2.3.2 实数的运算 教案

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2.3.2 实数的运算
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第二章第三节《实数》中的内容，本节内容主要围绕实数的运算展开，包括实数的大小比较和加减乘除等基本运算。同时，强调有理数的运算律和性质在实数范围内仍然适用。本节内容位于“实数”章节的后续部分，是衔接有理数运算与实数运算的关键环节，为后续学习根式方程、二次函数等奠定基础。
二、学情分析
学生已掌握有理数的运算律（如交换律、结合律）及绝对值、相反数的概念，但对实数（尤其是无理数）的运算规则不熟悉，且可能混淆实数与有理数的运算差异，例如误认为无理数无法参与常规运算。
三、教学目标
1.知道有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立，能熟练运用实数的运算律（如交换律、分配律）进行加减乘除运算。
2.知道所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
3.能进行简单的实数大小比较。
4.通过类比有理数运算，归纳实数运算的通用规则，培养迁移能力。
5.感受数系扩充的理性美，理解数学知识的一致性与扩展性。
四、重点难点
重点：在实数范围内进行运算。
难点：用有理数估算一个无理数的大致范围。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、复习回顾
问题1：引入负数后，数的范围从正整数、0、正分数扩充到了什么？
问题2：引入无理数后，数的范围从有理数扩充到了什么？
问题3：在学习有理数时，我们发现0和正数的运算法则和运算律在进行有理数的运算时仍然成立，那么，我们系数扩展到了实数范围内，这些法则和运算会仍然成立吗？
【回顾】
二、探究新知
【讲授】把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
运算顺序：1.先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
2.同级运算按照从左到右的顺序进行计算。
3.有括号的先算括号里面的（小中大）
【牛刀小试】
1.计算：
解：原式=43+3+
=43+3+2
=6
【讲授】在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立 . 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
【做一做】
填空（a，b，c是任意实数）：
（1）a + b = ____________（加法交换律）；
（2）(a + b) + c = ____________（加法结合律）；
（3）ab = ____________（乘法交换律）；
（4）(ab)c = ____________（加法交换律）；
（5）a(b + c) = __________（乘法对加法的分配律）；
(b + c)a = __________（乘法对加法的分配律）；
（6）实数的减法运算规定为 a－b = a + _______；
（7）实数的除法运算规定为 a÷b = a · ______（b≠0）；
（8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0；
（9）若 ab = 0，则 a =_____或 b = _____.
【牛刀小试】
2.计算:(1); (2);
(3); (4) ;
(5) π ; (6).
解：(1)= =;
(2)== ;
(3)= + 1=;
(4) = ;
(5) π+=；
(6)=2=2.
【议一议】对于实数a，它有几个平方根，几个立方根呢？
分类讨论：
1.当a>0时，实数a有且只有两个平方根，即,有且只有一个立方根，即；
2.当a=0时,实数a的平方根和立方根都是0；
3.当a<0时,实数a没有平方根,有且只有一个立方根，即.
【实数大小的比较】
3.填空（填>、<、=）：
（1）若43________0,则4________3;
（2）若________0,则________ ;
（2）若________0,则________.
作差法：
对于实数a，b：
如果a－b>0，则称a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b如果a－b<0，则称a小于b（或者b大于a），记作aa）；
如果a－b=0，则称a等于b，记作a=b.
注意：对于任何实数a，b ，在a>b,a=b,a法则：
正实数大于一切负实数；
两个负实数，绝对值大的数反而小.
4.比较大小：(1) ________ (2) _______
借助数轴比较：
5.比较a,b,c,d的大小：
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
乘方法：
一般地，对于两个正实数a，b：
若a>b,则;
若a>b,则.
注意：反过来也成立
6.比较大小：(1) ____ (2) _______
推广：
一般地，对于两个正实数a，b：
若,则;
若,则.
三、例题探究
例2 比较下列各组数的大小.
（1）2.5与； （2）3与； （3）-3与-.
解：（1）因为2.52=6.25，（）2=7，又6.25<7，所以2.5<.
（2）因为33=9，（）3=25，又27>25，所以3>.
（3）因为=3，=，由（2）知3>，所以-3<.
【思考】不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间.
解：由于102=100<115，（）2=115，112=121>115，
所以应介于10和11之间，即10<<11.
由于43=64<121，（）3=121，53=125>121，
所以应介于4和5之间，即4<<5.
例3 用计算器计算：2×（结果精确到0.01）.
解：依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以2×≈4.47.
【讲授】在实数运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照精确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替无理数进行计算，最后再四舍五入.
例4 利用=1.414 213 562…和=2.645 751 311 …计算+的值（结果精确到0.001）.
解：由于需精确到0.001，
于是只需取≈1.414 2，≈2.645 7,
故+≈1.414 2+2.645 7=4.059 9≈4.060.
四、课堂小结
进行实数的运算时需注意有什么？怎么进行实数大小的比较
五、作业布置
课堂作业：P44 T1—3
家庭作业：《学法》P31-32 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做）
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