2025年九年级中考数学三轮冲刺练习反比例函数中的面积问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习反比例函数中的面积问题
1．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积．
2．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
3．如图，直线yx+b与反比例函数y的图象相交于点A，B，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
4．如图，点A（a，2）在反比例函数y的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y的解析式；
（3）点D为反比例函数y上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
5．如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA，tan∠AOC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b的解集．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
7．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m＝3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m＝5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
9．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A′．
（1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
10．已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
12．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交点A，B位于第二象限．已知A（﹣4，1），点B的纵坐标为4．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式式；
（2）依据图象，直接写出不等式的解集；
（3）设点P是y轴上任意一点，若△PAB的面积等于3，求点P的坐标．
13．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（a，1），B（﹣2，b）两点，与x轴相交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）若P（m，0）为x轴上的一动点，连接AP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．
15．如图，已知反比例函数与正方形ABCO交于点M，N（1，），连接ON，以点O为圆心，ON长为半径作四分之一圆，分别交x轴，y轴正半轴于点D，E．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：BM＝BN；
（3）如图所示，阴影部分面积和：S1+S2+S3＝　 　．
参考答案
1．【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
m＝1×3＝3，
所以反比例函数解析式为y．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
n＝﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2．
（2）由函数图象可知，
当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x+2得，
x＝﹣2，
所以点M的坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
2．【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式mx+n的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
3．【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y上，且A的纵坐标为6，
∴点A（2，6），
∵直线yx+b经过点A，
∴62+b，
∴b＝9；
（2）如图，设直线AB与x轴的交点为D，
设点C（a，0），
∵直线AB与x轴的交点为D，
∴点D（6，0），
由题意可得：，
∴，，
∴点B（4，3），
∵S△ACB＝S△ACD﹣S△BCD，
∴3CD×（6﹣3），
∴CD＝2，
∴点C（4，0）或（8，0）．
4．【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y的图象上，
∴2，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y得：2，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y的解析式为y；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，1），
而E在y轴上，
∴0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOEOE |xD|2，
S△AOEOE |xA|2，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
5．【解答】解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3，
∴x，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为yx﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
∵D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（，﹣3），
∴S△ODBOD xB2，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODB＝2，
由（1）知，直线AB的解析式为yx﹣2，
令y＝0，则x﹣2＝0，
∴x，
∴OC，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCPOC yPn，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y，
∵点P在双曲线上，
∴2，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；
（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b的解集为﹣2≤x＜0或x．
6．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，），
∴AE＝OF＝a，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥OF，
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴，
∴当k＝4时，，
即，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1；
（2）不改变．
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），
则AE＝a，OE，PH，
∵四边形AEGO是平行四边形，
∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，
∵∠EGO＝∠PGH，
∴∠EAO＝∠PGH，
又∵∠PHG＝∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴，
∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，
∴，
∴k＝0，
解得，
∵a，b异号，k＞0，
∴，
∴S△POEOE×（﹣b）（﹣b），
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．
7．【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9ab，
∵PM∥OC，
∴，
∴，
∴OC，同法可得OD，
∴S△COD OC DO 9．
解法二：连接OP．
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠COP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OC OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b6，
∴26，
∴（2）6，
∴3（2），
∴ab≤54﹣36，
∴S△AOBab≤27﹣18，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．
