2025年北京中关村中学高二（下）开学考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京中关村中学高二（下）开学考
数 学
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
A(1,0) , B (0, 3 )
1. 已知直线过点 ，则直线的倾斜角为（ ）
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 4 3
2. 圆心为 ( 1, 2)且过原点的圆的方程是（ ）
2 2 2 2
A. (x 1) + ( y 2) = 5 B. (x +1) + ( y 2) = 5
2 2 2 2
C. (x +1) + ( y + 2) = 5 D. (x 1) + ( y + 2) = 5
3. 焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（ ）
2
A. x = 8y 2 B. x = 4y 2 2 C. y = 4x D. y = 8x
4. 长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA = AD = 2, AB = 2 2 ，则异面直线 DB1与 AA1 所成角的大小为1
（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
5. 已知 , 是两个不同的平面，直线 l ，则“ l ⊥ ”是“ ⊥ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
x2 x y
6. 已知椭圆 + y2 =1上一点A 和焦点 F . AF ⊥ x轴，若双曲线 =1的一条渐近线经过点A ，那
2 a2 b2
么双曲线的离心率 e为（ ）
1 6 3
A. 2 3 B. C. D.
2
2 2
2 2
7. 已知圆 (x 2) + ( y +1) = 9 ，直线 x + y +m = 0 ，若圆上至少有 3 个点到直线的距离为 2，则m可以
是（ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2

2 1
8. 已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = n ，则数列 的前 2025 项的和为（ ）
anan+1
2024 4050 2025 2025
A. B. C. D.
2025 4051 4051 4053
9. 记等差数列 a 的前 n项和为 Sn ，若 a4 + a7 =13n ，则 S10 =（ ）
A. 13 B. 45 C. 65 D. 130
10. 已知数列 an
2
的通项公式 an = n 2an ，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
1 1 1
①若 a = ，则数列 的前 n项和 Sn =1 ；
2 an n +1
1
②若 a = ，数列 a n T Tn 的前 项和为 n ，则 n 是递增数列；
2
③若数列 an 是递增数列，则 a ( ,1 .
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二、填空题：本题共 5小题，每小题 4分，共 20分.
x2 y2
11. 双曲线C : 1的焦点到顶点的最小距离是______.
4 5
12. 经过点 P (1, 0)，且与直线 l : y = 2x 1平行的直线方程是______.
2
13. 抛物线 y = 2 px ( p 0)上一点M 到焦点 F (1,0)的距离等于 3，则点M 的坐标为______.
14. 已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a2 = 3， a3 + a4 = 3，则 an = ______； Sn 的最小值为
______.
15. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线
C : 4 x = 4 y2 .下面是关于曲线C 的四个结论：
①曲线C 关于原点中心对称；
②曲线C 上点的横坐标取值范围是 4, 4
③曲线C 上任一点到坐标原点的最小距离为 2 ；
3 3
④若直线 y = kx 与曲线C 无交点，则实数 k 的取值范围是 , , +
3 3
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共 4小题，共 40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E, F 分别是棱 BB1 ,DD1的中点．求证：
（1） BD// 平面 AEF ；
（2） EF ⊥平面 ACC1A1 ．
17. 已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 4 的正方形，△PAD是正三角形， E 、 F 分别为
PC 、 PD的中点，过 EF 的平面 EFG 交 BC 于点G ，平面 EFG / / 平面 PAB；
（1）证明：G 为 BC 的中点；
（2）取 AD 的中点O ，连接OC ，OE ，OG ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求：
（i）A 到平面 EFG 的距离；
（ii）二面角G OE C 的余弦值.
条件①： PC = 4 2
条件②：CD ⊥平面 PAD .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
x2
18. 已知斜率为 k 的直线 l 过点 P (3,0)，且与椭圆 + y2 =1相交于不同的两点M ， N ，
4
2
（1）若M ， N 中点的纵坐标为 ，求直线 l 的方程；
2
（2）若弦长 MN = 3 ，求 k 的值.
x2 y2 2
19. 已知椭圆C : + =1(a b 0)的短轴的两个端点分别为 A(0,2)， B (0, 2)，离心率为 .
a2 b2 2
（1）求椭圆C 的标准方程及焦点的坐标；
（2）若直线 y = kx + 4与椭圆 E 交于不同的两点M ， N ，直线 y =1与直线 BM 交于点G ，求证：
kAN = kAG .