2025年九年级中考数学三轮冲刺练习三大函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的综合训练（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习三大函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的综合训练
1．若实数m、n满足m2＝4n+t，n2＝4m+t，且m≠n，则称在平面直角坐标系中的点M（m，n）为“素雅点”．
（1）下列各点中是“素雅点”的是 　 　．
A．（1，﹣4）
B．（﹣2，﹣2）
C．（﹣6，2）
D．（0，4）
（2）反比例函数的图象上是否存在“素雅点”？若存在，请求出“素雅点”；若不存在，请说明理由．
（3）如图，点A是抛物线y＝x2﹣3x上一动点，点B为“素雅点”．当线段AB最小时，求A、B两点坐标，并求线段AB的最小值．
2．定义：若一次函数y＝ax+b和反比例函数交于两点（x1，y1）和（x2，y2），满足x2＝ky1（x1＜x2），则称y＝ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“k属合成”函数．
（1）试判断一次函数y＝x﹣2与是否存在“k属合成”函数？若存在，求出k的值及“k属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数y1＝ax+b（b＞0）与反比例函数交于A，B两点，它们的“﹣a属合成”函数为y3，若点A在直线y＝﹣ax+5上，求y3的解析式；
（3）如图，若y＝ax+b与的“2属合成”函数的图象与x轴交于M，N两点（M在N点左侧），它的顶点为D（1，y0），P为第三象限的抛物线上一动点，NP与y轴交于点E，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线ME与射线FN交于点G，连接MP，若∠MGN＝2∠MPN，求点P的坐标．
3．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1 x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”．
（1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
（3）已知是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数图象上一点，且，当a＞0时，yp的最大值和最小值的差是3，求a的值．
4．新定义：如果实数m，n满足m﹣n＝﹣2时，则称P（m，n）为“立足点”，称Q（m﹣1，5﹣n）为“制高点”，例如，P（1，3）是“立足点”，Q（0，2）是“制高点”．
（1）求正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标；
（2）已知点D（x1，y1），E（x2，y2）是抛物线y＝ax2+（2b﹣1）x+3c+2上的“制高点”，若a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，求|x1﹣x2|的取值范围；
（3）若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当△MBC面积与△ABC的面积相等时点M的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，若函数C1：y＝ax+b（a≠0）和函数C2：y（c≠0）的图象有公共点，则称函数C3：y＝ax2+bx﹣c为C1和C2的“AI”函数．特别地，当C1和C2只有唯一的公共点时，称C3为C1和C2的“QAI”函数，唯一的公共点称为“Q点”．
（1）判断以下两个函数是否存在“AI”函数？存在的在括号内打“√”，不存在的打“×”；
①y＝x和y（ 　 　）；②y＝﹣x+2和y（ 　 　）；③y＝﹣x和y（ 　 　）．
（2）若函数C1：y＝ax+2和函数C2：y存在“QAl”函数，且“Q点”离原点的距离为2，求a的值；
（3）若a＞0，函数C1：y＝ax﹣4a和函数C2：y的“AI”函数C3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①求△ABC的外心M到x轴的距离的最小值；
②若P（t，t）为第一象限内一个动点，当∠APB的度数最大时，求P点的坐标．
6．在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）已知直线y＝x﹣2与双曲线相切，求m的值；
（2）已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线相切，且该直线交x、y轴分别于点A、B，求△AOB的面积；
