹣2m，AD＝10﹣2m，
令L＝AB+AD+DC
2m+10﹣2m
2m+10
，
∵0，开口向下，
∴当m时，最大值为，
∴当OB米时，三根“光带”长度之和的最大值为米．
9．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2，
t时，PM最大，
此时点M坐标（，）；
10．【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2（a≠0）得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
在中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D（0，2），
设直线AD的表达式为y＝kx+b1，
将D（0，2），A（﹣4，0）代入解析式得：，
解得：，
∴直线AD的表达式为；
（2）存在，理由如下：
如图，过点P作y轴的平行线交AD于G，
∴∠AGP＝∠ADC，
∵A（﹣4，0），D（0，2），
∴OA＝4，OD＝2，
∴，
∴，
∴在Rt△PFG中，，
∴，
∴当GP取得最大值时，PF取得最大值，
设点，则，
∴，
∵，
∴当m＝﹣1时，GP取得最大值为，
∴PF的最大值为；
11．【解答】解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得：，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+s，
把B、C坐标代入可得，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，
∴当m时，MN有最大值，MN的最大值为；
12．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
，
解得 ；
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．
13．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，5）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设F（x，x2﹣2x﹣3）（﹣1＜x＜4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（﹣1，0）、B（4，5），得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵EF∥y轴，
∴E（x，x+1），
∴EF＝x+1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x+4，
当x时，EF取得最大值为；
14．【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
将A、B代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y．
答：抛物线的解析式为y．
（2）∵抛物线的解析式为y．
∴当y＝0时，解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∵A（﹣4，0），C（2，0）关于x＝﹣1对称，
如图，连接AB交对称轴于点M，
∴MB+MC＝MB+MA＝AB，
此时MC+MB取得最小值．
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，
∴M（﹣1，3）．
答：点M的坐标为（﹣1，3）．
（3）如图，过点P作PE∥OB交AB于点E，
则△PDE∽△ODB，
∴，
设点P（m，）（﹣4＜m＜0），
∴E（m，m+4），
∴，
∴，
∴当m时有最大值，
∴的最大值为．
答：的最大值的最大值为．
15．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，且经过点（2，5），
∴，
解得．
所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴3×|x|＝43×1，
∴|x|＝4，x＝4或﹣4．
∴当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将A（﹣3，0）代入，
得0＝﹣3k﹣3，
解得k＝﹣1．
即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x）2，
∴当x时，QD有最大值．
16．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（0，2），
∴y＝﹣x2+bx+2．
将点A（2，0）代入，得0＝﹣22+2b+2，
解得：b＝1，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
设直线AB的解析式为y＝kx+2，
将点A（2，0）代入，得0＝2k+2，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
（2）①将P（m，n）代入y＝﹣x2+x+2中，得n＝﹣m2+m+2．
将x＝m代入y＝﹣x+2中，得y＝﹣m+2．
∴PM＝n﹣y＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，
即PM的最大值为1．
②∵点M在直线AB上，且点P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2）．
∵点B（0，2），
∴OB＝2，
∴BM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，
OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4．
当△OBM为等腰三角形时，
（ⅰ）若BM＝OM，则BM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，解得m＝1．
（ⅱ）若BM＝OB，则BM2＝OB2，
即2m2＝4，
解得：或（舍去）．
（ⅲ）若OM＝OB，则OM2＝OB2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得：m＝2或m＝0（舍去）．
综上所述，m＝1或或m＝2．
17．【解答】（1）解：对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）解：过点P作PE⊥x轴于E，交BC于点F，如图1：
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PFD＝∠BCO，
∵∠PDF＝∠BOC＝90°，
∴△PDF∽△BCO，
∴，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝3，OC＝3，
∴BC＝3，
∴，
∴PDx2x，
∴当x时，PD最大为；
（3）证明：如图2，设点M（xM，yM），N（xN，yN），
直线MN：y＝k′x+b′，直线CM：y＝k1x+b1，直线BN：y＝k2x+b2，
将点C（0，﹣3）代入直线CM的解析式得：b1＝﹣3，
将点B（3，0）代入直线BN的解析式得：b2＝﹣3k2，
联立直线MN与抛物线的解析式得：，
整理得：x2﹣（k′+2）x﹣b′﹣3＝0，
则xM+xN＝k′+2，xM xN＝﹣b′﹣3，
同理：xM+xC＝k1+2，xN+xB＝k2+2，
∵xC＝0，xB＝3，
∴xM＝k1+2，xN＝k2﹣1，
∴k′＝xM+xN﹣2＝k1+2+k2﹣1﹣2＝k1+k2﹣1，
b′＝﹣xM xN﹣3＝﹣（k1+2）（k2﹣1）﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1+2﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1，
联立直线CM与直线BN的解析式得：，
解得：，
∵直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，
∴29，
化简得：k1k2＝3k1﹣2，
∴b′＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1＝﹣3k1+2﹣2k2+k1﹣1＝﹣2k1﹣2k2+1＝﹣2（k1+k2）+1＝﹣2（k′+1）+1＝﹣2k′﹣1，
∴直线MN：y＝k′x﹣2k′﹣1＝k′（x﹣2）﹣1，
∴不论k′为何值，均有x＝2时，y＝﹣1，
即：直线MN恒过定点P（2，﹣1）．
18．【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a，
∴yx2x﹣6，
当y＝0时，t2t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k；
故答案为：；；3；
（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，m2m﹣6），
∴PMm2m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴，即OA MA＝CO PM，
3（m﹣3）＝6（m2m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，）；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PNm2m﹣6﹣（m﹣6）m2+2m，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠PNQ＝∠OCB，
∴Rt△PQN∽Rt△BOC，
∴，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QNPN，PQPN，
由△CNE∽△CBO，
∴CNENm，
∴CQPQ＝CN+NQPQ＝CN+PN，
∴CQPQmm2+2mm2m（m）2，
当m时，CQPQ的最大值是．
19．【解答】解：（1）把（5，0）代入y＝x2+bx﹣5中，
0＝25+5b﹣5，
得b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣5；
（2）在y＝x2﹣4x﹣5中，
当x＝﹣2时：y＝7，
∴点D的坐标为（﹣2，7），
当y＝0时：x1＝﹣1，x2＝5，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
作点A关于y轴的对称点E，
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴E点坐标为（1，0），
连接DE交y轴于点P，
此时PA+PD最小，
设直线DE为y＝kx+b，
∴
解得：，
∴直线DE的表达式为
∴点P的坐标为；
（3）如图：
在y＝x2﹣4x﹣5中，
当x＝0时：y＝﹣5，
∴点C的坐标为（0，﹣5），
设直线BC解析式为y＝k1x+b2，则
解得，
∴直线BC表达式：y＝x﹣5，
设M点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），
Q点坐标（m，m﹣5），
∴MQ＝m﹣5﹣m2+4m+5＝﹣m2+5m，
∵M和N关于对称轴对称，对称轴为直线，
∴MN＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∴MN+MQ＝4﹣2m+（﹣m2+5m）
＝﹣m2+3m+4
，
∵﹣1＜0，
∴当时MN+MQ有最大值．
20．【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：
过点P作y轴的平行线PH，分别过点C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
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