第八章 3 乘法公式 教案（4课时，表格式）

3　乘法公式
第1课时　平方差公式的认识
课标摘录 理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理.
教学目标 1. 经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力. 2. 通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3. 在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心.
教学重难点 重点:平方差公式的推导和应用. 难点:用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
教学策略 通过问题导入的方式引入平方差公式的概念,激发学生的学习兴趣.接下来,通过多种方法,培养学生的逻辑思维和问题分析能力.然后通过实际问题的应用,让学生将公式从抽象的数学概念转化为解决实际问题的工具.
情境导入 复习旧知: 1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.符号表示:(m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba. 2.两项式乘两项式,结果可能是两项吗 请举例说明.
新知初探 任务　探究平方差公式 1. 计算下列各题: (1)(x+2)(x-2).(2)(1+3a)(1-3a).(3)(x+5y)(x-5y).(4)(2y+z)(2y-z). 观察以上算式及其运算结果,你有什么发现 结论1　平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 2. 根据以上结论,自己再举一些类似的多项式相乘的情形并计算,验证自己的猜想. 结论2　理解平方差公式的关键: 左边:(1)两个二项式的积.(2)两个二项式中一项相同,另一项互为相反数. 右边:(1)二项式.(2)平方的两项符号相反.
例1　利用平方差公式计算: (1)(5+6x)(5-6x).　　　(2)(x-2y)(x+2y).　　　(3)(-m+n)(-m-n). 解:(1)原式=52-(6x)2=25-36x2; (2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2; (3)原式=(-m)2-n2=m2-n2. 例2　利用平方差公式计算: (1);　　(2)(ab+8)(ab-8). 解:(1)=-y2=x2-y2; (2)(ab+8)(ab-8)=(ab)2-82=a2b2-64. 设计意图:通过例题,巩固并应用平方差公式. 【即时测评】 判断下面计算是否正确. (1)=x2-1.(　　) (2)(3x-y)(-3x+y)=9x2-y2.(　　) (3)(m+n)(-m-n)=m2-n2.(　　) 答案:×　×　× 设计意图:巩固并应用平方差公式. 任务　意图说明 通过习题,巩固并应用平方差公式,培养计算能力.
当堂达标 见导学案(或课件)
课堂小结 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于它们的平方差. 2. 应用平方差公式的注意事项: (1)注意平方差公式的适用范围; (2)字母a,b可以是数,也可以是整式; (3)注意计算过程中的符号和括号.
板书设计 平方差公式的认识 平方差公式 例1 例2
教学反思 本节课从复习旧知识入手,在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动,培养学生类比的思想方法,让学生学会一些探究的基本方法与思路,并体会到数学教材在内容安排上螺旋上升的特点.采用合作学习、组内交流的学习方式,让学生自己当老师,一方面让学生容易接受,另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣,让学生在探究中,经历知识产生、发展的过程,体会“做数学”的乐趣.
第2课时　平方差公式的应用
课标摘录 理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理.
教学目标 1. 经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力. 2. 通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3. 在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心.
教学重难点 重点:平方差公式的推导和应用. 难点:用平方差公式的结构特征判断题目能否使用平方差公式.
教学策略 通过总结和拓展练习,巩固和加深学生对平方差公式的理解和运用.这个教学过程既符合学生的认知规律,又能够培养学生的思维能力和解决问题的能力.
情境导入 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. ① ② (1)请表示图①中阴影部分的面积. (2)小颖将图①中的阴影部分拼成了一个长方形(如图②),这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
新知初探 任务　探究平方差公式的运用 活动1　比较情境导入(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗 通过观察,归纳发现: 结论:a2-b2=(a+b)(a-b). 活动2　(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点. 　　　　 (2)从以上过程中,你发现了什么规律 (3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗 通过分析数据,归纳出: 规律:(a+1)(a-1)=a2-1.
例1　用平方差公式进行计算: (1)103×97.　　　　　　　　　　　　　(2)118×122. 解:103×97 =(100+3)×(100-3) =1002-32 =10 000-9 =9 991; (2)118×122 =(120-2)×(120+2) =1202-22 =14 400-4 =14 396. 设计意图:体会利用平方差公式进行简便运算. 例2　计算: (1)a2(a+b)(a-b)+a2b2. (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3). 解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4; (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =(4x2-25)-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25. 设计意图:培养计算能力.
当堂达标 见导学案(或课件)
课堂小结 1.知识:利用平方差公式进行数的简便运算、利用图形面积验证平方差公式. 2.方法:割补法,观察—猜想—归纳—验证—应用. 3.思想:数形结合思想.
板书设计 平方差公式的应用 例1 例2
教学反思 本节课虽然算不上课本中的难点,但却是这一章中的重点,它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式的适用范围和使用方法,以提高运算速度.授课过程中,应注重让学生总结公式的特点,说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节,然后通过逐层深入的练习,巩固平方差公式的应用.
第3课时　完全平方公式
课标摘录 理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理.
教学目标 1. 理解公式的本质,从不同的层次上理解完全平方公式,并会运用公式进行简单的计算,了解完全平方公式的几何背景. 2. 经历探索完全平方公式的过程,并从推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力,发展逻辑推理能力和有条理的表达能力,培养学生的数形结合意识. 3. 在学习中,使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.
教学重难点 重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 难点:完全平方公式的结构特点及其应用.
