第7章锐角三角函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版（含解析）

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第7章锐角三角函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，有一正八边形，分别连接，其中交于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．3
6．如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角，则电线杆AB的高为（ ）21*cnjy*com
A．米 B．米 C．米 D．米
8．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．已知则锐角的取值范围是 ．
11．在中，是方程的根，则的值是 ．
12．如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，最大边是最小边的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是 ．
13．如图，已知正方形，E是边的中点：将沿翻折，点A落在点F处，与交于点G，那么的值是 ．
14．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）
三、解答题
15．计算：．
16．图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）．
(1)求优弧所在圆的半径．
(2)求的长度（结果保留根号） ．
17．如图，直角三角形中，以直角边为直径作圆交于点，过点作于点，为的中点，连接并延长交于点，．
(1)求证：；
(2)求；
(3)若，求圆的面积．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．21·世纪*教育网
(1)在图①中，画出点D在边上，使；
(2)在图②中，画出点F在边上，且；
(3)在图③中，画出点M在边上、点N在边上，使．
19．已知四边形，，点P在射线上运动，连接．
(1)若四边形为正方形，点M在上，且．请判断之间数量关系，并说明理由；
(2)若四边形为菱形呢？，其他条件与（1）同，则（1）中的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若四边形为正方形，将线段绕点P顺时针旋转于，此时的最小值为多少？的最小值呢？并说明理由．21世纪教育网版权所有
20．如图，在中，点P是边上的一个动点，过点P作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．2-1-c-n-j-y
(1)求证：；
(2)若在边上存在点P，使四边形是正方形，且．求此时的大小．
21．如图，已知在中，，，，点是射线上一点（不与点、重合），过作，垂足为点，以为圆心，长为半径的圆与边相交的另一个交点为点，点是边上一点，且，连接．
(1)如果圆M与直线相切，求圆M的半径长；
(2)如果点P在线段上，设线段，线段，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
(3)如果以为直径的圆与以为直径的圆外切于边上的点，求线段的长．
《第7章锐角三角函数检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C A C B C
1．C
【分析】本题考查了无理数的定义，特殊三角函数值，熟练掌握无理数的定义和特殊三角函数值是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
根据无理数的定义和特殊三角函数值解答即可．
【详解】解：A、，是有理数，故A选项不符合题意；
B、，是有理数，故B选项不符合题意；
C、，是无理数，故C选项符合题意；
D、，是有理数，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了正切的定义，作交于，由题意可得，，，再由正切的定义计算即可得解．
【详解】解：如图，作交于，
，
由题意可得：，，，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键．
根据题意，利用同角的余角相等得到，进而得到，利用锐角三角函数定义求出的长即可．
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查正八边形的性质，设正八边形的边长为a，则，，因此，进而求解即可．
【详解】解：设正八边形的边长为a，则，
且，，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
5．A
【分析】本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点．21教育网
以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．证明，由全等性质可以得到，得Q点的运动轨迹是射线，当点H与点Q重合时，的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可．21·cn·jy·com
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，
∴，
由题意可得是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴Q点的运动轨迹是射线，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了求正切，正方形的性质，勾股定理；连接，设交于点，则，证明三点共线，进而根据正切的定义，即可求解．21*cnjy*com
【详解】解：如图所示，连接，设交于点，则，
∵四边形，是正方形，
∴
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，可以通过点C作于点E，把求的问题转化为求的长，从而可以在中利用三角函数求解即可．2·1·c·n·j·y
【详解】解：如图．过作于，
∴，，
在中，，，
，
，
故选：B
8．C
【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解．【版权所有：21教育】
【详解】解：是的切线，
，
设该圆的半径为，
，
，
，，
，
，
过作于，过作于，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，，
，
解得，
该圆的半径为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键．
9．/0.5
【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解．
【详解】解：；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了正余弦的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数，再结合正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小，进行分析即可．
【详解】解：特殊角的三角函数如下表所示，
三角函数
由表中数据可以得出：当时，，
又正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
11．/0.5
【分析】此题主要考查了解一元二次方程以及三角函数等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．首先得出，进而求解即可．
