选择必修第三册 第六章 6.2.1 排列 课件(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 选择必修第三册 第六章 6.2.1 排列 课件(共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 959.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 11:28:42 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
选择必修三
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解并掌握排列的概念. 1.归纳的数学素养.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 2.数学建模素养和数学运算素养.
温故知新
1.分类加法计数原理：
完成一件事,如果有n类不同的方案,而且第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn.
种不同的方法.
分类加法计数原理使用前提：
各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.
分步乘法计数原理使用前提：
各步中每种方法不能独立完成这件事.
温故知新
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 不同点
注意点
用来计算“完成一件事”的不同方法种数
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
各类中每种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事）
类类独立，不重不漏
步步依存，步骤完整
知新探究
在1.1节的例9中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐.能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体问题.
此时，要完成的一件事是“选出2名参加一项活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
第1步，确定参加上午活动的同学，从3名中任选1名，有3种选法.
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种方法.
下午
乙
丙
甲
丙
甲
乙
相应的排法
甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
上午甲
乙
丙
根据分步计数原理，不同的选法种数为
3×2=6
这6种不同的选法如右图所示.
知新探究
如果把上面问题中被取的对象叫做元素，那么问题１可以叙述为：
所有不同的排列是
ab, ac, ba, bc, ca, cb
3×2=6.
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
不同的排列方法种数为
问题1中的“顺序”是什么？
问题1中的“顺序”是上午、下午.
知新探究
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百万、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.
可以分三个步骤来解决这个问题：
4×3×2=24.
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
第1步，确定百位上的数字，从1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种选法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种选法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位上的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，按“百万、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
知新探究
由此可写出所有的三位数：
不同排法如下图所示
百位 1 2 3 4
十位 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
个位 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2
123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
知新探究
同样，问题2可以归结为：
abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
从4个不同的元素a，b，c，d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
不同的排列方法种数为
4×3×2=24.
问题2中的“顺序”是什么？
问题2中的“顺序”是百位、十位、个位.
知新探究
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按一定的顺序排成一列的方法数.
上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们的推广到一般情形吗？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
知新探究
1.元素不能重复. n个中不能重复，m个中也不能重复.这里即没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况.
1、排列：
一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).
注意：
2.“按一定顺序”就是与位置有关.排列包括两个方面：
3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.
4.m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列.
取出元素→按一定顺序排列
5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树状图”.
知新探究
【例1】下列问题中哪些是排列问题？
⑴北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；
⑵选2个小组分别去植树和打扫卫生；
⑶选2个小组去植树；
⑷选10个人组成一个学习小组；
⑸选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
解：
⑴中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
⑵植树和打扫卫生是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
⑸中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
⑶，⑷不存在顺序问题，不属于排列问题．
初试身手
1.(多选题)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从2,3,5,7,11中任取两个数相除.
A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；
B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；
故选AD.
解：
C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；
D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按“分子，分母”的顺序排成一列．
AD
知新探究
【例2】某省中学生足球预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：
可以从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
注意：本题中比赛的2支队的顺序为“主队、客队”.
初试身手
2.⑴从8名学生干部中选2名做正、副组长，共有多少种选法？
⑵有10个车站，共需要多少种车票？
⑴从8名学生干部中先选1名担任班长，然后从剩下的7名学生干部中再选1名担任副班长.
⑵先从10个车站中选1个作为始站，再从剩下的9个站中选1个站作为终站，构成一个车票.
8×7=56.
解：
按分步乘法计数原理，共有不同的选法种数为
按分步乘法计数原理，共有不同的车票种数为
10×9=90.
知新探究
【例3】⑴一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
⑵学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
解：
⑴可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
⑵可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法; 最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
初试身手
3.⑴从0,1,2,3,4，5这6个数字中任取3个不同数字，可以构成多少个三位数？
⑵由0,1,2,3,4，5这6个数字可以构成多少个三位数？
⑴取3个不同数字按“百位十位个位”顺序组成三位数是一个排列.分3步：
解：
第1步,从1,2,3,4，5这5个数字取1个数填在“百位”；第2步从0,1,2,3,4，5这6个数字中取1个填在“十位”；第3步从0,1,2,3,4，5这6个数字中取1个填在“个位”.
根据分步乘法计数原理，可构成的三位数的个数为
第1步,从1,2,3,4，5这5个数字取1个数填在“百位”；第2步从剩余的5个数中取1个填在“十位”；第3步从剩余的4个数中取1个填在“个位”.
根据分步乘法计数原理，可构成的三位数的个数为
5×5×4=100.
⑵由于“百位十位个位”三位数的数字可以重复，分3步：
5×6×6=180.
课堂小结
1.排列的定义
2.排列问题的判断方法：
⑴元素的无重复性；
⑵元素的有序性.
