１.４.１角平分线(１)同步练习（无答案）八年级下册数学北师版

１.４.１角平分线(１)
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(１) 什么是角的平分线
(２) 什么是点到直线的距离
(３) 判断三角形全等的方法有哪些
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(１) 如图 １–４–２６ 所示 ，下列推理中正确的是 . ( 填序号)
①因为 ＯＣ 平分∠ＡＯＢ ，点 Ｐ ，Ｄ ，Ｅ 分别在 ＯＣ ，ＯＡ ，ＯＢ 上 ，所以 ＰＤ ＝ＰＥ
②因为点 Ｐ 在 ＯＣ 上 ，ＰＤ⊥ＯＡ ，ＰＥ⊥ＯＢ ，所以 ＰＤ ＝ＰＥ
③因为点 Ｐ 在 ＯＣ 上 ，ＰＤ⊥ＯＡ ，ＰＥ⊥ＯＢ ，且 ＯＣ 平分∠ＡＯＢ ，所以 ＰＤ ＝ＰＥ .
图 １–４–２６
(２) 如图 １–４–２７ 所示 ，在△ＡＢＣ 中 ，ＡＤ 是 ∠ＢＡＣ 的平分线 ，ＤＥ⊥ＡＢ 于点 Ｅ ，Ｓ △ＡＢＣ ＝７ ，ＤＥ ＝２ ，ＡＢ ＝４ ，则 ＡＣ 长是( ) .
Ａ . ３ Ｂ . ４ Ｃ . ６ Ｄ . ５
图 １–４–２７
(３) 已知:ＯＣ 是∠ＡＯＢ 的平分线 ，点 Ｐ 在 ＯＣ 上 ，ＰＤ⊥ＯＡ ，ＰＥ⊥ＯＢ ，垂足分别为 Ｄ ，Ｅ ，ＰＤ ＝１０ ，则 ＰＥ 的 长度为 .
(１) 如图 １–４–２８ 所示 ，下面是利用尺规作 ∠ＡＯＢ 的平分线 ＯＣ 的作法 ， 在用尺规作角平分线的过程中 ， 用到的三角形全等的判定方法是什么
作法 :
①以 Ｏ 为圆心 ，适当长为半径画弧 ，分别交 ＯＡ ，ＯＢ 于点 Ｄ ，Ｅ
②分别以 Ｄ ，Ｅ 为圆心 ，大于 的长为半径画弧 ，两弧在∠ＡＯＢ 内交于一点 Ｃ
③画射线 ＯＣ ，射线 ＯＣ 就是∠ＡＯＢ 的平分线.
(２) 如图 １–４–２９ ，在四边形 ＡＢＣＤ 中 ，ＢＣ > ＢＡ ，ＡＤ ＝ＤＣ ，ＢＤ 平分∠ＡＢＣ.
求证 : ∠ＢＡＤ ＋ ∠Ｃ ＝１８０ ° .
(３) 如图 １–４–３０ ，点 Ｐ 是 ∠ＭＯＮ 内一点 ，ＰＡ⊥ＯＭ 于点 Ａ ，ＰＢ⊥ＯＮ 于点 Ｂ ，连接 ＡＢ ， ∠ＰＡＢ ＝ ∠ＰＢＡ .
１
①求证 :ＯＰ 平分∠ＭＯＮ.
②若∠ＭＯＮ＝８０ ° ，求 ∠ＰＡＢ 的度数.
图 １–４–２８
图 １–４–２９
图 １–４–３０
基础训练
(１) 如图 １-４-３３ 所示 ， ＯＰ 平分 ∠ＡＯＢ ， ＰＣ ⊥ ＯＡ 于点 Ｃ ， ＰＤ ⊥ ＯＢ 于点 Ｄ ， 则 ＰＣ 与 ＰＤ 的大小关系 是( ) .
Ａ . ＰＣ > ＰＤ Ｂ . ＰＣ＝ＰＤ Ｃ . ＰＣ < ＰＤ Ｄ . 不能确定
(２) 如图 １-４-３４ 所示 ，点 Ｐ 是 ∠ＢＡＣ 的平分线ＡＤ 上一点 ，ＰＥ⊥ＡＣ 于点 Ｅ . 已知 ＰＥ＝３ ，则点 Ｐ 到 ＡＢ 的 距离是( ) .
Ａ . ３ Ｂ . ４ Ｃ . ５ Ｄ . ６
(３) 为促进旅游发展 ，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村 ， 如图 １-４-３５ 所示 ，若要使 度假村到三条公路的距离相等 ，则这个度假村应修建在( ) .
