第六章平面向量及其应用章末检测卷（含解析）-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册

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第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与共线 B．与不共线
C．若，则 D．若，则是一个单位向量
2．（ ）
A． B． C． D．0
3．若在中，，且，，则的形状是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，且，则实数（ ）
A．－ B．3 C．0 D．
6．已知为四边形所在平面内的一点，且向量 满足等式 ，为的中点， ，与交于点，若 则 （ ）
A． B． C． D．
7．在中，设，则下列说法错误的是（ ）
A． B．边上的高是
C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．3
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B．的模长为0
C．若，则向量是单位向量
D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同
10．已知，把向量的起点移到同一个点，设，以为邻边构造平行四边形，则下列说法正确的是（ ）21cnjy.com
A． B．
C．在上的投影向量是 D．平行四边形的面积为
11．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
12．向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13．已知向量，，，是非零向量，且，，则的面积为 ．
14．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
四、解答题
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．设是不共线的两个非零向量.
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数的值.
(3)已知向量满足.求；
17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
18．在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
19．三角形中，分别是角的对边，已知点是AB的中点，点在线段上，且，线段CD与线段交，
(1)求角的大小；
(2)若，求的值；
(3)若点是三角形的重心，求的最小值.
《第六章平面向量及其应用章末检测卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册》参考答案21·cn·jy·com
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A B B D C BC ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.
【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；
根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；
故选：D.
2．A
【分析】根据向量的加减运算，即可得答案.
【详解】由题意得,
故选：A
3．D
【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解．
【详解】在中，，且，，
则，即，即AB⊥BC，，
则的形状是等腰直角三角形．
故选：D
4．A
【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角.
【详解】因为，均为单位向量，所以，
所以，
即，所以，
所以，
因为，
所以，
故选：A.
5．B
【分析】根据平面向量坐标运算和垂直的数量积要求求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：B.
6．B
【分析】由已知可得四边形为平行四边形，设，，利用平面向量基本定理即可求.
【详解】因为，
所以，即，
所以四边形为平行四边形，
如图：

设，则，
设，
所以
，
所以，解得，
所以，
故选：B
7．D
【分析】根据向量数量积公式、余弦定理、三角形面积公式、正弦定理以及三角形内切圆相关知识，结合已知条件，来逐一分析各个选项.21教育网
【详解】对于A，，解得，故A正确，
对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确；
对于C，外接圆的周长是，故C正确；
对于D，内切圆的面积是，故D不正确.
故选：D.
8．C
【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可；
【详解】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选：C.
9．BC
【分析】对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断.www.21-cn-jy.com
【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误.
对于B，的模长为0，B正确.
对于C，若，则向量是单位向量，C正确.
对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】运用向量的模、向量夹角的余弦值、投影向量以及向量构成图形面积的相关知识，通过向量的坐标运算来分别判断各个选项的正确性.21世纪教育网版权所有
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，在上的投影向量是，故C错误；
对于D，所求面积为，故D正确．
故选：ABD.
11．ABD
【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心.2·1·c·n·j·y
【详解】A选项，因为，所以，
所以，同理可得，
故点是的垂心，
故，故A正确；
B选项，取的中点，则，故，故⊥，
取的中点，则，故，故⊥，
故点P是的外心，故，B正确；
C选项，由正弦定理得，故，
故，
取的中点，则，
故点P在的中线上，重心在其上，故C错误；
D选项，
，
设的中点，，
所以，
，
所以，
故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
12．
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为．
故答案为：.
13．6
【分析】由已知可求得，进而得，，可求面积.
【详解】因为，，所以．由，，
得，解得，从而，，
故是直角三角形，为直角顶点，则该三角形的面积为．
故答案为：.
14．13.8
【分析】分别在两个直角三角形中，利用三角函数求得和,再求和即可.
【详解】根据题意得，在中，，,
在中，,,
.
故答案为：13.8
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程来求得.
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可；
（2）由向量共线的性质即可求得参数；
（3）利用已知可求得，由，可求模.
【详解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共点，
所以三点共线.
（2）由与共线，则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，实数的值是
（3）因为，所以，
所以，
所以.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知可得，结合三点共线可得，列方程组求参数即可；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示求解即可；
（3）根据平行四边形中的坐标表示列方程组求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在实数使得，即，
又因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
若，，则.
（3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，
设，则，由（2）得，
所以，解得，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积.
（2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值.
【详解】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得；
（2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值；
（3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，
因为，所以.
（2）如图，
由题意可得，
因为三点共线，故可设 ，
又因三点共线，故，
所以，故.
（3）因为
所以，
因为，所以，
于是，两边平方化简得：
，当且仅当时取等号，
所以，即.
所以的最小值为.
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