(共30张PPT)
第三章 概率初步
3.2.2 频率及其稳定性
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我能通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验结果的过程，总结出频率和概率的关系.
2.我能发现试验次数很大时，随机事件发生频率具有稳定性.
拓展性目标
3.我能说出概率的概念.
4.我能用频率估计事件发生的概率.
挑战性目标 5.我能说出必然事件，不可能事件，随机事件发生的概率或概率范围.
6.我会模仿老师给出题目，改编其他概率情景问题，并进行验证.
二 复习回顾
预备性知识
问题1：频率与事件发生有什么关系？
问题2：什么是频率的稳定性？
问题3：如何用频率表示事件发生的可能性？
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1)
问题1：当进行足球比赛的时候，裁判会通过掷硬币来决定双方谁先进攻. 那么用掷硬币来解决争端公平吗？
公平
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1)
问题2：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况.
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗
相同
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
问题3：和同学两人一组做20次掷硬币的游戏，并将记录记载在下表中：
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
正面朝下的频率
20次
11次
9次
0.55
0.45
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
问题4：累计全班同学的试验结果， 绘制成折线统计图：
试验总次数 20 100 300 600 1000
正面朝上的次数 11 47 158 297 501
正面朝下的次数 9 53 142 303 499
正面朝上的频率 0.55 0.47 0.527 0.495 0.501
正面朝下的频率 0.45 0.53 0.473 0.505 0.499
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
问题4：累计全班同学的试验结果， 绘制成折线统计图：
三 新知讲解
活动2：（基础性目标2 ）
问题5：观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
当试验的次数较少时，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大，随着实验的次数的增加，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变小.当试验次数很多时， 正面朝上的频率和正面朝下的概率都稳定在“ 0.5 水平直线”上.
三 新知讲解
活动3：（基础性目标2 ）
问题6：下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据，表中的数据支持你发现的规律吗？
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
支持
三 新知讲解
活动3：（基础性目标2）
试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
总结：一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标3）
问题7：频率能否帮忙判断事件发生的可能性？
可以，频率反映了该事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越大.
因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小.
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标3）
问题8：我们通常抛硬币时，会说有50%的概率正面朝上，那什么叫概率呢？
我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率.
总结：我们常用大写字母A，B，C等表示事件，用P(A)表示事件A发生的概率.
例如：
在掷质地均匀的硬币的试验中，事件“正面朝上”的频率会在 附近摆动，所以P(正面朝上)= .
三 新知讲解
活动5：（拓展性目标4 ）
问题9：事件A发生的概率可以通过什么来估算？
用事件A发生的频率来估算.
一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率.
三 新知讲解
活动6：（挑战性目标5）
问题10：(1)随机事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？
(2)必然事件发生的概率是多少？
(3)不可能事件发生的概率又是多少
(1)随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数.
(2)必然事件发生的概率是1.
(3)不可能事件发生的概率是0.
因此.
三 新知讲解
活动7：（挑战性目标6）
问题11：请你利用本节知识点创编题目，并与同学分享！
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.我能通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验结果的过程，总结出频率和概率的关系.
2.我能发现试验次数很大时，随机事件发生频率具有稳定性.
拓展性目标
1.我能说出概率的概念.
2.我能用频率估计事件发生的概率.
挑战性目标 1.我能说出必然事件，不可能事件，随机事件发生的概率或概率范围.
2.我会模仿老师给出题目，改编其他概率情景问题，并进行验证.
五 当堂检测
必做题：
1.(基础练习）在一个不透明的盒子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外斗相同.经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则盒子中可能有红球多少个 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
B
五 当堂检测
(1)请完成上表；
(2)根据上表，刻画出该运动员集中靶心的频率折线统计图；
(3)请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率.
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下射击，结果见下表:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的频率
0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861
五 当堂检测
(2)根据上表，刻画出该运动员集中靶心的频率折线统计图；
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下射击，结果见下表:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的频率
0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861
五 当堂检测
(3)请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率.
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下射击，结果见下表:
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 9 16 41 88 168 429 861
集中靶心的频率
0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861
(3)概率大约是0.861.
五 当堂检测
3.(挑战练习)下列事件中是必然事件的 ，是随机事件的是 ，是不可能事件的是 .
①内错角相等
②地球围绕太阳转
③太阳从西边升起
④上学路上所有路口都是绿灯
②
①④
③
五 当堂检测
选做题：
1.(基础练习）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m的值约为（ ）
A．7 B．3 C．10 D．65
2.(基础练习）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在2%左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（ ）
A．2000 B．4000 C．5000 D．8000
C
B
五 当堂检测
选做题：
3.(拓展练习）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
B
六 作业布置
必做题：
1.(基础练习)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同;②当抛掷的次数n 很大时,正面向上的次数一定为：③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 （请填写序号）
2.(拓展练习)用频率估计概率，可以发现，拋掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币 10次，下列说法正确的是（ ）
A.每两次必有 1次正面向上 B.可能有5次正面向上
C.必有5次正面向上 D．不可能有10 次正面向上
①③
六 作业布置
3.(挑战练习)下列说法中正确的是（ ）
A.小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B.确定事件发生的概率是 1
C.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 600次，点数为1与点数为 6 的频率相同
D.从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校50%的男生引体向上成绩不及格
4.(挑战练习)有五个面的石块，每个面上分别标记 1，2，3，4，5，现随机投掷 100 次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记5的面落在地面上的概率是 .