Ａ . 三角形ＡＢＣ 三条高线的交点处 Ｂ . 三角形ＡＢＣ 三条角平分线的交点处
Ｃ . 三角形ＡＢＣ 三条中线的交点处 Ｄ . 三角形ＡＢＣ 三边垂直平分线的交点处
图 １-４-３３ 图 １-４-３４ 图 １-４-３５
(４) 如图 １-４-３６ 所示 ，点 Ｅ 是 ＢＣ 的中点 ，ＡＢ⊥ＢＣ ，ＤＣ⊥ＢＣ ，ＡＥ 平分∠ＢＡＤ ，下列结论:①∠ＡＥＤ ＝９０ ° ②∠ＡＤＥ＝ ∠ＣＤＥ③ＤＥ＝ＢＥ④ＡＤ ＝ＡＢ ＋ＣＤ 中 ，正确的是( ) .
Ａ . ①②④ Ｂ . ①②③ Ｃ . ②③④ Ｄ . ①③
图 １-４-３６
拓展提高
(１) 如图 １-４-３７ 所示 ， 在 △ＡＢＣ 中 ， ∠Ａ ＝９０ ° ， ＡＢ ＝ＡＣ ， ＢＤ 平分 ∠ＡＢＥ ， ＤＥ ⊥ ＢＣ ， 若 ＢＣ ＝ １０ ｃｍ ， 则
△ＤＥＣ 的周长是 ｃｍ .
(２) 如图 １-４-３８ 所示 ， 已知△ＡＢＣ 的周长是 ２０ ， ＯＢ ， ＯＣ 分别平分 ∠ＡＢＣ 和 ∠ＡＣＢ ， ＯＤ⊥ＢＣ 于点 Ｄ ， 且 ＯＤ ＝３ ，则△ＡＢＣ 的面积是 .
２
图 １-４-３７
图 １-４-３８
(３) 如图 １-４-３９ 所示 ，ＢＰ ，ＣＰ 是△ＡＢＣ 外角的平分线. 求证:点 Ｐ 在 ∠ＢＡＣ 的平分线上.
(４) 如图 １-４-４０ 所示 ，两条公路 ＯＡ 和 ＯＢ 相交于 Ｏ 点 ，在 ∠ＡＯＢ 的内部有工厂 Ｃ 和 Ｄ ，现要修建一个货 站 Ｐ ，使货站 Ｐ 到两条公路 ＯＡ ，ＯＢ 的距离相等 ，且到两个工厂 Ｃ ，Ｄ 的距离相等 ，用尺规作出货站 Ｐ 的位置. ( 要求:不写作法 ，保留作图痕迹 ， 写出结论)
(５) 如图 １-４-４１ 所示 ，ＢＥ＝ＣＦ ，ＤＥ 垂直于ＡＢ 的延长线交于点 Ｅ ，ＤＦ⊥ＡＣ 于点 Ｆ ，且 ＤＢ＝ＤＣ.
求证 :ＡＤ 是 ∠ＢＡＣ 的平分线.
图 １-４-３９ 图 １-４-４０ 图 １-４-４１
发散思维
数学课上 ，探讨角平分线的作法时 ，李老师用直尺和圆规作角平分线 ，方法如下 :
如图 １-４-４２ 所示 ，先在 ＯＡ 和 ＯＢ 上分别截取 ＯＤ ，ＯＥ ，使 ＯＤ ＝ ＯＥ再分别以 Ｄ ，Ｅ 为圆心 ， 以大于 的长为半径作弧 ，两弧在∠ＡＯＢ 内交于点 Ｃ最后作射线 ＯＣ ，则 ＯＣ 为∠ＡＯＢ 的平分线.
小聪的作法步骤:如图 １-４-４３ 所示 ，先利用三角板上的刻度 ，在 ＯＡ 和 ＯＢ 上分别截取 ＯＭ ， ＯＮ ，使 ＯＭ＝ ＯＮ再分别过点 Ｍ ，Ｎ 作 ＯＭ ，ＯＮ 的垂线 ，交于点 Ｐ最后作射线 ＯＰ ，则 ＯＰ 为 ∠ＡＯＢ 的平分线.
小颖的身边只有刻度尺 ，经过尝试 ，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.
根据以上情境 ，解决下列问题:①李老师用尺规作角平分线时 ，用到的三角形全等的判定方法是 ②小聪的作法正确吗 请说明理由 ③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法( 要求:作出图形 ， 写 出作图步骤 ， 不予证明) .
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图 １-４-４２
图 １-４-４３