（3）已知直线l1：y＝k1x+b1（k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2≠0）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的两条切线，且l1与l2的交点坐标P（n，2），试判断k1 k2是否为定值，并说明理由．
7．定义1：在平面直角坐标系中，点P（x，y）是平面内一点，我们称的值为点P的“2024芙蓉花”．如考虑点（1，4），因为，所以点（1，4）的“2024芙蓉花”为．
定义2：在平面直角坐标系中，图形G上所有点的“芙蓉花”中最大的值称为图形G的“2024最美芙蓉花”．
（1）已知点P在抛物线y＝﹣x2+x+2024的图象上，且P点的横坐标为﹣1，那么点P的“2024芙蓉花”是 　 　；该抛物线的“2024最美芙蓉花”是 　 　．
（2）已知抛物线，是否存在某个合适的m的值，使得该抛物线的“2024最美芙蓉花”是．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知：①点A（1，n）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，且点A的“2024芙蓉花”为；②二次函数y＝ax2+bx+c和二次函数y＝cx2+bx+a的“2024最美芙蓉花”相等；③AB是圆O的直径，点C为圆O上一定点（点C不与点A和点B重合）．以长度分别为|a|，|b|，|c|的三条线段刚好能构成一个三角形，且构成的三角形刚好和三角形ABC相似．求满足条件的a，b，c的值．
8．我们知道，平方具有非负性，若一个代数式能化成几个代数式的平方和，则这个代数式也会具有非负性．有时我们也可以借助函数图象，利用图象判断代数式的非负性．
（1）下列代数式具有非负性的有 　 　（填序号）；
①2x+1；②；③x2﹣4x+13；④x2+y2﹣2x+6y+11．
（2）已知：y1＝a1x+b1，y2＝a2x+b2，，试问y1 y2是否具有非负性？请说明理由；
（3）二次三项式ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），对任意的x不等式ax2+bx+c≥a恒成立．
①代数式ax2+bx+c 　 　非负性；（填“具有”或“不具有”）
②若3a+2b+c＝0，二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝c交于点P，Q，用线段PQ围成一个平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．
9．我们约定：在平面直角坐标系中，如果两个函数图象有且只有一个公共点，我们就称这两个函数互为“相依函数”，这个公共点称为“相值点”．
（1）试判断一次函数y＝﹣x+1与反比例函数是否为“相依函数”，并说明理由；
（2）若函数y1＝kx+b与函数y2互为“相依函数”，“相依点”为（a，a+1）且在第一象限，求函数y1的解析式；
（3）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ABC为直角三角形，且4OA＝OB，一次函数与二次函数y＝ax2+bx+c互为“相依函数”，点C为“相依点”，一次函数图象交x轴于点P，若△OPC的外心在反比例函数上，求二次函数解析式．
10．新定义：若实数m，n满足m﹣n＝1时，就称点P（m，n）为“芙蓉朴实点”．
（1）判断点M（1，2）、N（2，1）是不是“芙蓉朴实点”？
（2）若反比例函数y（k≠0）的图象上存在两个不同的“关蓉朴实点”A、B，且AB＝3，求反比例函数的解析式；
（3）已知抛物线yx2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5上存在唯一的“芙蓉朴实点”，且当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，求t值．
11．我们不妨称P（m，m+2）为“长梅点”，例如（0，2）就是“长梅点”．请根据约定回答下列问题．
（1）下列函数图象中存在“长梅点”的是 　 　；
①y＝x﹣2；②；③y＝x2+2x+3．
（2）在反比例函数的图象上存在三、、，满足（t，s）、（s，r）都是“长梅点”且，求a的取值范围；
（3）设Q是二次函数y＝x2图象上的“长梅点”，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝x2相交于点M、N（不妨设M在N的左边），如果始终保持MQ⊥NQ，那么这样的一次函数是否经过某个定点，如果存在这样的定点，请直接写出它的坐标；如果不存在这样的定点，请说明理由．
12．我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
13．新定义：如果实数m，n满足m﹣n＝﹣2时，则称P（m，n）为“基础点”，称Q（m﹣1，1﹣n）为“创新点”．例如，P（1，3）是“基础点”，O（0，﹣2）是“创新点”．
（1）求正比例函数y＝x图象上“创新点”的坐标；