8．【解答】解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴y＝﹣x+m+1，
令x＝0，得到y＝m+1，∴D（0，m+1），
令y＝0，得到x＝m+1，∴C（m+1，0），
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°．
（2）设M（a，），
∵△OPM∽△OCP，
∴，
∴OP2＝OC OM，
当m＝3时，P（3，1），C（4，0），
OP2＝32+12＝10，OC＝4，OM，
∴，
∴10＝4，
∴4a4﹣25a2+36＝0，
（4a2﹣9）（a2﹣4）＝0，
∴a＝±，a＝±2，
∵1＜a＜3，
∴a或2，
当a时，M（，2），
PM，CP，
（舍弃），
当a＝2时，M（2，），PM，CP，
∴，成立，
∴M（2，）．
解法二：∵△OPM∽△OCP，
∴（）2，
∵S△OCP＝2，
∴S△OPM，
∴3×（），
解得，x＝2或（舍弃），
∴M（2，）．
（3）不存在．理由如下：
当m＝5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），
OP的解析式为：yx，OQ的解析式为y＝5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（，），F（x，x），
S＝S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
＝5 x x 4.1，
化简得到：x4﹣9x2+25＝0，
Δ＜0，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S＝S△OGH＜S△OAM＝2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S＝S△OTS＜S△OBM＝2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
9．【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1（x＞0）的图象上
∴k＝8
∴y1
∵a＝2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n
解得
∴y2＝x﹣2
②当y1＞y2＞0时，y1图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO
∵O为AA′中点
S△AOBS△ABA′＝8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC＝S△BOD
∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴
解得k＝6
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，）
把A′代入到y
∴n
∴A′D解析式为y
当x＝a时，点D纵坐标为
∴AD
∵AD＝AF，
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y1（x＞0）的图象上
10．【解答】解：（1）把A（4，2）代入y，得k＝4×2＝8．
∴反比例函数的解析式为y．
解方程组，得
或，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y＝﹣2x+10，
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴，
∴，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y＝mx
则有4m＝2，解得m，
∴直线AP的解析式为yx，
解方程组，得
或，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴．
∵，
∴．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），
∴C（﹣a，2a﹣10），CT＝a，BS＝b，
∴，即ba．
∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y的图象上，
∴a（﹣2a+10）＝b（﹣2b+10），
∴a（﹣2a+10）a（﹣2a+10）．
∵a≠0，
∴﹣2a+10（﹣2a+10），
解得：a＝3．
∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为y＝px+q，
则有，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x+2．
当x＝0时，y＝2，则点D（0，2），OD＝2，
∴S△COB＝S△ODC+S△ODB
OD CTOD BS
2×32×2＝5．
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△COB，
∴S△ABC＝2S△COB＝10．
11．【解答】解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y（x＞0）得：
k＝1×8＝8，y，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k，b＝﹣3，
∴直线AB的解析式为：yx﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），
则MNt+3，
∴△BMN的面积S（t+3）tt2t+4（t﹣3）2，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵0，
∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t．
12．【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m＝﹣4×1＝﹣4，
则反比例函数的表达式为：y，
当y＝4时，x＝﹣1，即点B（﹣1，4），
则y＝k（x+1）+4，
将点A的坐标代入上式得：1＝k（﹣4+1）+4，则k＝1，
即一次函数的表达式为：y＝x+5；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为﹣4＜x＜﹣1；
（3）当点P在AB下方时，
过点P作直线PH∥AB交x轴于点H，过点C作CN⊥PH于点N，
由点A、B的坐标得，AB＝3，
则△PAB的面积AB×CNCN＝3，
则CN，
由直线AB的表达式知，∠BCO＝45°，则∠HCN＝45°，
则CHCN＝2，
则直线PH的表达式为：y＝（x﹣2）+5＝x+3，
则点P（0，3）；
当点P在AB上方时，
同理可得，过点P和AB平行的直线的表达式为y＝x+7，
则点P（0，7），
综上，P（0，3）或（0，7）．
13．【解答】解：（1）∵B（2，﹣3）点在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6；
∴反比例函数解析式为y，
∵A（m，1）点在反比例函数图象上，
∴1，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，1），B（2，﹣3），
∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函数y＝ax+b的图象上，
则，解得：，
∴一次函数解析式为：yx﹣2；
（2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＜﹣6或0＜x＜2；
（3）由（1）可知C（0，﹣2），设点D的坐标为（m，m﹣2），则E（m，），
∴ED（m﹣2）m+2，
∴S△CDE（﹣m）×（m+2）（m+2）2+4，
当m＝﹣2时，S△CDE最大值为4，
∴E（﹣2，3）．
14．【解答】解：（1）∵函数的图象经过A（a，1），
∴，
解得：a＝4，
∴A（4，1），
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数表达式为：；
（2）∵函数的图象经过B（﹣2，b），
∴，
∴B（﹣2，﹣2），
∴由图可得，不等式的解集是：x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）如图：
在中，当y＝0时，得，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∵P（0，m），
∴PC＝|m﹣2|，
∵S△APC，A（4，1），
∴，
解得：m＝﹣3或7，
∴点P的坐标为（﹣3，0）或（7，0）．
15．【解答】解：（1）∵反比例函数 与正方形ABCO交于点M，，
∴将 代入 中，得：，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，四边形ABCO是正方形，
∴OA＝BC＝AB＝OC，
∴点M的横坐标为，
把代入中得，y＝1，
∴，
∴AM＝1，
∴，
∵，
∴CN＝1，
∴，
∴BM＝BN；
（3）连接OM，
在Rt△OCN中，∵N（1，），
∴OC，CN＝1，
∴tan∠CON，
∴∠CON＝30°，
同理，∠AOM＝30°，
∴∠MON＝60°，
∵ON2，
∴S1+S2＝S扇形DOE﹣S△CON﹣S△AOM11π，
S3＝S正方形ABCO﹣S扇形NOM﹣S△CON﹣S△AOM
113，
∴S1+S2+S3＝π33π﹣2，
故答案为：3π﹣2．
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