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人教八下数学单元测试（三） 平行四边形
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，将一张矩形纸片剪去部分后得到一个三角形，则图中 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
A
3.如图，中，对角线与交于点 ， ， ，则 ( )
B
A. B. C. D.
4.如图，已知菱形的周长为8， ，则对角线 的长是( )
C
A. 1 B. C. 2 D.
5.下列判断错误的是( )
D
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6.如图，在中， ，， ，则 的面
积为( )
B
A. 2 B. 3 C. D. 6
7.如图，将沿对角线折叠，使点落在 处.若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，对角线, 相交于点，为的中点，且，则菱形 的周长为( )
A
A. B. C. D.
9.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，转动这个四边形，使它的形状发生改变.当 时，如图1，测得，当 时，如图2， ( )
A
A. B. 2 C. D.
10.如图，是正方形的对角线 上一点，，，垂足分别为，，连接， ，给出下列四个结论：； ；
； 一定是等腰三角形.其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在中， ，则 ______.
12.菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为___.
6
13.如图，在中，,,分别是边,, 的中点，，，则四边形的周长为____ .
14
14.如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是____．
97
15.如图，已知正方形的边长为1，连接, ，平分交于点 ，则：
（1） ________;
（2） _ ______.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在中，，， 的平分线与相交于点，求 的长.
解： 四边形 为平行四边形，
， .
.
平分， .
.
.
17.（6分）如图，以为底边的等腰三角形，点，， 分别在，，上，且，，延长至点 ，使得.求证：四边形 为平行四边形.
证明：是以 为底边的等腰三角
形， .
， ，
，四边形 是平
行四边形. .
， .
.
又 ，
四边形 为平行四边形.
18.（6分）如图，将的边延长到点 ，使，交边于点 .
（1）求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
， .
四边形是平行四边形. .
（2）若，求证：四边形 是矩形.
[答案] 四边形 是平行四边形，
.
，且 ，
.
.
四边形 是平行四边形，
， .
四边形 是矩形.
19.（8分）如图，在四边形中， ，
平分，交于点 .
（1）求证：四边形 是菱形.
解：证明：， ，
四边形为平行四边形， .
平分， .
.
平行四边形 是菱形.
（2）若是的中点，试判断 的形状，并说明理由.
解： 是直角三角形.理由：
四边形是菱形， .
是的中点， .
, .
,
,即
.
是直角三角形.
20.（8分）如图，在矩形中，点在 上，，，垂足为 .（1）求证： .
解：证明：在矩形中，， ，
.
又， .
.
又， .
（2）若 ，且，求 的长.
解： ， ，
. 在中， .
， .
21.（8分）如图，已知四边形是正方形，为线段 上任意一
点，于点，于点.求证： .
证明： 四边形 是正方形，
， .
，， .
.
.
在和中，
.
， .
， .
22.（10分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于
第三边的一半.
已知：如图，，分别是的边，的中点，连接 .
求证：，且 .
（要求：用尺规作图法画出点和点 ，只保留作图痕迹，不写作法）
证明：如图所示，点, 即为所求.延长
到点，使，连接 .
，分别是， 的中点，
， .
在和 中，
， .
， 四边形 是平
行四边形.
， .
23.（11分）定义：若一个四边形满足三个条件：①有一组对角互补；②一组邻边相等；③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上定义，解答下列问题.
（1）如图1，四边形是正方形，点在边上，点在边 的延长线上，且，连接，.请根据定义判断四边形 是否为“直等补”四边形，并说明理由.
解：四边形 是“直等补”四边形.
理由： 四边形 是正方形，
， .
.
在和中，
， .
.
. .
四边形 是“直等补”四边形.
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形， ，于点.若，，求 的长.
解：连接 四边形是“直等补”四边形， ，
, . .
， .
， .
24.（12分）已知在中， ， ，，为直线上一动点（点不与，重合），以 为边作正方形，连接 .
（1）观察猜想
如图1，当点在线段上时，可以证明 ，则：
①与 的位置关系为_________.
②，， 之间的数量关系为______________.
（2）类比探究
如图2，当点在线段 的延长线上时，其他条件不变，（1）中结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论，再给予证明.
解：①成立，②不成立，结论②应改为
.
证明： 四边形 是正方形，
， .
，
，
即 .
， .
在和中，
， .
，
. .
，， .
（3）拓展延伸
如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点， 分别在直线 的两侧，其他条件不变.
①，， 之间的数量关系为______________.
②若正方形的边长为2，对角线， 相交于点，连接，则 的长为____.