（2）若点A是反比例函数y图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数y函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数y图象上的动点．求当△MBC面积与△ABC的面积相等时点M的坐标；
（3）已知点D（x1，y1），E（x2，y2）是抛物线y＝ax2+（2b﹣1）x+3c﹣2上的“创新点”，若a+b+c＝0，且a＞3b＞c，求|x1﹣x2|的取值范围．
14．我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”．
（1）一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的“共同体”函数是　 　，它的“共赢点”为　 　；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M、N，有A、B两个“共赢点”，且AB＝2MN，求a的值；
（3）若一次函数y＝mx+2n和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数m＞n＞t，m+n+t＝0．令L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．
15．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ 　 　）；②y＝3x﹣1（ 　 　）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
参考答案
1．【解答】解：（1）实数m、n满足m2＝4n+t，n2＝4m+t，且m≠n，
∴m2﹣4n＝n2﹣4m，
∴m+n＝﹣4，
A、∵1+（﹣4）＝﹣3≠﹣4，
∴（1，﹣4）不是“素雅点”，
故此选项不符合题意；
B、∵m≠n，﹣2＝﹣2，
∴（﹣2，﹣2）不是“素雅点”，
故此选项不符合题意；
C、∵﹣6+2＝﹣4，
∴（﹣6，2）是“素雅点”，
故此选项符合题意；
D、∵0+4＝4≠﹣4，
∴（0，4）不是“素雅点”，
故此选项不符合题意；
故答案为：C；
（2）反比例函数的图象上存在“素雅点”；理由如下：
由（1）知：m+n＝﹣4，
即“素雅点”是直线y＝﹣x﹣4上的点，
联立，
解得：，，
即存在“素雅点”坐标为（2，﹣6），（6，2）．
（3）∵点B是“素雅点”，
∴点B在直线y＝﹣x﹣4上，
设平行于y＝﹣x﹣4的直线为l：y＝﹣x+a，
当y＝﹣x+a与y＝x2﹣3x相切，线段AB值最小，
联立，则x2﹣2x﹣a＝0，
当Δ＝（﹣2）2+4a＝0时，a＝﹣1，
即，
解得，
∴A（1，﹣2），
又∵AB⊥l，
设直线AB解析式为y＝x+c，把A（1，﹣2）代入得：
﹣2＝1+c，
解得：c＝﹣3
∴直线AB解析式为y＝x﹣3，
联立得：，
解得：，
∴，
∴．
2．【解答】解：（1）联立y＝2x﹣2和y得：2x﹣2，
解得：x＝3或﹣1，
即两函数图象的交点为 （﹣1，﹣3）和（3，1），
∴k＝﹣1，
∴它们存在“﹣1属合成”函数，解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设两函数图象的交点横坐标为x1和x2（x1＜x2）；
∴的解为x1和x2，
∴．
y1，y2存在“﹣a属合成”函数为y2，
∴，即x1x2＝﹣4a，
∴，
∴a＝±1，
①当a＝1 时，
联立
解得或
∴A（1，4）或（4，1）．
把点A代入y1解得 b＝3或 b＝﹣3（舍），
∴，
②当a＝﹣1 时，
联立
解得或
∴或．
把点A代入y1，解得或b（舍去），
∴，
综上，或；
（3）∵y＝ax+b 与存在“2属合成”函数，
∴，解析式为．
∵的顶点为D（1，y0），
∴b＝1，
∴D（1，2），
如图，作垂线IH和IK，
∵∠IDF+∠HDE＝90°，∠HDE+∠DEH＝90°，
∴∠IDF＝∠DEH，
∵∠DIF＝∠EHD＝90°，DE＝DF，
∴△HDE≌△IFD（AAS）．
设 E（0，e），可求得F（3﹣e，1），
由可求得M（﹣1，0），N（3，0），
∴FK＝OM＝1，NK＝OE＝﹣e，
∴△MOE≌△FKN（SAS），
∴∠MEO＝∠FNK＝∠MNG，
∴∠G＝90°，
∵∠MGN＝2∠MPN，
∴∠MPN＝45°，
又MN＝4，
∴点P在以 Q（1，﹣2）为圆心，为半径的圆Q上，
设P（x，y），
解得或x＝1+2（舍去），
∴．
3．【解答】解：（1）（x﹣2）（2x+k）＝0，
解得x＝2或，
由题意得：2×2或2＝2×（），
解得：k＝﹣2或﹣8；
（2）联立两个函数表达式得：kx+b，设方程的解为m，2m，
则m+2m，m×2m，
整理得：b2＝27k；
（3）设的解为m，2m，
则m+2m，m×2m，
整理得：b＝2a+2，
则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，
则抛物线的对称轴为直线x1，
∵（﹣1）0，
即点P在对称轴的右侧，
∵a＞0，则y随x增大而增大，
当x时，ymax＝a（）2+（2a+2）（），
当x时，ymin＝a（）2+（2a+2）（），
∵yp的最大值和最小值的差是3，
