第6章图形的相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版（含解析）

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第6章图形的相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为，踏板长为，支撑点A到踏脚D的距离为，现在踏脚着地，则捣头点E离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，D，E分别是边，上的点，且，若，，则的长为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．10
3．如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点O为位似中心，位似比为2，在第四象限内将图象放大为，那么点A的对应点的坐标（　　）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
5．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．45
6．如图，正方形，连接，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．1
7．如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （ ）21·世纪*教育网

A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，，与相交于点，已知，则的长为 ．
10．如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为 ．
11．如图，已知矩形，，，E，F分别为边上的动点，且，将四边形沿翻折到四边形，则的最小值为 ．
12．如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ．
13．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长交于点M，连接并延长交于点N，若，则正方形与正方形的面积的比值为 （用含k的式子表示）．
14．如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为 ．
三、解答题
15．已知：如图，于点，于点，且是的中点．求证：．
16．如图，是的直径，C为外一点，连接，交于点D，连接并延长，交线段于点E，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并证明你的结论．
17．如图、在中，，，，点D是的中点，点P是边上的一点，以为直角边作等腰直角，使，点Q与点B在的同侧．
(1)求的长；
(2)当点Q在上时，求的面积；
(3)当点Q在的平分线上时，求的长；
(4)连接、，当时，直接写出的长．
18．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．【问题探究】如图1，某公园的一块空地，由和四边形组成，，米，公园管理人员现准备过点A修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分（点M在边上），请在图中确定点M的位置，并计算小路的长．（结果保留根号）21cnjy.com
过E作于T，过A作于P，交于Q，如图2所示，完成以下题目：
①____ 米；②____米；③____平方米：④____米，____米．
【问题解决】某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形和以为直径的半圆构成，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的入口在半圆上的点G处，，再沿修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得将这块空地分成面积相等的两部分，已知，请你在图中找出点M的位置，并计算出小路的长．（结果保留根号）21·cn·jy·com
20．在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)；www.21-cn-jy.com
(3)在（2）的前提下，在图（2）中继续用无刻度的直尺和圆规在边上方作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②(保留作图痕迹，并作必要的文字说明)．
《第6章图形的相似检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D C A C B
1．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∴，
∴，
解得米．
∴捣头点E离地面的高度0.8米．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2-1-c-n-j-y
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积的比是，
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查求位似图形中点的坐标，根据位似比为2，且在第四象限内将图象放大为，画出图形，写出点的坐标即可．21*cnjy*com
【详解】解：如图，即为所求，
∴点A的对应点A'的坐标为．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵与位似，位似中心是点，
∴，，
∴，
∵的面积为5，
∴的面积为20；
故选C．
6．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识为解题的关键．
如图，过点作于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质可得；设，由勾股定理可得、，再证明易得、，再根据正方形的性质可得，进而求得，最后代入计算即可．
【详解】解∶如图，过点作于点，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设
，，
∵，
∴，
∴，即
，，
正方形中，，
，
．
故选A．
7．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键．
如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可．
【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，

