2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中等腰三角形存在性问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中等腰三角形存在性问题
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线经过点A（﹣1，0）和C（0，﹣3）两点，且抛物线与x轴交另一点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，在抛物线上有点P，过点A过PC的平行线交y轴于点M，若△PCM是以MC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
2．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的表达式．
（2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是直线AC上方抛物线上一动点，连接OM交AC于点N，当的值最大时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点且位于x轴下方，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点Q的坐标．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，求点D的坐标．
（3）当m为何值时，△CDE是等腰三角形．
5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E．
①请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由；
②连接OD，当△OCD为等腰三角形时，求点D的坐标．
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，连接AC．（1）求此抛物线的解析式．
（2）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作ND∥y轴，交AC于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
（3）在y轴上找一点Q，使得△ACQ为等腰三角形，直接写出点Q的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知二次函数y1＝﹣x2x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A，B的直线为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线BC，其中点A（﹣1，0），点C（0，﹣4）．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若，求此时点P的坐标；
（3）是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标．
（3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．综合与实践
如图，抛物线y＝ax2x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D，连接CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B（3，0），与y轴的交点为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵物线的对称轴为直线x＝1，且经过点A（﹣1，0）和C（0，﹣3），则B点坐标为（3，0），
则抛物线y＝ax2+bx﹣3＝a（x﹣3）（x+1），
将 C（0，﹣3）代入上式得﹣3＝a（0﹣3）（0+1），
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点M的坐标为（0，m），直线AM的解析式为yAM＝kx+b1，
把（0，m）代入上式得：b＝m，
再将A（﹣1，0）代入上式得：k＝m，
∴直线AM的解析式为y＝mx+m，
∵AM∥PC，
∴直线PC的解析式为yPC＝mx+b2，
∵C（0，﹣3），
∴直线PC的解析式为y＝mx﹣3，
令mx﹣3＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝0，x2＝m+2，
∴P（m+2，m2+2m﹣3），
若PM＝PC，
则m2+2m﹣3，
解得m，
∴P的坐标为（，）或（，）；
2．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得，
∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
将B（3，0），C（0，3）代入，
得，
∴，
∴y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t2+2t+3），则M（t，﹣t+3）
∴MQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△BCQ＝S△BMQ+S△CMQ＝（﹣t2+3t）×3＝﹣3（t）2，
∴当t时，S△BCQ取最大值，最大值为，
∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为（，）；
（3）存在，∵y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x1，
设点P（1，a），
∵B（3，0）、C（0，3），
∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a+3）2，BC2＝18，
①BP＝CP，
∴4+a2＝1+（a+3）2，
∴a＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1）；
②BP＝BC，
∴4+a2＝18，
∴a＝±，
∴P（1，）或P（1，）；
③CP＝BC，
∴1+（a+3）2＝18，
∴a＝2或a＝4，
∴P（1，2）或（1，4）；
综上所述，P（1，2）或（1，4）或（1，）或P（1，）或（﹣1，﹣1）．