即a（）2+（2a+2）（）a（）2+（2a+2）（）3，
整理得：（4a﹣2）+2a+2＝3，
解得：a．
4．【解答】解：（1）设正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标为（m﹣1，5﹣n），
根据题意得，
解得：，
∴正比例函数y＝x图象上“制高点”的坐标为（1，1）；
（2）∵a+b+c＝0，且a＞2b＞3c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），
∴ax2+（2b﹣1）x+3c+2＝﹣x+2，
∴ax2+2bx+3c＝0，
则x1+x2，x1x2，
则|x1﹣x2|，
由a＞2b＝﹣2（a+c），得，
由2b＝﹣2（a+c）＞3c，得，
∴，
设函数m＝4（）2﹣4（）+4＝4（）2+3，
当时，函数m的值随自变量的增大而减少，
当，m，
当，m＝19，
即|x1﹣x2|；
（3）设点A的坐标为（m，n），根据题意得，
整理得m2+2m﹣k＝0，
∵点A是反比例函数唯一“立足点”，
∴Δ＝22﹣4（﹣k）＝0，
解得k＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y，
当k＝﹣1时，m2+2m+1＝0，
解得m1＝m2＝﹣1，
∴n1，
∴点A的坐标为（﹣1，1），
设点B（m﹣1，5﹣n）是反比例函数y图象上的“制高点”，
根据题意得，
消去n并整理得m2﹣4m+2＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴点B，C的坐标分别为（1，1）、（1，1），
由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵△MBC面积与△ABC的面积相等，
∴MA∥BC，
可设直线MA的解析式为y＝﹣x+b1，
将A（1，1）代入得b＝0，
∴直线MA的解析式为y＝﹣x，
联立得x，
解得x＝1或x＝﹣1，
∴M（1，﹣1），
在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，
将直线y＝﹣x向上平移4个单位得到直线y＝﹣x+4，直线y＝﹣x+4与双曲线y交点为M，
此时也满足△MBC面积与△ABC的面积相等，
联立得x+4，
解得x＝2±，
则点M（2，2）或（2，2），
综上，点M的坐标为（1，﹣1）或（2，2）或（2，2）．
5．【解答】解：（1）①y＝x和y都经过第一、三象限，图象有公共点，
∴两个函数存在“AI”函数；
②，消去y得，﹣x+2，
∴x2﹣2x+1＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4＝0，即y＝﹣x+2和y有交点，
∴两个函数存在“AI”函数；
③y＝﹣x经过二四象限，y经过一三象限，两个函数图象没有公共点，
∴不存在“AI”函数，
故答案为：①√，②√，③×；
（2）联立，即ax+2，
∴ax2+2x﹣c＝0，
∵函数C1：y＝ax+2和函数C2：y存在“QAI”函数，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4ac＝0，
∴x1＝x2，
∴y＝a×（）+2＝1，
∴“Q点”为（，1），
∴“Q点”离原点的距离为2，
∴12＝22，
解得：a＝±；
（3）①依题意，联立，
∴C3：y＝ax2﹣4ax+3a，
令y＝0，则ax2﹣4ax+3a＝0，
∴x1＝l，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），则C3的对称轴为直线x＝2，
令x＝0，y＝3a，即C（0，3a），
∵M为△ABC的外心，则M在x＝2上，
设M（2，m），
∵MC＝MA，
∴22+（3a﹣m）2＝（2﹣1）2+m2，
∴m22（0）则a+b≥2），
∵△ABC的外心M到x轴的距离的最小值为，
②如图所示，设T（2，n）是△ABP的外心，过点T作TJ⊥AB于点J，则AJ＝BJ＝1，
∴∠APB∠ATB，∠ATJ∠ATB＝∠APB，
∴当∠ATJ取得最大值时，∠APB取得最大值，
又∵tan∠TAJ，即TJ取得最小值时，∠APB取得最大值，
∵TP＝TA，P（t，t），
∴（2﹣1）2+（n﹣1）2＝（2﹣1）2+n2，
∴nt﹣222，
当t时取得最小值，
即t（负值舍去）时，T．J取得最小值，即∠APB取得最大值，
∴P（，）．
6．【解答】解：（1）令x﹣2，整理得x2﹣2x﹣m＝0，
∵直线y＝x﹣2与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ＝4+4m＝0，故m＝﹣1．
（2）令kx+b，整理得：kx2+bx﹣6＝0，
∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ＝b2+24k＝0，即b2＝﹣24k，
又∵直线y＝kx+b（k≠0）与x、y轴分别交于点A（，0）、B（0，b），
∴S△AOB．
