8.3实数及其简单运算 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版数学七年级下册

8.3实数及其简单运算
一、单选题
1．有下列实数：，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），其中无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．和数轴上的点是一一对应的数为（　　）
A．虚数 B．有理数 C．无理数 D．实数
3．若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（　　）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
4．已知，且a，b是两个连续的整数，则a+b等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．下列说法中：①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.25≤x＜5.35；⑤绝对值等于本身的数是正数．其中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣2和a﹣7．如图，在数轴上表示实数的点是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
7．若a※b＝|﹣b|﹣（+b），则3※2的值为（　　）
A．4 B． C．﹣4 D．
8．实数a、b的相反数分别为c、d，在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，我们把A、D间的距离记为AD，B、C间的距离记为BC，则AD、BC的大小关系为（　　）
A．AD＜BC B．AD＝BC C．AD＞BC D．不能确定
9．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别是0、1，若正方形ABCD绕顶点沿逆时针方向连续翻转，第一次翻转后点D所对应的数为﹣1，第二次翻转后点C所对应的数为﹣2，则翻转2023次后点C所对应的数是（　　）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
10．设a，b为实数，定义@的一种运算如下：a@，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@b＝b@a；③2a@2b＝2（a@b）；④a@（b+c）＝a@b+a@c，其中正确的是（　　）
A．③④ B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题
11．写出一个比大比0小的整数 　 　．
12．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：＝　 　．
13．已知对任意实数x，y，定义运算：x y＝（x+y）（x﹣y），则3 （4 5）的值为 　 　．
14．若x、y为实数，且满足|x﹣2|+＝0，则（x+y）2023的值是 　 　．
15．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝　 　．
三、解答题
16．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内：
﹣7，0.32，，46，0，﹣，，，﹣．
有理数集：{ 　 　…}；
无理数集：{ …}；
正实数集：{ 　 　…}；
负实数集：{ 　 　…}．
17．计算：
（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）； （2）；
（3）．
18．如图，点M，N，H分别对应实数m，n，c，其中m为最大的负整数，n为最小的正整数，且满足c﹣|m|＝2|m﹣n|．
（1）求m2+n2﹣3mnc的值．
（2）若点G在数轴上表示的有理数为b，距离c两个单位长度，直接写出b的值．
19．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．
请解答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．
20．已知，a、b、c在数轴上的位置如图．
（1）在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c的位置，并用“＜”号将a、b、c、﹣a、﹣b、﹣c连接起来．
（2）化简：|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|．
（3）若a+b+c＝0，且b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，求2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）的值．
答案
一、单选题
1．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：＝5，
在实数，，﹣0.89，3.141，，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有，π，﹣0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），共3个．
故选：C．
2．
【分析】根据实数与数轴的关系得结论．
【解答】解：因为实数与数轴上的点建立了一一对应关系．
故选：D．
3．
【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，然后逐项判断即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a＜b，﹣a＞b，a+b＜0，
故选：D．
4．
【分析】先根据夹逼原则得到，则a＝3，b＝4，据此代值计算即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，即，