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人教八下数学单元测试（三） 平行四边形
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.如图，将一张矩形纸片剪去部分后得到一个三角形，则图中 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
A
3.如图，中，对角线与交于点 ， ， ，则 ( )
B
A. B. C. D.
4.如图，已知菱形的周长为8， ，则对角线 的长是( )
C
A. 1 B. C. 2 D.
5.下列判断错误的是( )
D
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6.如图，在中， ，， ，则 的面
积为( )
B
A. 2 B. 3 C. D. 6
7.如图，将沿对角线折叠，使点落在 处.若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，对角线, 相交于点，为的中点，且，则菱形 的周长为( )
A
A. B. C. D.
9.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，转动这个四边形，使它的形状发生改变.当 时，如图1，测得，当 时，如图2， ( )
A
A. B. 2 C. D.
10.如图，是正方形的对角线 上一点，，，垂足分别为，，连接， ，给出下列四个结论：； ；
； 一定是等腰三角形.其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在中， ，则 ______.
12.菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为___.
6
13.如图，在中，,,分别是边,, 的中点，，，则四边形的周长为____ .
14
14.如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是____．
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15.如图，已知正方形的边长为1，连接, ，平分交于点 ，则：
（1） ________;
（2） _ ______.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在中，，， 的平分线与相交于点，求 的长.
解： 四边形 为平行四边形，
， .
.
平分， .
.
.
17.（6分）如图，以为底边的等腰三角形，点，， 分别在，，上，且，，延长至点 ，使得.求证：四边形 为平行四边形.
证明：是以 为底边的等腰三角
形， .
， ，
，四边形 是平
行四边形. .
， .
.
又 ，
四边形 为平行四边形.
18.（6分）如图，将的边延长到点 ，使，交边于点 .
（1）求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
， .
四边形是平行四边形. .
（2）若，求证：四边形 是矩形.
[答案] 四边形 是平行四边形，
.
，且 ，
.
.
四边形 是平行四边形，
， .
四边形 是矩形.
19.（8分）如图，在四边形中， ，
平分，交于点 .
（1）求证：四边形 是菱形.
解：证明：， ，
四边形为平行四边形， .
平分， .
.
平行四边形 是菱形.
（2）若是的中点，试判断 的形状，并说明理由.
解： 是直角三角形.理由：
四边形是菱形， .
是的中点， .
, .
,
,即
.
是直角三角形.
20.（8分）如图，在矩形中，点在 上，，，垂足为 .（1）求证： .
解：证明：在矩形中，， ，
.
又， .
.
又， .
（2）若 ，且，求 的长.
解： ， ，
. 在中， .
， .
21.（8分）如图，已知四边形是正方形，为线段 上任意一
点，于点，于点.求证： .
证明： 四边形 是正方形，
， .
，， .
.
.
在和中，
.
， .
， .
22.（10分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于
第三边的一半.
已知：如图，，分别是的边，的中点，连接 .
求证：，且 .
（要求：用尺规作图法画出点和点 ，只保留作图痕迹，不写作法）
证明：如图所示，点, 即为所求.延长
到点，使，连接 .
，分别是， 的中点，
， .
在和 中，
， .
， 四边形 是平
行四边形.
， .
23.（11分）定义：若一个四边形满足三个条件：①有一组对角互补；②一组邻边相等；③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上定义，解答下列问题.
（1）如图1，四边形是正方形，点在边上，点在边 的延长线上，且，连接，.请根据定义判断四边形 是否为“直等补”四边形，并说明理由.
解：四边形 是“直等补”四边形.
理由： 四边形 是正方形，
， .
.
在和中，
， .
.
. .
四边形 是“直等补”四边形.
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形， ，于点.若，，求 的长.
解：连接 四边形是“直等补”四边形， ，
, . .
， .
， .
24.（12分）已知在中， ， ，，为直线上一动点（点不与，重合），以 为边作正方形，连接 .
（1）观察猜想
如图1，当点在线段上时，可以证明 ，则：
①与 的位置关系为_________.
②，， 之间的数量关系为______________.
（2）类比探究
如图2，当点在线段 的延长线上时，其他条件不变，（1）中结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论，再给予证明.
解：①成立，②不成立，结论②应改为
.
证明： 四边形 是正方形，
， .
，
，
即 .
， .
在和中，
， .
，
. .
，， .
（3）拓展延伸
如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点， 分别在直线 的两侧，其他条件不变.
①，， 之间的数量关系为______________.
②若正方形的边长为2，对角线， 相交于点，连接，则 的长为____.
