第四章数列章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册

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第四章数列章末检测卷-2024-2025学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在数列中，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
2．正整数数列满足，使得的不同个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．在等差数列中，，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差 B．
C．的最大值为 D．满足的的最小值为16
5．在数列中，，（），则（ ）
A． B． C． D．
6．在等比数列中，，，则公比（ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．7
8．已知数列的前项和为，，．则下列选项正确的（ ）
A． B．数列是以2为公比的等比数列
C．对任意的 D．的最小正整数的值为15
二、多选题
9．下列数列中，一定是单调递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．设等差数列的前项和为.若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，（），记的前n项和为，则（ ）
A．为等差数列 B．为等比数列
C． D．
三、填空题
12．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是 ．又，则 ．
13．已知,分别是等差数列的前项和，且，则
14．已知数列|中，，，则满足的n的最小值为 .
四、解答题
15．已知数列满足，，求．
16．已知数列，其前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围．
17．数列的首项，
(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，当数列的项取得最大值时，求的值．
18．记数列的前n项和为，已知，.
(1)求的通项公式.
(2)若数列满足，其前n项和为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．已知数列满足且．
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知不等式对成立，求证：．
(3)已知不等式对成立，证明：，其中无理数．
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A B A D ABC BC
题号 11
答案 BC
1．A
【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可.
【详解】；
则;
;
数列为周期数列，周期为3.
当时，当时.
.
故选：A.
2．C
【分析】由题意，根据递推公式依次计算即可.
【详解】由题意知，，则或，
（1）当时，，则或，
若，则；若，则；
若，则或；
若，则或；
（2）当时，，得，则或；
若，得；
若，得.
综上，的值共有6个.
故选：C
3．B
【分析】利用等差中项结合条件计算即可.
【详解】由题可知，得，，得，
所以的公差.
故选：B
4．C
【分析】根据求出与公差的关系即可判断选项AB；根据等差数列前项和的概念和计算公式可判断选项CD.21·cn·jy·com
【详解】A.设等差数列的公差为，
∵，∴，故，
由得，A错误.
B.由上分析得，，故，B错误；
C.由，得，，
∵，∴数列是递减数列，
且当时，，当时，， 故的最大值为，C正确.
D.，
由得，，即，解得或（舍），
∴满足的的最小值为，D错误.
故选：C.
5．A
【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论.
【详解】因为（，），
所以当，时，，
则，…，，，
以上个式子左右两边分别相乘得，
即，所以（，），
又，所以，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据可求得结果.
【详解】因为公比为的等比数列满足，，由题意可得，故.
故选：B.
7．A
【分析】设等比数列的公比为，依题意得到方程，求出的值，再求出，，即可求出.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得或，
当时，，，所以；
当时，，，所以；
综上可得.
故选：A
8．D
【分析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误.
【详解】依题意，，由，，得，
又，则，即，而，
因此数列为等比数列，，即，，AC错误；
对于B，，不是常数，数列不是等比数列，B错误；
对于D，，数列各项均为正，因此数列是递增数列，
，
，所以的最小正整数n的值为15，D正确.
故选：D
9．ABC
【分析】根据数列的通项公式及递推关系，结合相关函数的区间单调性依次判断各项的正误.
【详解】A：函数在上单调递减，在上单调递增，
由，且，
而，易知在上单调递增，符合；
B：函数在在上单调递减，在上单调递增，
由，且，
又，故在上单调递增，符合；
C：由，故在上单调递增，符合；
D：对于，当时在上单调递减，不符合.
故选：ABC
10．BC
【分析】 由等差数列的通项公式和前项和公式求出基本量，即可得到答案.
【详解】 设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC.
11．BC
【分析】赋值即可得数列的递推关系，再利用等比数列的通项公式和求和公式计算即可.
【详解】因为，（m，），
令，可得，
即是首项和公比均为的等比数列，故A错误，B正确；
对于C，由上面的分析，可得，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
12． n 78
【分析】找规律得到，并根据得到.
【详解】由已知可得，，，，，
所以递推公式可以写成．
所以．
故答案为：，78
13．
【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解.
【详解】因为是等差数列，
所以，又，
所以，
故答案为：.
14．13
【分析】先构造数列得出等比数列计算得出，再计算不等关系结合指数幂的运算求解即可求参
【详解】由，得，则．
因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
由，可得，所以，
即，又，，故满足的n的最小值为13.
故答案为：13.
15．，
【分析】利用累加求和可得答案.
【详解】因为，
所以．
所以
．
又也符合上式，所以，．
16．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据作差得到，再用累乘法计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证；
（3）参变分离可得对恒成立，令，利用作差法说明的单调性，即可求出，即可得解.
【详解】（1）因为，当时，
所以，
即，所以，
即，所以，，，，， ，
累乘可得，又，所以，
当时也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
；
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
所以时，当时，当时，
即，
所以，所以，即实数的取值范围为；
17．(1)证明见解析，
(2)第8项和第9项取得最大
【分析】（1）通过对的表达式进行变形，推导出与的关系，从而证明是等差数列，再根据等差数列通项公式求出的表达式，进而得到的通项公式.
（2）根据的通项公式求出的表达式，然后通过比较与、的大小关系借助函数单调性，来确定取得最大值时的值.21教育网
【详解】（1）由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为
（2）由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项最大，则，
可得，解得，所以数列第8项和第9项取得最大.
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）仿写作差后由等比数列的基本量法求出通项即可；
（2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；
（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可；
【详解】（1）因为，所以，
两式相减得（），即（），
当时，有，即，
又，所以.
综上，可知是首项，公比为2的等比数列，
故的通项公式为.
（2）（ⅰ）由（1）得，
则，
可得，
所以，
所以.
（ⅱ）对任意恒成立，
即，整理得恒成立.
令，则，
当时，，
当时，，
当时，，
所以以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用数学归纳法证明即可；
（2）根据对成立，令得：，
通过证明证明不等式；
（3）利用已知条件以及（2）的结论，结合放缩证明不等式，方法一：对，两边取对数得证明不等式；方法二：利用对成立，得，，构造数列，有，两边取对数证明不等式.21cnjy.com
【详解】（1）因为，，
所以，
（ⅰ）当时，，不等式成立．
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，
，
因为，，所以
这就是说，当时，不等式成立，
根据（ⅰ）（ⅱ）可知对所有成立．
（2），
由已知不等式对成立．
令得：；
（ⅰ）当时，原式化为，显然成立；
（ⅱ）当时，；
而
，
所以有
又因为，
所以
，
可得
综上：
（3）证法一：由递推公式及（2）的结论有
，
两边取对数并利用已知不等式得：
故．
上式从到求和可得：
又因为，所以，
即，故．
证法二：由数学归纳法易证对成立，
时，成立，
时，成立，
假设时，成立，
当时，由有，
又，
因为，所以，所以，
即，
所以时，，
所以对成立
所以，又，
故，．
令，则
取对数并利用已知不等式得：．
上式从2到n求和得：
因，故，．
故，，又显然，，
故对一切成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用数学归纳法，以及适当放缩证明不等式.
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