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【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题05 四边形的性质与证明（3年中考，5大题型）
题型一 平行四边形 1
题型二 矩形 4
题型三 菱形 6
题型四 正方形 9
题型五 新定义问题 10
题型一 平行四边形
1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
4．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
6．（2023·江苏无锡·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
7．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）
题型二 矩形
8．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
9．（2015·广西钦州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
11．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．
题型三 菱形
13．（2022·江苏南京·中考真题）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．
14．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
15．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】
老师的问题： 已知：如图，． 求作：菱形，使点C，D分别在上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）连接． 四边形就是所求作的菱形，
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
16．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；
乙：若连接，则是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
17．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
18．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
题型四 正方形
19．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
20．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；
(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；
(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
题型五 新定义问题
21．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
22．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．
(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______；
(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；
(3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．
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【中考真题汇编】江苏13大市三年（2022-2024）中考真题分类汇编
专题05 四边形的性质与证明（3年中考，5大题型）
题型一 平行四边形 1
题型二 矩形 8
题型三 菱形 12
题型四 正方形 18
题型五 新定义问题 22
题型一 平行四边形
1．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证．
【答案】见解析
【详解】证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)84
【详解】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
6．（2023·江苏无锡·中考真题）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
7．（2023·江苏苏州·中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）
【答案】点离地面的高度升高了，升高了．
【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
题型二 矩形
8．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，，
，
在和中，，
，
．
9．（2015·广西钦州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】证明见试题解析．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
10．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴．
11．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则，．
在△DAF和△ECF中，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴，
∵，
∴．
12．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，，
，
即，
，
解得，
根据勾股定理可得，
，
即，
．
解得，
，
，
点为的中点．
（2）解：，理由如下：
连接，如图：
由折叠的性质可知，，
，，
，
，
，
由（1）知，可得，
，
设，则，，
，
，
在中，，
，
，
．
题型三 菱形
13．（2022·江苏南京·中考真题）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【详解】解：证明：∵平分，，
∴，．
∴．
∴．
又∵于点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
14．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
【答案】，
【详解】在菱形中，．
∵，∴．
在中，∵为中点，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
15．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】
老师的问题： 已知：如图，． 求作：菱形，使点C，D分别在上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）连接． 四边形就是所求作的菱形，
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
【答案】见解析
【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵，即，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
16．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；
乙：若连接，则是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【答案】见解析
【详解】证明：选择甲：如图1，
∵，是的中点．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
选择乙：如图，连接、，交于，
∵，是的中点．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴是直角三角形．
17．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解
(2)
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下，
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵宽度相等，即，且，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
∵，
∴，
由（1）可得四边形是菱形，
∴，
在中，，
即，
∴．
18．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵点在的延长线上，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，
∴，
当、、共线时，
，
过点作，垂足为，
∵，
∴的最小值即为平行线间的距离的长，
∵是边长为2的等边三角形，
∴在中，，，，
∴，
∴的最小值为．
题型四 正方形
19．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；
(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；
(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)平行四边形，证明见解析
【详解】（1）∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴；
（2）；证明如下：
∵四边形为正方形，
∴，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
（3）∵四边形为正方形，
∴．
∵，，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
过点作，垂足为点，交于点，
∴．
∵，
设，，，则，
∴．
∴．
∴当时，的面积最大，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
题型五 新定义问题
21．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；
(3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)
(3)1
【详解】（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
（3）如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴．
22．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点，使得该四边形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形中，对角线、相交于点，则点是矩形的一个“旋点”．
(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形的边长是_______；
(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边的中点是四边形的一个“旋点”．求的度数；
(3)如图2，在四边形中，，与不平行．四边形是否为“可旋四边形”？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是
【详解】（1）解：∵菱形为“可旋四边形”，
则菱形的一条对角线绕点旋转一定角度后能与另一条对角线重合，
即，
则菱形为正方形，
∵菱形的面积为，
∴菱形的边长是．
故答案为：．
（2）解：连接，如图：
∵四边形为“可旋四边形”，且点是四边形的一个“旋点”，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴．
（3）解：四边形是“可旋四边形”；理由如下：
分别作，的垂直平分线，交于点，连接，，，，如图：
∵点在线段和线段的垂直平分线上，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
则，
即，
∴四边形是“可旋四边形”．
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