教学策略 1.多媒体辅助教学,提高课堂的效率与容量. 2.教学中逐步设置疑问,引导学生动手、动脑、动口,积极参与探究知识的全过程. 3.由易到难安排例题、练习,符合学生的认知结构特点. 4.课堂中,对学生以激励为主,表扬为辅,树立其学习的自信心.
情境导入 (　　　　+　　　　)2=　　　　. 请一位同学在等号左边的横线上任意写两个单项式,老师能迅速说出结果,你知道老师是如何做的吗
新知初探 任务一　探究(a+b)2=a2+2ab+b2 活动1　观察下列算式及其运算结果,你有什么发现 (m+3)2
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9.　　　(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2. 学生通过观察、归纳,发现: 结论1　(a+b)2=a2+2ab+b2. 想一想:你能用图解释这一公式吗 任务一　意图说明 巩固并应用完全平方公式.
任务二　探究(a-b)2=a2-2ab+b2 活动2　(a-b)2= 你是怎样做的 结论2　(a-b)2=a2-2ab+b2. 你能自己设计一个图形解释这一公式吗 议一议:分析完全平方公式的结构特点,并用语言来描述完全平方公式. 结论3　完全平方公式的结构特点: 左边是二项式[两数和(或差)]的平方;右边是两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍. 语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍. 设计意图:巩固完全平方公式. 例　利用完全平方公式计算: (1)(2x-3)2;　(2)(4x+5y)2;　(3). 解:(1)(2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9; (2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2; (3)=-2·m·a+a2=m2-ma+a2. 设计意图:进一步巩固完全平方公式. 任务二　意图说明 培养计算能力.
当堂达标 见导学案(或课件)
课堂小结 1.知识:完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 即两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍. 2.方法:观察—归纳—验证—应用. 3.思想:数形结合思想、整体思想、类比思想.
板书设计 完全平方公式 完全平方公式 例
教学反思 本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式,让学生自己总结出完全平方公式的特征,注意不要出现如下错误:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.为帮助学生记忆完全平方公式,可采用如下口诀:首平方,尾平方,乘积两倍在中央.教学中,教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解、记忆.
第4课时　完全平方公式的应用
课标摘录 理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2,了解公式的几何背景,能利用公式进行简单的计算和推理.
教学目标 1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算,会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算. 2. 能够运用完全平方公式解决简单的实际问题,并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力,感悟换元思想,提高灵活应用乘法公式的能力,体会符号运算对于解决问题的作用,进一步发展学生的符号感. 3. 在学习中使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.
教学重难点 重点:巩固完全平方公式,区分(a+b)2与a2+b2. 难点:熟练掌握乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义.
教学策略 1.充分考虑学生的认知水平,采用生动、直观的教学方法,帮助学生理解乘法公式的推导过程. 2.注重培养学生的运算习惯,引导学生通过练习逐步提高运算速度和准确度. 3.鼓励学生积极参与课堂讨论,培养学生的主动思考能力和解决问题的能力. 4.关注个体差异,针对学生的不同学习需求,提供有针对性的指导和帮助,使每名学生都能在原有基础上得到提高.通过以上措施,有助于提高学生对乘法公式的掌握程度,为学生今后的数学学习打下坚实基础.
情境导入 在某市中学生运动会开幕式上,有两个学校进行方阵变换表演,其中育才中学有两个方阵,分别为a行a列的男生方阵和b行b列的女生方阵,实验中学只有(a+b)行(a+b)列的学生方阵. 1.育才中学男生方阵有多少人 女生方阵有多少人 一共有多少人 2.实验中学的学生方阵有多少人 3.两个学校哪个学校参加开幕式的学生多 多多少 为什么
新知初探 任务一　探究乘法公式的运用 例1　利用完全平方公式计算: (1)1022.　　　　(2)1972. 分析:(1)把 1022 改写成(a+b)2还是(a-b)2 a,b怎样确定 (2)把 1972改写成(a+b)2还是(a-b)2 a,b怎样确定 归纳发现: 1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404.　　　　1972
=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40 000-1 200+9
=38 809.
设计意图:巩固完全平方公式. 任务一　意图说明 熟练掌握乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义. 任务二　探究乘法公式的综合运算 例2　计算:(1)(x+3)2-x2;　　　(2)(a+b+3)(a+b-3); (3)(x+5)2-(x-2)(x-3); (4)[(a+b)(a-b)]2. 解:(1)方法一:(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9. 归纳1:完全平方公式→合并同类项. 方法二:(x+3)2-x2=(x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)·3=6x+9. 归纳2:平方差公式→单项式乘多项式. 设计意图:掌握综合运算. (2)(a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9. 归纳3:将(a+b)看作一个整体,解题中渗透了整体的思想. 设计意图:渗透整体思想. (3)(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. (4)[(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 任务二　意图说明 掌握常见的数学思想.
当堂达标 见导学案(或课件)
课堂小结 1.知识:(1)利用完全平方公式简化数字运算. (2)综合运用平方差公式、完全平方公式简化整式乘法运算. 2.方法:数字的拆分、凑整、优选法. 3.思想:整体思想、转化思想.
板书设计 完全平方公式的应用 例1　　　　　　　　　例2
教学反思 在整个新课的教学中,采用“动脑想,动手写,会观察,齐讨论,得结论”的学习方法.这样做,增加了学生的参与机会,增强了参与意识,教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体;使学生“学”有所“思”,“思”有所“得”,体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后,结合本节课教学内容,选择具有典型性,由浅入深的例题,让学生认知内化,形成能力.通过发展、提高,培养学生的迁移、创新精神,有助于智力的发展.