（3）∵l1与l2的交点坐标为P（n，2），把P点坐标分别代入l1与l2的解析式中，
得：k1n+b1＝2，k2n+b2＝2，
∴b1＝2﹣nk1，b2＝2﹣nk2，
令k2x+b2＝﹣x2﹣2x+3，整理得：x2+（2+k2）x﹣nk2﹣1＝0，
由题意可得，Δ＝（2+k2）2+4（nk2+1）＝0，
即4（n+1）k2+8＝0，①
同理可得4（n+1）k1+8＝0，②
由①②可知，k1和k2为方程x2+4（n+1）x+8＝0的两个根，
由韦达定理可得k1 k2＝8为定值．
7．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2﹣1+2024＝2022，
∴，
∵y﹣x＝﹣x2+2024＝﹣（x）2+2024，
∴当x＝1时，（y﹣x）最大＝2024，
∴该抛物线的“2024最美芙蓉花”是：，
故答案为：，；
（2）假设存在，
∵y﹣x＝mx2+（m﹣1）x，该抛物线的“2024最美芙蓉花”是，
∴，m＜0，
∴，
∴m；
（3）∵n＝a+b+c，点A的“2024芙蓉花”为，
∴a+b+c﹣1＝3a﹣b+2023，
∴﹣2a+2b+c＝2024①，
由题意得，
y﹣x＝ax2﹣（b﹣1）x+c，y﹣x＝cx2﹣（b﹣1）x+a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c和二次函数y＝cx2+bx+a的“2024最美芙蓉花”相等，
∴，
∴a＝c②，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵以长度分别为|a|，|b|，|c|的三条线段刚好能构成一个三角形，且构成的三角形刚好和三角形ABC相似，
∴以长度分别为|a|，|b|，|c|的三条线段刚好能构成一个这个直角三角形，
∴a2+c2＝b2③，
由①②③得，
a＝c，b．
8．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+13＝（x﹣2）2+9≥9＞0，故该代数式具有非负性；
∵x2+y2﹣2x+6y+11＝（x﹣1）2+（y+3）2≥0，故该代数式具有非负性；
故答案为：③④；
（2）y1 y2具有非负性，理由：
∵，
∴直线y1＝a1x+b1，y2＝a2x+b2与x轴交于同一点，
∴若a1、a2同号，则y1、y2具有非负性；
若a1、a2异号，则y1、y2不具有有非负性，
综上，y1 y2具有非负性；
（3）①具有，理由：
∵ax2+bx+c≥a恒成立，
则ax2+bx+c﹣a≥0，
则函数y＝ax2+bx+c﹣a在x轴或x轴上方，
故a＞0，
即ax2+bx+c≥a＞0，
故代数式ax2+bx+c具有非负性，
故答案为：具有；
②由①知a＞0，
∵3a+2b+c＝0，
∴c＝﹣3a﹣2b，
∵ax2+bx+c≥a恒成立，
则a，即4a（﹣3a﹣2b）﹣b2≥4a2，
化简得（4a+b）2≤0，
∴b＝﹣4a，c＝5a，
由得ax2﹣4ax＝0，
则P，Q两点坐标为（0，c），（4，c），
∴PQ＝4，
则用PQ围成一个平行四边形，要使其面积最大，则该平行四边形必为矩形，
设其一边长为m，则另一边长为（2﹣m），
则S＝m（2﹣m）＝﹣（m﹣1）2+1≤1，
故这个平行四边形面积的最大值为1．
9．【解答】解：（1）两个函数不是“相依函数”，理由：
联立两个函数表达式得：﹣x+1，
则Δ＝1﹣8≠0，
故两个函数不是“相依函数”；
（2）由题意得：a（a+1）＝6，则a＝﹣3（舍去）和2，
则“相依点”为（a，a+1）为（2，3），
则一次函数的表达式为：y＝k（x﹣2）+3，
联立两个函数表达式得：k（x﹣2）+3，
则Δ＝（3﹣2k）2+24k＝0，则k，
则y1的解析式为y1x+6；
（3）设点A（﹣t，0），则点B（4t，0），
∵△ABC为直角三角形，则CO2＝OA OB＝4t2，
则OC＝2t，即点C（0，2t），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+t）（x﹣4t），
将点C的坐标代入上式并解得：a，
则哦微信的表达式为：y（x+t）（x﹣4t），
设一次函数的表达式为：y＝kx+2t，
联立两个函数表达式得：（x+t）（x﹣4t）y＝kx+2t，即x2+（2kt﹣3t）x＝0，
则Δ＝（2kt﹣3t）2＝0，则k，
则一次函数表达式为：yx+2t，则点P（t，0），
则OP的中点为（t，0），OC的中点为（0，t），
则外心为（t，t），则t×t＝﹣6，则t＝2（负值已舍去），
则抛物线的表达式为：yx2x+4．
10．【解答】解：（1）∵M（1，2），且1﹣2＝﹣1≠1，
∴M（1，2）不是“芙蓉朴实点”；
∵N（2，1），且2﹣1＝1，
∴N（2，1）是“芙蓉朴实点”．
（2）∵“芙蓉朴实点”P（m，n），且m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝m﹣1＝x﹣1，
∴点P（m，m﹣1）在直线y＝x﹣1上，
如图，设直线y＝x﹣1与x轴、y轴分别交于点C、点D，
当x＝0时，y＝﹣1；当y＝0时，则x﹣1＝0，解得x＝1，