3．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（3，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C（0，3）．将点A、点B、点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1，过点M作MH∥y轴，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+t，将点A、点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设M（m，﹣m2+2m+3），则H（m，﹣m+3），
∴MH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵MH∥y轴，
∴△MHN∽△OCN，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴点M的坐标为．
（3）点Q的坐标为或或（﹣2，﹣5）．理由如下：
由题意得，抛物线对称轴为直线，
设抛物线对称轴与x轴交于点E，则E（1，0），
∵△PQB是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴∠PBQ＝90°或∠BPQ＝90°；
①当∠PBQ＝90°，过点Q作QF⊥x轴交x轴于点F，令对称轴交x轴于E，如图2：
∵QF⊥x轴，
∴∠QFB＝90°，
∴∠QBF+∠BQF＝90°，
∵∠QBF+∠PBE＝90°，
∴∠QBF+∠BQF＝∠QBF+∠PBE，即∠BQF＝∠PBE，
又∵BQ＝BP，∠QFB＝∠BEP＝90°，
∴△BQF≌△PBE（AAS），
∴QF＝BE＝BO+OE＝1﹣（﹣1）＝2，
设Q（n，﹣n2+2n+3）（n＜1），则F（n，0），
若点Q在x轴上方，则QF＝﹣n2+2n+3＝2，
解得：，（舍去），
∴；
若点Q在x轴下方，如图3，
则QF＝﹣（﹣n2+2n+3）＝2，
解得：，（舍去），
∴；
②当∠BPQ＝90°，此时点Q在x轴下方，过点Q作QG⊥PE交于点G，如图：
∵QG⊥PE，
∴∠QGP＝90°，
∴∠PQG+∠GPQ＝90°，
∵∠BPQ＝90°，
∴∠BPE+∠GPQ＝90°，
∴∠PQG+∠GPQ＝∠BPE+∠GPQ，即∠PQG＝∠BPE，
又∵BP＝PQ，∠QGP＝∠PEB＝90°，
∴△PQG≌△BPE（AAS），
∴QG＝PE，PG＝BE＝2，
∴EG＝PE+PG＝QG+2，
设Q（n，﹣n2+2n+3）（n＜﹣1），则G（1，﹣n2+2n+3），
∴﹣（﹣n2+2n+3）＝1﹣n+2，
解得：n1＝﹣2，n2＝3（舍去），
此时﹣n2+2n+3＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
∴Q（﹣2，﹣5）；
∴综上所述，点Q的坐标为或或（﹣2，﹣5）．
4．【解答】（1）解：∵AB＝4，B（1，0），
∴A（﹣3，0）．
设抛物线关系式为y＝a（x+3）（x﹣1），代入（0，3），
得：3＝﹣3a，
a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）令x＝0，解得抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴的交点C（0，3），
设直线AC为y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3），
代入得，
解得，
∴y＝x+3，
设D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），
．
∴当时，S取得最大值，
此时；
（3）∵点C（0，3），A（﹣3，0），即OA＝OC＝3，
∴∠BAC＝∠ACO＝45°，
∵DE∥y轴，
∴∠EDC＝∠ACO＝45°，
①当点E为等腰三角形的顶点时，如答图1，
∠EDC＝∠ECD＝45°，则∠CED＝90°，
∴CE∥x轴，
又∵CE＝2，
∴m＝﹣2；
②当点C为等腰三角形的顶点时，∠EDC＝∠DEC＝45°，如答图2，
则EC⊥CD，过点D作CH⊥ED，垂足为H，
∴EH＝DH，H（m，3），
∵D（m，m+3），
∴E（m，﹣m+3），代入解析式y＝﹣x2﹣2x+3得﹣m2﹣2m+3＝﹣m+3，
m＝﹣1（m＝0不合题意舍去）；
③当点D为等腰三角形的顶点时，DE＝DC，如答图3，
如图，∵D（m，m+3），
∴E（m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∴，
解得，（m＝0不合题意舍去）；
综上：m＝﹣2或﹣1或．
5．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．将点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①2PD+PE有最大值；理由如下：
由（1）可得C的坐标为（0，2），
直线BC的解析式可设为y＝mx+2，将点B的坐标代入得：
3m+2＝0，
解得：，
即直线BC的解析式为．
设，则，
∴2PD+PE
，
∴当时，2PD+PE取得最大值，此时点P的坐标为；
②由已知及勾股定理可求得：OC＝2，OD2x+4，DC2，
△OCD为等腰三角形时有三种情况，即：
当OC＝OD时，即，
解得或x＝0（舍去），
此时符合条件的D点坐标为；
当OC＝CD时，即，
解得或（舍去），
此时符合条件的D点坐标为；
当OD＝CD时，即，
解得，
此时符合条件的D点坐标为，
综上所述，当D点坐标为或或时，△OCD为等腰三角形．
6．【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；
设点N的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点M（x，﹣x﹣3），
∴DN＝﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣2x+3，DM＝﹣（﹣x﹣3）＝x+3，
∴，
∵﹣1＜0，
∴MN有最大值，最大值为，
当x时，y＝x2+2x﹣3，
∴点N的坐标为；
（3）∵OA＝OC＝3，
∴，
如图，
①当AC为底边时，AQ＝CQ，
∴点Q的坐标为（0，0）；
②当CQ为底时，AQ＝AC，
∴点Q的坐标为（0，3）或；
③当AQ为底时，CQ＝AC，
∴点Q的坐标为（0，﹣3）；
综上，△ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标为（0，0）或（0，3）或或（0，﹣3）．
7．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：