一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
作业布置
作业：
P16-17 练习 第1,2，3题
P26 习题6.2 第3，4题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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选择必修三
第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解并掌握排列的概念. 1.归纳的数学素养.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 2.数学建模素养和数学运算素养.
温故知新
1.分类加法计数原理：
完成一件事,如果有n类不同的方案,而且第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn.
种不同的方法.
分类加法计数原理使用前提：
各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.
分步乘法计数原理使用前提：
各步中每种方法不能独立完成这件事.
温故知新
两个原理的区别与联系：
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 不同点
注意点
用来计算“完成一件事”的不同方法种数
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
各类中每种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事）
类类独立，不重不漏
步步依存，步骤完整
知新探究
在1.1节的例9中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐.能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体问题.
此时，要完成的一件事是“选出2名参加一项活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
第1步，确定参加上午活动的同学，从3名中任选1名，有3种选法.
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种方法.
下午
乙
丙
甲
丙
甲
乙
相应的排法
甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
上午甲
乙
丙
根据分步计数原理，不同的选法种数为
3×2=6
这6种不同的选法如右图所示.
知新探究
如果把上面问题中被取的对象叫做元素，那么问题１可以叙述为：
所有不同的排列是
ab, ac, ba, bc, ca, cb
3×2=6.
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
不同的排列方法种数为
问题1中的“顺序”是什么？
问题1中的“顺序”是上午、下午.
知新探究
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百万、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.
可以分三个步骤来解决这个问题：
4×3×2=24.
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
第1步，确定百位上的数字，从1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种选法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种选法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位上的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，按“百万、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
知新探究
由此可写出所有的三位数：
不同排法如下图所示
百位 1 2 3 4
十位 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
个位 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2
123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
知新探究
同样，问题2可以归结为：
abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
从4个不同的元素a，b，c，d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
不同的排列方法种数为
4×3×2=24.
问题2中的“顺序”是什么？
问题2中的“顺序”是百位、十位、个位.
知新探究
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按一定的顺序排成一列的方法数.
上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们的推广到一般情形吗？
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
知新探究
1.元素不能重复. n个中不能重复，m个中也不能重复.这里即没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况.
1、排列：
一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).
注意：
2.“按一定顺序”就是与位置有关.排列包括两个方面：
3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.
4.m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列.
取出元素→按一定顺序排列
5.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树状图”.
知新探究
【例1】下列问题中哪些是排列问题？
⑴北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；
⑵选2个小组分别去植树和打扫卫生；
⑶选2个小组去植树；
⑷选10个人组成一个学习小组；
⑸选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．
解：
⑴中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
⑵植树和打扫卫生是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
⑸中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
⑶，⑷不存在顺序问题，不属于排列问题．
初试身手
1.(多选题)下列问题中是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从2,3,5,7,11中任取两个数相除.
A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；
B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；
故选AD.
解：
C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；
D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按“分子，分母”的顺序排成一列．
AD
知新探究
【例2】某省中学生足球预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：
可以从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
6×5=30.
注意：本题中比赛的2支队的顺序为“主队、客队”.
初试身手
2.⑴从8名学生干部中选2名做正、副组长，共有多少种选法？
⑵有10个车站，共需要多少种车票？
⑴从8名学生干部中先选1名担任班长，然后从剩下的7名学生干部中再选1名担任副班长.
⑵先从10个车站中选1个作为始站，再从剩下的9个站中选1个站作为终站，构成一个车票.
8×7=56.
解：
按分步乘法计数原理，共有不同的选法种数为
按分步乘法计数原理，共有不同的车票种数为
10×9=90.
知新探究
【例3】⑴一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
⑵学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
解：
⑴可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
⑵可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法; 最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×5×5=125.
初试身手
3.⑴从0,1,2,3,4，5这6个数字中任取3个不同数字，可以构成多少个三位数？
⑵由0,1,2,3,4，5这6个数字可以构成多少个三位数？
⑴取3个不同数字按“百位十位个位”顺序组成三位数是一个排列.分3步：
解：
第1步,从1,2,3,4，5这5个数字取1个数填在“百位”；第2步从0,1,2,3,4，5这6个数字中取1个填在“十位”；第3步从0,1,2,3,4，5这6个数字中取1个填在“个位”.
根据分步乘法计数原理，可构成的三位数的个数为
第1步,从1,2,3,4，5这5个数字取1个数填在“百位”；第2步从剩余的5个数中取1个填在“十位”；第3步从剩余的4个数中取1个填在“个位”.
根据分步乘法计数原理，可构成的三位数的个数为
5×5×4=100.
⑵由于“百位十位个位”三位数的数字可以重复，分3步：
5×6×6=180.
课堂小结
1.排列的定义
2.排列问题的判断方法：
⑴元素的无重复性；
⑵元素的有序性.
一般地，从 n 个不同中取出 m 个元素(m ≤ n)，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement).
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
作业布置
作业：
P16-17 练习 第1,2，3题
P26 习题6.2 第3，4题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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