∴C（1，0），D（0，﹣1），
∵OC＝OD＝1，
作AE⊥x轴，BE⊥y轴，AE与BE交于点E，则∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝∠OCD＝45°，
∴BE＝AB cos45°AB3，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
由得x﹣1，
整理得x2﹣x﹣k＝0，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣k，
∴1+4k＝9，
解得k＝2，
∴y，
∴反比例函数的解析式为y．
（3）由得x2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5＝x﹣1，
整理得x2+（c﹣t）x+2s+2t﹣4＝0，
∵抛物线yx2+（c﹣t+1）x+2s+2t﹣5上存在唯一的“芙蓉朴实点”，
∴关于x的一元二次方程x2+（c﹣t）x+2s+2t﹣4＝0有两个相等的实数根，
∴（c﹣t）2﹣4（2s+2t﹣4）＝0，
整理得s＝（c﹣t）2+2﹣t，
∵s为c的二次函数，且当﹣4≤c≤5时，s的最小值为t+1，
∴当t＜﹣4时，则t+1＝（﹣4﹣t）2+2﹣t，此方程无解；
当﹣4≤t≤5时，则t+1＝2﹣t，解得t；
当t＞5时，则t+1＝（5﹣t）2+2﹣t，解得t1＝6，t2＝6（不符合题意，舍去），
综上所述，t的值为或6．
11．【解答】解：（1）根据“长梅点”的定义可知，“长梅点”所在直线为：y＝x+2，
①∵y＝x﹣2和y＝x+2斜率相同，
∴两直线平行，没有交点；
②联立两个解析式：
，
解得：x＝﹣3或1，
∴y上存在“长梅点”；
③联立两个解析式，
，
整理得：x2+x+1＝0，
∵Δ＝1﹣4×1＝﹣3＜0，
∴方程组无解，
∴y＝x2+2x+3不存在“长梅点”，
故答案为：②；
（2）∵（t，s）、（s，r）都是“长梅点”，
∴t+2＝s，s+2＝r，
∴r＝t+4，
过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，过C作CG⊥x轴于G，如图：
∴EF＝FG＝2，EG＝4，AE，BF，CG，
∴S△ABC＝S梯形ACGE﹣S梯形BCGF﹣S梯形ABFE4×（）2×（）2×（），
∴a，
∵1≤t≤16，1≤r≤16，
∴1≤t≤12，
∴15≤（t+2）（t+4）≤224，
∴a；
（3）不存在，
理由如下：
联立二次函数和“长梅点”所在直线：
，
解得：x＝2或﹣1，
∴Q（2，4）或（﹣1，1），
设M（x1，），N（x2，），
联立二次函数与直线y＝kx+b，
，
∴x2﹣kx﹣b＝0，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣b，
当Q取点（﹣1，1）时，
∵MQ⊥NQ，
∴MN2＝MQ2+NQ2，
即（）2+（x2﹣x1）2＝（1）2+（﹣1﹣x1）2+（1）2+（x2+1）2，
整理得：﹣22x1x2＝2x1+2x2﹣224，
∴﹣2b2+6b＝2k﹣2k2+4，
配方得：（b）2＝（k）2，
∴b＝k+1或2﹣k，
∴y＝kx+k+1或y＝kx+2﹣k，
∵y＝kx+k+1过点Q（﹣1，1），不符合题意，
∴y＝kx+2﹣k，
∴过定点（1，2），
当Q取点（2，4）时，
∵MN2＝MQ2+NQ2，
即（）2+（x2﹣x1）2＝（4）2+（2﹣x1）2+（4）2+（x2﹣2）2，
整理得：﹣218x1x2＝40﹣4（x1+x2）﹣8（x1+x2）2，
∴﹣2b2+18b＝40﹣4k﹣8k2，
配方得：（2k）2＝（b）2，
∴b＝2k+5或4﹣2k，
∴y＝kx+2k+5或y＝kx+4﹣2k，
∵y＝kx+4﹣2k过点Q，不符合题意，
∴y＝kx+2k+5，
∴一次函数y＝kx+b过定点（﹣2，5），
综上所述，不存在这样的定点．
12．【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下：
点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1，
当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
又∵“向光函数”为y＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴xB﹣xA＝xA′﹣xB′，
∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，
∴D（1，0），c＜0，
∴，
∴，
即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
又∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
13．【解答】解：（1）设正比例函数y＝x图象上“创新点”的坐标为（m﹣1，1﹣n），
根据题意得：，
解得：，