∵，且a，b是两个连续的整数，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝3+4＝7，
故选：C．
5．
【分析】根据实数的分类及定义，实数与数轴的关系，近似数，绝对值的性质，实数的运算法则进行判断即可．
【解答】解：实数包括无理数和有理数，则①正确；
数轴上的点与实数一一对应，则②错误；
如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大，则③正确；
近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.295≤x＜5.305，则④错误；
绝对值等于本身的数是正数和0，则⑤错误；
综上，正确的个数是2个，
故选：A．
6．
【分析】根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，得出a＝3，x＝16表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣2和a﹣7，
∴2a﹣2+a﹣7＝0，x＝（2a﹣2）2，
解得a＝3，x＝16，
∴，
∵23＝8，33＝27，
∴，即，
故选：B．
7．
【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解．
【解答】解：由a※b＝|﹣b|﹣（+b）可得：
3※2＝|﹣2|﹣（+2）
＝2﹣﹣﹣2
＝﹣2．
故选：D．
8．
【分析】两点之间的距离的综合应用，根据题意得出c＝﹣a，b＝﹣d，AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，把c＝﹣a，b＝﹣d代入整理即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b的相反数分别为c、d，
∴c＝﹣a，b＝﹣d，
∵在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，A、D间的距离记为AD，B、C间的距离记为BC，
∴AD＝|a﹣d|，BC＝|b﹣c|，
∴BC＝|b﹣c|＝|﹣d+a|＝|a﹣d|，
∴AD＝BC．
故选：B．
9．
【分析】根据翻转规律以及在数轴上所对应的数进行解答即可．
【解答】解：由于2023÷4＝505…3，
根据翻折规律以及所对应的数可得以下规律：
所以第2023次翻转后，落在数轴最左侧的点是点B，此时点C在点B的右侧，
因此点C所对应的数是﹣2022，
故选：B．
10．
【分析】根据定义的新运算逐项判断即可．
【解答】解：a@b＝0，
则＝0，
那么a+b＝0，
则①错误；
a@b＝，b@a＝，
那么a@b＝b@a，
则②正确；
2a@2b＝＝a+b，2（a@b）＝2×＝a+b，
2a@2b＝2（a@b），
则③正确；
a@（b+c）＝，a@b+a@c＝+＝，
那么a@（b+c）≠a@b+a@c，
则④错误；
综上，正确的为②③，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】判断无理数的取值范围，直接求解即可．
【解答】解：因为，所以，
则比大比0小的整数有﹣1或﹣2．
故答案为：﹣1或﹣2均可．
12．
【分析】运用数轴上的点表示实数和平方根、立方根知识进行求解．
【解答】解：由题意得，0＜a＜2，
∴
＝a+2﹣a
＝2，
故答案为：2．
13．
【分析】根据x y＝（x+y）（x﹣y），用4与5的和乘它们的差，求出4 5的值，进而求出3 （4 5）的值即可．
【解答】解：∵x y＝（x+y）（x﹣y），
∴3 （4 5）
＝3 [（4+5）×（4﹣5）]
＝3 [9×（﹣1）]
＝3 （﹣9）
＝[3+（﹣9）]×[3﹣（﹣9）]
＝（﹣6）×12
＝﹣72．
故答案为：﹣72．
14．
【分析】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
x﹣2＝0且y+3＝0，
解得x＝2，y＝﹣3，
∴（x+y）2023
＝（2﹣3）2023
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．
【分析】由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案为：﹣12．
三、解答题
16．解：，，，
有理数集：{﹣7，0.32，，46，0，…}；
无理数集：{，，…}；
正实数集：{0.32，，46，，…}；
负实数集：{﹣7，﹣，…}；
故答案为：﹣7，0.32，，46，0，；，，；0.32，，46，，；﹣7，﹣，．
17．解：（1）2+（﹣3）﹣（﹣5）
＝﹣1+5
＝4．
（2）
＝﹣2+5×4
＝﹣2+20
＝18．
（3）
＝﹣1+4×﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
18．解：（1）由题知：m＝﹣1，n＝1，
则m﹣n＝﹣2，
∵c﹣|m|＝2|m﹣n|，
∴c﹣|﹣1|＝2×|﹣2|，
则c＝5，
那么m2+n2﹣3mnc＝（﹣1）2+12﹣3×（﹣1）×1×5＝1+1+15＝17；
（2）依题意，当点G在点H的左边时，且c＝5，
则5﹣2＝3，
当点G在点H的右边时，且c＝5，
则5+2＝7，
故b的值3或7．
19．解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是：﹣3；
故答案为：3，﹣3；
（2）∵＜＜，
∴的小数部分为：a＝﹣2，
∵＜＜，
∴的整数部分为b＝6，
∴a+b﹣＝﹣2+6﹣＝4．
20．解：（1）在数轴上标出﹣a、﹣b、﹣c的位置如下：
因此，c＜﹣a＜﹣b＜b＜a＜﹣c；
（2）由各个数在数轴上的位置可知：a+1＞0，c﹣b＜0，b﹣1＜0，c﹣2a＜0，
∴|a+1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|c﹣2a|＝a+1﹣b+c﹣1+b﹣c+2a＝3a．
（3）∵b与﹣1的距离和c与﹣1的距离相等，
∴|b+1|＝|c+1|，即b+1＝﹣c﹣1，
∴b+c＝﹣2，
又∵a+b+c＝0，
∴a＝﹣b﹣c＝2，
∴2（b+2c）﹣a（a﹣1）﹣（c﹣b）
＝2b+4c﹣a2+a﹣c+b
＝﹣a2+a+3b+3c
＝﹣4+2+（﹣6）
＝﹣8．