∴是等腰直角三角形，其中
过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，即，解得：，
∴，
设，则，
∴
∴，解得∶，
∴，
设直线的表达式为，
将代入，得，解得：
∴直线AH的表达式为，
令，则，解得：，
∴点E的坐标为．
故选C．
8．B
【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点在上移动时，
点到直线的距离为：
，即点到的距离为的长度，是定值；
（2）当点在上移动时，
连接，过作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，观察各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
9．
【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】解：∵，
，
，
，
即：，
，
∴；
故答案为：．
10．4
【分析】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上，
每个小的四边形都是边长为1的正方形，
，，，，，
，
∵，
∴，
，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．/
【分析】延长交于点，则，那么，在中，由勾股定理得，在中，由三边关系即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接
由沿翻折可知直线经过点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
由翻折得到：，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键【版权所有：21教育】
12．
【分析】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出．
【详解】解：如图，连接、、，
是的中点，点P是圆心，
，垂径定理，
，
作于，
四边形矩形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，，
，
等边对等角，等腰三角形三线合一，
，，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用．
13．
【分析】证明，设，可得，证明，可得，证明，进一步可得，再进一步解答即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴．
设，
，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题的难度较大，清晰的分析问题，确定相似三角形是解本题的关键．
14．
【分析】过点B作交的延长线于G，证明；延长交的延长线于H，证明，过点B作于F，证明，利用勾股定理，三角形相似，面积计算的分割法，解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
，
过点B作交的延长线于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴， ，
延长交的延长线于H，
由折叠知，，，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴， ， ，
过点B作于F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，分割法计算图形的面积，熟练掌握勾股定理，折叠的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．21教育名师原创作品
15．见解析
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，由，则可知，易证，所以，所以，且为的中点，所以，代入结论可证，解题的关键是证明．
【详解】证明：，，
，，
，
，
，
，
且为的中点，
，
．
16．(1)证明见解析
(2)与相切，理由见解析
【分析】（1）证明，结合，可得，进一步可得结论；
（2）根据圆周角定理得到，再利用等量代换得到，进而得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：与相切，理由如下：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆的切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理、圆周角定理的应用是解题的关键．
17．(1)10
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）在中应用勾股定理，即可求解，
（2）由，得到，设，由 ，即可求出，根据三角形面积公式，即可求解，
（3）交于点，作， 由，得到，根据角平分线性质定理得设，由，解得：，，，由，得到，分当在上时，当在上时，两种情况讨论即可求解，
（4）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而得到，
分当在上时，，当在上时，．
本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
（2）解： 当点落在上时，
∵是中点，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
设，则，
∴，解得：，
∴，
（3）解：当点Q在的平分线上时，
交于点，作，垂足为，
∵，，
∵，
∴，，
∵平分，
设，则，
∴，解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
当在上时，
，解得：，则，
当在上时，
，解得：，则，
综上所述，的长为或，
（4）解：∵，是中点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
当在上时，
，
当在上时，
，
综上所述，或．
18．(1)证明见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴，，
在中，，
由（1）可知，
∴，
∴，
解得，，
∴的长为．
19．问题探究：①；②；③；④；；问题解决：米．
【分析】问题探究：①利用等腰直角三角形的性质解答即可；
②利用等腰三角形的三线合一的性质，矩形的判定与性质解答即可；
③分别计算和梯形的面积即可；
④利用为整个图形的面积的一半的结论求得，则；再利用矩形的判定与性质和勾股定理即可求得；
问题解决：空地由矩形和以为直径的半圆构成设交分别于点，过点作于点，交于点，得出，且为半圆的圆心，依题意，四边形是矩形，设梯形，的面积分别为，则，进而证明，得出，根据勾股定理，即可求解．www-2-1-cnjy-com
【详解】问题探究：解：①∵米，
∴米，
∴米．
故答案为：；
②∵，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴米，
∴米．
故答案为：；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∴米．
∵（平方米），（平方米），
∴（平方米）．
故答案为：3584；
④∵平分这块空地的面积，
∴（平方米），
∴，
∴，
∴米，
∴米．
∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米．
故答案为：；；
问题解决：如图所示，空地由矩形和以为直径的半圆构成设交分别于点，过点作于点，交于点，21*cnjy*com
∵，则，且为半圆的圆心，
依题意，四边形是矩形，
设梯形，的面积分别为，
依题意，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
设，则
∴
∴，，
∴，
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，
答：小路的长为米．
【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．21世纪教育网版权所有
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到，求得，得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质作图即可；
（3）根据相似三角形的性质作图即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是点的“关联点”．
（2）解：如图，即为所求，
作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
简证：点在以为直径的圆上运动，
，
，
由（1）可得，此时点为点的“关联点”．
（3）解：如图，
作法提示：①作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，为半径作圆；
③过作交于点；
④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．
简证：在以为直径的圆上运动，
，
根据第一问很容易得出，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质、尺规作图等内容，解题关键是熟练掌握相关知识和正确理解题意．21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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