∴正比例函数y＝x图象上“创新点”的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）设点A的坐标为（m，n），
根据题意得：，
整理得：m2+2m﹣k＝0，
∵点A是反比例函数y图象上唯一“基础点”，
∴Δ＝22﹣4×（﹣k）＝0，
解得：k＝﹣1，
∴反比例函数的解析式为y，
当k＝﹣1时，m2+2m+1＝0，
解得：m1＝m2＝﹣1，
∴n1，
∴点A的坐标为（﹣1，1），
设点B（m﹣1，1﹣n）是反比例函数y图象上的“创新点”，
根据题意得：，
消去n并整理得：m2＝2，
解得：m1，m2，
∴n1＝2，n2＝2，
∴点B，C的坐标分别为B（1，﹣1），C（1，1），
设直线BC的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵△MBC面积与△ABC的面积相等，
∴MA∥BC，
可设直线MA的解析式为y＝﹣x+b1，
将A（﹣1，1）代入得b1＝0，
∴直线MA的解析式为y＝﹣x，
联立得，
解得x＝1或x＝﹣1，
∴M（1，﹣1）；
在y＝﹣x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
将直线y＝﹣x向下平移4个单位得到直线y＝﹣x﹣4，直线y＝﹣x﹣4与双曲线y交点为M，
此时也满足△MBC面积与△ABC的面积相等，
联立得，
解得x＝﹣2，
将x＝﹣2分别代入y＝﹣x﹣4中，
得y＝﹣2或﹣2，
∴M（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣2），
综上，点M的坐标为（1，﹣1）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，﹣2）；
（3）∵a+b+c＝0，且a＞3b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣（a+c），
∴ax2+（2b﹣1）x+3c﹣2＝﹣x﹣2（根据创新点的定义坐标满足：y＝﹣x﹣2），
∴ax2+2bx+3c＝0，
∴x1+x2，x1x2，
∴|x1﹣x2|，
∵a＞3b＝﹣3（a+c），
∴，
∵3b＝﹣3（a+c）＞c，
∴，
∴，
设函数m＝4（）24＝4（）2+3，
当时，函数m的值随自变量的增大而减少，
当时，m＝4×（）2+3，
当时，m＝4×（）2+3，
∴m，
∴|x1﹣x2|．
14．【解答】解：（1）根据题意，一次函数y＝﹣x+3和反比例函数中，p＝﹣1，q＝3，k＝﹣2，
∴一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的“共同体”函数是y＝x2+3x﹣4，
解方程组，
解得：，，
经检验，，都是方程组的解，
∴一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的交点为（1，2），（2，1），
即一次函数y＝﹣x+3和反比例函数的“共赢点”是（1，2），（2，1）；
故答案为：y＝﹣x2+3x﹣2；（1，2），（2，1）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点为M，N，
∴令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴，，
∴，
∵二次函数y＝ax2+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“共同体”函数，
∴由得，
∴ax2+bx+c＝0，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足：，，纵坐标满足yA+yB＝b，yAyB＝ac，
∴，
∵AB＝2MN，
∴，
∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴1+a2＝4，
∴；
（3）∵m+n+t＝0
∴t＝﹣m﹣n，
∵一次函数y＝mx+2n和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，
∴x1，x2是方程即mx2+2nx+t＝0的两根，
∴，，
∴
，
又∵m＞n＞t，m+n+t＝0，
∴．
∴，
即．
15．【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴2，
∴2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．
（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴4，
∴﹣22，
设t，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|
＝2
＝2，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
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