，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设，则G（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），设M（3，m），
∴，，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，，
解得或，
∴或；
当BM＝EM时，，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，﹣5）或或．
8．【解答】解：（1）将A（4，0）代入y1＝﹣x2x+c，得﹣16+13+c＝0．
解得c＝3，
∴二次函数y1的解析式为y＝﹣x2x+3，
∴B点坐标为（0，3）；
（2）存在，满足题意的点P坐标为：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
理由：当使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形时，点P在AB的垂直平分线上，
①当点P在y轴上时，PA＝PB，
设P（0，m）．
∵A（4，0），B点坐标为（0，3），
∴．
解得m．
此时P1（0，）；
②当点P在x轴上时，PA＝PB，
设P（n，0）．
∵A（4，0），B点坐标为（0，3），
∴．
解得m．
此时P2（，0），
综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+过点A（﹣1，0），点C（0，﹣4），
∴，
解得：，
该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m﹣4），则F（m，0），E（m，m2﹣3m﹣4），
∴PE＝m﹣4﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m，PF＝0﹣（m﹣4）＝4﹣m，
∵PEPF，
∴﹣m2+4m（4﹣m），
整理得：2m2﹣9m+4＝0，
解得：m1，m2＝4（舍去），
当m时，m﹣4，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在点P使得△CPE为等腰直角三角形；理由如下：
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴PF∥y轴，
∴∠OCB＝∠CPE＝45°；
当∠PEC＝90°时，PE＝CE＝OF，如图1，
∴PE＝﹣m2+4m＝OF＝m，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴此时P（3，﹣1）；
当∠PCE＝90°时，如图2，作CH⊥PE于点H，则有PE＝2CH＝2OF，
∴PE＝﹣m2+4m＝2OF＝2m，
解得：m1＝2，m2＝0（舍去），
∴此时P（2，﹣2）；
综上所述，点P的坐标为（3，﹣1）或（2，﹣2）．
10．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
即当t时PD最大，此时，点P（，）；
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：t（不合题意的值已舍去），
即点P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
11．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC，
设点E（0，m），则AE，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（0，3），
②当AC＝CE时，|m+3|，
∴m＝﹣3±，
∴E（0，﹣3）或（0，﹣3），
③当AE＝CE时，|m+3|，
∴m，
∴E（0，），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3）、（0，﹣3）、（0，）；
12．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：yx2x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，m2m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQm2m+4+m﹣4m2m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°（m2m）（m﹣2）2，
∵0，故当m＝2时，PN有最大值为；
（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±（舍去负值），
故点Q（，）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．
13．【解答】解：（1）由题意，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：yx2x+2；
（2）存在．由抛物线的表达式知，其对称轴为x，设点P（，m），
∵C（0，2），D（，0），
∴CD2＝22+（）2，
当CP＝CD时，则4+（）2＝（m﹣2）2+（）2，
解得：m＝0（舍去）或4，
即点P的坐标为（，4），
当DP＝DC时，m2，
解得：m，
综上所述，满足条件的点P坐标为（，4）或（，）或（，）；
14．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1） （x﹣3），
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（1，m），
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴P（1，1）；
15．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B（3，0），把点A、点B的坐标代入得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接AC，如图：
在Rt△ACO中，，
当点A是等腰△ACM的顶点时，此时点M在点C的上方，
则OM＝OC＝3，
故此时点M的坐标为（0，3）；
当点C是等腰△ACM的顶点，点M在点C的下方时，
此时，
故此时点M的坐标为；
当点C是等腰△ACM的顶点，点M在点C的上方时，
此时，
故此时点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为（0，3）或或．
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