【详解】解：是方程的根，则，
或（舍去），
故答案为：
12．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．假设，，，得到，推出，，得到，过点作于点，根据，即可求解．
【详解】解：假设，，，
则，
，即，，
，
过点作于点，则，
该梯形最小内角的余弦值为，
故答案为：．
13．/
【分析】连接，，过点F作，于点P，设，根据点E为的中点，得出，根据勾股定理求出，根据折叠得出，，垂直平分，根据等积法求出，解直角三角形得出，求出，，，证明，得出即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】解：连接，过点F作，于点P，如图所示：
则四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，，，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
设，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
根据折叠可知：，，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
14．
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴（米），
∴（米）．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，立方根，分母有理化，零指数幂，正确计算是解题的关键．
先求乘方，特殊角的三角函数值，立方根，零指数幂，分母有理化，然后去绝对值，最后进行加减计算即可．
【详解】解：
．
16．(1)
(2)
【分析】（1）设优弧所在圆的圆心为O，过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，由垂径定理可知，，再由勾股定理解即可；
（2）连接，延长，交于点K，由切线的定义得，由含30度角的直角三角形的性质求出，用三角函数解求出，根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，设优弧所在圆的圆心为O，
过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，
则，，
，
由垂径定理可知，平分，
，
在中，由勾股定理得：，
优弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，连接，延长，交于点K，
是的切线，
，
，，
，
，
，
在 中，，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是根据题干描述抽象出数学模型，通过作辅助线解决问题．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，可证，，得到，，由为的中点，即，得到即可求解；
（2）连接，设，，可证明，则，而，由，得到，，则在中，由勾股定理得，解得：，那么由即可求解；21cnjy.com
（3）连接，由直角三角形性质得到，则，求出，即可求解面积．
【详解】（1）证明：∵根据题意，是直角三角形，，以直角边为直径作圆，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的中点，即，
∴；
（2）解：连接，
设，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
解得：，
∴；
（3）解：连接，
∵，F为中点，
∴，
∴由上得：，
∴，
∴圆的面积为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，难度较大，正确合理转化是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点E，连接交于D，；
（2）取格点D，E，连接交于F，证明，可得，即；
（3）取格点D，M，连接交于N，连接，根据可证，可得，则，可证，根据斜边中线等于斜边的一半可证．
【详解】（1）解：如图：D为所求；
（2）解：如图：F为所求；
（3）解：如图：，为所求；
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，斜边中线，三角函数，解题的关键是灵活运用全等三角形，相似三角形，斜边中线，三角函数构造图形求解是解题的关键．
19．(1)，理由见解析
(2)不成立，理由见解析
(3)最小值为，的最小值为
【分析】（1）由勾股定理得，则，证明即可求证；
（2）先证明为等边三角形，则，那么同上可证明：，即可得到；
（3）①在上截取，连接，过点D作于点，可证明，然后确定轨迹为射线，那么当时，取得最小值，此时点Q由于点V重合，即最小值为，则；②延长，可得，作关于的对称点，则点在射线上，连接，则，，那么，故当点三点共线时，取得最小值，即为，再由勾股定理即可求．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，理由如下，连接
∵四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
同上可证明：
∴；
（3）解：①在上截取，连接，过点D作于点
∵四边形是正方形，
∴
∴，
由旋转得：，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴轨迹为射线，
∴当时，取得最小值，此时点Q由于点V重合，即最小值为，
∴，
∴最小值为；
②延长，
∵，，
∴，
作关于的对称点，则点在射线上，连接，则，，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值，即为，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边可得，同理可得，即可得证；
（2）由正方形的性质可得，，由题意可得为直角三角形，且，设，则，，由勾股定理可得，求出，即可得解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
（2）解：∵边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．www.21-cn-jy.com
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意画出草图，记圆与直线相切于点，连接，利用勾股定理得到，设，则，利用三角函数得到，据此建立方程求解，即可解题；
（2）作于点，根据线段，线段，得到，，，再利用三角函数表示出，，，，再结合勾股定理，即可解题．
（3）根据题意画出草图，设，则，，，由（2）同理可得，，再结合圆周角定理和三角函数求解，即可解题．
【详解】（1）解：记圆与直线相切于点，连接，如图所示：
，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
圆的半径长为；
（2）解：作于点，
线段，线段，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
整理得；
（3）解：设，则，，，
由（2）同理可得，
，
为直径，在上，
，
，
，
解得．
经检验
是方程的解．
．
【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，列函数解析式，分式方程的应用，熟练掌握各知识点的融会贯通是解题关键．21教育名师原创作品
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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