1.1.4 等腰三角形(４)同步练习（无答案）八年级下册数学北师版

１ . １ . ４ 等腰三角形(４)
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(１) 在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ＝５ ｃｍ，你能增加一个条件，使它变为等边三角形吗
(２)在直角三角形中，如果一个锐角等于 ３０ °，那么它所对的直角边与斜边的关系是怎样的
(３) 等腰三角形的判定方法有哪些
新知速递
(１) 如 图 １-１-１０６ 所 示， 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中， ∠Ｃ ＝ ９０ °， ∠Ｂ ＝ ３０ °， ∠ＡＤＣ ＝ ６０ °， ＢＤ ＝ １０， 则 ＣＤ 的 长 是 .
(２) 一个内角为 ６０°的等腰三角形的腰长为 ６ ｃｍ，它的周长为 ｃｍ .
(３) 在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠Ｃ＝６０ °，若△ＡＢＣ 的周长为 ３０，则 ＡＢ ＝ .
(４) 如 图 １-１-１０７ 所 示， Ｐ， Ｑ 是 △ＡＢＣ 的 边 ＢＣ 上 的 两 点， 且 ＢＰ ＝ ＰＱ ＝ ＱＣ ＝ ＡＰ ＝ ＡＱ， 则 ∠Ｂ ＝
°
.
图 １-１-１０６ 图 １-１-１０７
(１) 如图 １-１-１０８ 所示，在△ＡＢＣ 中， ∠ＢＡＣ＝９０ °，ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高， ∠Ｃ＝３０ °，ＢＣ＝４，求 ＢＤ 的长.
１
(２) 如图 １-１-１０９ 所示，ＡＤ∥ＢＣ，且 ＤＢ 平分∠ＡＤＣ.
①求证 :ＤＣ＝ＢＣ.
②如果∠Ｃ: ∠ＡＤＣ ＝１ : ２，求证 : △ＣＤＢ 是等边三角形.
图 １-１-１０８
图 １-１-１０９
(３) 如图 １-１-１１０ 所示，在等边△ＡＢＣ 中， ∠ＡＢＣ， ∠ＡＣＢ 的平分线相交于点 Ｏ，作 ＢＯ， ＣＯ 的垂直平分线 分别交ＢＣ 于点 Ｅ 和点 Ｆ. 小明说:“Ｅ，Ｆ 是 ＢＣ 的三等分点. ”你同意他的说法吗 请说明理由.
(４) 如图 １-１-１１１ 所示，在等边△ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ，Ｆ 分别是各边上的一点，且 ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ.
求证 : △ＤＥＦ 是等边三角形.
图 １-１-１１０ 图 １-１-１１１
基础训练
(１) 已知直角三角形一锐角是 ３０ °，斜边长是 ２，那么它的周长是( ) .
Ａ . ３
(２) ①有两个角等于 ６０°的三角形 ②有一个角等于 ６０°的等腰三角形 ③三个外角( 每个顶点处各取一 个外角) 都相等的三角形 ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形. 以上三角形中，是等边三角形 的有( ) .
２
Ａ . ①②③ Ｂ . ①②④ Ｃ . ①③ Ｄ . ①②③④
(３) 等边△ＡＢＣ 的两条角平分线 ＢＤ 和 ＣＥ 交于点 Ｉ，则 ∠ＢＩＣ 等于( ) .
Ａ . ６０ ° Ｂ . ９０ ° Ｃ . １２０ ° Ｄ . １５０ °
(４) 直角三角形中的一角为 ３０ °，此角的对边长是斜边长的 .
(５) 如图 １-１-１１３ 所示，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠Ａ ＝６０ °，ＢＥ⊥ＡＣ 于 Ｅ，延长 ＢＣ 到 Ｄ，使 ＣＤ ＝ＣＥ，连接 ＤＥ. 若△ＡＢＣ 的周长是 ２４，则△ＢＤＥ 的周长是 .
拓展提高
(１) 如图 １-１-１１４ 所示， △ＡＢＣ 是等边三角形， 点 Ｄ 是 ＢＣ 边上任意一点，ＤＥ ⊥ＡＢ 于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＡＣ 于点 Ｆ. 若 ＢＣ＝４，则 ＢＥ ＋ＣＦ＝ .
图 １-１-１１４
图 １-１-１１３
(２) 如图 １-１-１１５ 所示，在等边△ＡＢＣ 的边 ＢＣ 上任取一点 Ｄ，作 ∠ＡＤＥ ＝６０ °，ＤＥ 交 ∠ＡＣＢ 的外角平分 线于 Ｅ，则△ＡＤＥ 是 三角形.
(３) 在四边形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ＢＣ＝５， ∠Ｂ ＝６０ °，ＣＤ ＝７，则 ＡＤ 的取值范围是 .
(４) 如图 １-１-１１６ 所示，在△ＡＢＣ 中，ＡＢ ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ ＝１２０ °，ＡＤ⊥ＡＣ 交 ＢＣ 于点 Ｄ，
求证 :ＢＣ＝３ＡＤ .
图 １-１-１１５ 图 １-１-１１６
发散思维
(１) 如图 １-１-１１７ 所示， △ＡＢＣ 是等边三角形，分别延长 ＡＢ 至 Ｆ，延长 ＢＣ 至 Ｄ，延长 ＣＡ 至 Ｅ，使 ＡＦ ＝ ３ＡＢ，ＢＤ ＝３ＢＣ，ＣＥ＝３ＣＡ .
求证 : △ＤＥＦ 是等边三角形.
(２) 如图 １-１-１１８ 所示， 已知点 Ｂ，Ｃ，Ｄ 在同一条直线上， △ＡＢＣ 和△ＣＤＥ 都是等边三角形. ＢＥ 交 ＡＣ 于 Ｆ，ＡＤ 交 ＣＥ 于 Ｈ，连接 ＦＨ.
①求证 : △ＢＣＥ≌△ＡＣＤ②求证 :ＣＦ ＝ＣＨ③判断△ＣＦＨ 的形状并说明理由.
图 １-１-１１７ 图 １-１-１１８