A
石块的面 1 2 3 4 5
频数 17 28 15 16 24
0.24
六 作业布置
选做题：
1.(基础练习)一只不透明的袋子中装有3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.7附近摆动，则n的值最可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(拓展练习)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（ ）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
D
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
六 作业布置
选做题：
3.(挑战练习)下列表述中，正确的是（ ）
A．“在地面向上抛石子，石子落在地上”是随机事件
B．若彩票的中奖率为10%，则“买100张彩票有10张中奖”是必然事件
C．“从固镇到蚌埠的K371次列车明天准点到达”是随机事件
D．同时掷两枚硬币，朝上面是一正一反的概率为
C
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《3.2.2 频率及其稳定性》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨迪
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对频率及其稳定性的内容要求是：了解数据处理的过程；能解释数据分析的结果，能根据结果做出简单的判断和预测；知道经历大量重复试验，频率具有稳定性，能用频率估计概率；体会数据的随机性以及概率与统计的关系.
本节课的学业要求是会用简单的随机抽样收集数据；能绘制频率折线图，能用频率折线图等整理与描述收集到的数据，能读懂频率折线图反映的数据信息，能利用频率折线图解释数据中蕴含的信息；能根据统计图表分析随机现象的变化趋势；体会数据分析的重要性，感悟通过样本特征估计总体特征的思想，形成数据观念，发展模型观念。因此，在教学过程中，要通过具体的情景，从学生已有的生活经验出发，使学生经历“猜想→实验和收集实验数据→分析实验结果→验证猜想”，经历自主探索、分组实验、合作交流等活动形式，组织学生探索大量重复试验中不确定时间发生的频率会稳定在一个常数附近。频率、概率是课程标准第三学段“统计概率”中的两个重要概念。通过这部分内容的学习可以帮助学生，进一步理解实验频率和理论概率的辩证关系，同时亦为学生体会概率和统计之间的练习打下基础。让学生经历数据收集、整理与表示、数据分析以及做出推断的全过程，发展学生的统计意识。
（二）教材解读
《频率及其稳定性》是本章《概率初步》的第2节课.是一个重要的数理统计知识。本节课聚焦于频率的波动及其稳定性。是概率论从“经验直觉”迈向“数学理论”的关键转折点，是初中“频率与概率”内容的直接延续和拓展，是处理相关数学问题和实际生活问题的理论基础。教材通过实验与数据的科学逻辑，既解释了概率的统计本源，又为古典概率的公式化计算提供了合理性支撑，同时渗透了数学的实证精神与辩证思维，是单元知识体系中的“枢纽课”。其次本课对第一课中“可能性大小”的模糊描述转化为可测量的频率数据，赋予概率初步的量化意义。为后续学习概率的数学化定义（如古典概型公式 P(A)= ）提供统计依据，解释“为什么等可能事件概率可以理论计算”.因此，本节课有利于加深学生对概率意义的深层次理解，进一步让学生体会概率与统计的思想，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
本节课的知识要点为：通过“抛硬币”等可操作活动，让学生亲历“猜想—试验—记录—分析”的完整过程，体现科学探究的实证思想。教材强调从数据中归纳规律，而非直接给出结论。例如：短期波动性（少量试验时频率不稳定）→ 长期稳定性（大量试验时频率趋近常数）；个体差异（单组数据可能偏离）→ 整体趋同（多组数据均值接近理论概率）。最后通过频率的稳定性可以用于估计事件发生的概率，以及总结出必然事件，随机事件，不可能事件发生的概率.
本节课的重点是理解大量试验频率稳定在一个常数附近,频率估计概率，以及必然事件，不可能事件，随机事件发生的概率，难点是频率和概率的关系．从生活中的情景中引入，通过直观感知和动手操作。强化学生的直观理解，培养学生使用数学的良好意识，激发学习兴趣、体会数学的应用价值。
三、学情分析
1.基础知识
学生在小学阶段学习绘制简单统计图（如条形图、折线图），并能从图表中提取信息，其次了解“概率是事件发生的可能性大小”，这些为本节课的学习提供了知识基础；但对概率的统计定义尚未系统学习，对大量重复实验得到频率的稳定值的分析还存在障碍。
2.行为习惯
七年级学生乐于动手操作，也已经适应小组分工合作模式，同时已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大胆质疑、有效表达等方面还稍有欠缺.
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平；比如题目中的关键信息的提取、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验结果的过程，总结出频率和概率的关系. 2.我能发现试验次数很大时，随机事件发生频率具有稳定性.
拓展性目标 3. 我能说出概率的概念. 4.我能用频率估计事件发生的概率.
挑战性目标 5. 我能说出必然事件，不可能事件，随机事件发生的概率或概率范围. 6.我会模仿老师给出题目，改编其他概率情景问题，并进行验证.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 通过生活中的具体情境，感知事件发生的可能性 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 1分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 12分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 8分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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