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单元测试（三） 平行四边形
范围：第3单元
（120分钟 满分：120分）
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求）
第1题图
1.如图，将一张矩形纸片剪去部分后得到一个三角形，
则图中 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是( )
A
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
第3题图
3.如图，中，对角线与交于点 ，
， ，则
( )
B
A. B. C. D.
第4题图
4.如图，已知菱形的周长为8， ，则
对角线 的长是( )
C
A. 1 B. C. 2 D.
5.下列判断错误的是( )
D
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
第6题图
6.如图，在中， ，
， ，则 的面
积为( )
B
A. 2 B. 3 C. D. 6
7.如图，将沿对角线折叠，使点落在 处.若
，则 ( )
C
第7题图
A. B. C. D.
第8题图
8.如图，在菱形中，对角线, 相交于点
，为的中点，且，则菱形 的周长
为( )
A
A. B. C. D.
9.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，转动
这个四边形，使它的形状发生改变.当 时，如图1，测得
，当 时，如图2， ( )
A
第9题图
A. B. 2 C. D.
第10题图
10.如图，是正方形的对角线 上一点，
，，垂足分别为，，连接， ，
给出下列四个结论：； ；
； 一定是等腰三角形.其中正确
的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在中， ，则 ______.
12.菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为___.
6
13.如图，在中，,,分别是边,, 的中点，
，，则四边形的周长为____ .
14
第13题图
14.如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积
分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是____．
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第14题图
第15题图
15.如图，已知正方形的边长为1，连接, ，
平分交于点 ，则：
（1） ________;
（2） _ ______.
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
16.（6分）如图，在中，，， 的平分线
与相交于点，求 的长.
解： 四边形 为平行四边形，
， .
.
平分， .
.
.
17.（6分）如图，以为底边的等腰三角形，点，， 分别在
，，上，且，，延长至点 ，使得
.求证：四边形 为平行四边形.
证明：是以 为底边的等腰三角
形， .
， ，
，四边形 是平
行四边形. .
， .
.
又 ，
四边形 为平行四边形.
18.（6分）如图，将的边延长到点 ，使
，交边于点 .
（1）求证： .
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
， .
四边形是平行四边形. .
（2）若，求证：四边形 是矩形.
[答案] 四边形 是平行四边形，
.
，且 ，
.
.
四边形 是平行四边形，
， .
四边形 是矩形.
19.（8分）如图，在四边形中， ，
平分，交于点 .
（1）求证：四边形 是菱形.
解：证明：， ，
四边形为平行四边形， .
平分， .
.
平行四边形 是菱形.
（2）若是的中点，试判断 的形状，并说明理由.
解： 是直角三角形.理由：
四边形是菱形， .
是的中点， .
, .
,
,即
.
是直角三角形.
20.（8分）如图，在矩形中，点在 上，
，，垂足为 .
（1）求证： .
解：证明：在矩形中，， ，
.
又， .
.
又， .
（2）若 ，且，求 的长.
解： ， ，
. 在中， .
， .
21.（8分）如图，已知四边形是正方形，为线段 上任意一
点，于点，于点.求证： .
证明： 四边形 是正方形，
， .
，， .
.
.
在和中，
.
， .
， .
22.（10分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于
第三边的一半.
已知：如图，，分别是的边，的中点，连接 .
求证：，且 .
（要求：用尺规作图法画出点和点 ，只保留作图痕迹，不写作法）
证明：如图所示，点, 即为所求.延长
到点，使，连接 .
，分别是， 的中点，
， .
在和 中，
， .
， 四边形 是平
行四边形.
， .
23.（11分）定义：若一个四边形满足三个条件：①有一组对角互补；
②一组邻边相等；③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直
角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形.根据以上定义，解答下
列问题.
（1）如图1，四边形是正方形，点在边上，点在边 的
延长线上，且，连接，.请根据定义判断四边形 是
否为“直等补”四边形，并说明理由.
解：四边形 是“直等补”四边形.
理由： 四边形 是正方形，
， .
.
在和中，
， .
.
. .
四边形 是“直等补”四边形.
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形， ，
于点.若，，求 的长.
解：连接 四边形是“直等补”四边形， ，
, . .
， .
， .
24.（12分）已知在中， ， ，
，为直线上一动点（点不与，重合），以 为边
作正方形，连接 .
（1）观察猜想
如图1，当点在线段上时，可以证明 ，则：
①与 的位置关系为_________.
②，， 之间的数量关系为______________.
（2）类比探究
如图2，当点在线段 的延长线上时，其他条件
不变，（1）中结论①②是否仍然成立？若成立，
请给予证明；若不成立，请写出正确结论，再给
予证明.
解：①成立，②不成立，结论②应改为
.
证明： 四边形 是正方形，
， .
，
，
即 .
， .
在和中，
， .
，
. .
，， .
（3）拓展延伸
如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点，
分别在直线 的两侧，其他条件不变.
①，， 之间的数量关系为______________.
②若正方形的边长为2，对角线， 相交于点
，连接，则 的长为____.
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