3.9弧长及扇形的面积同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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3.9弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，扇形OBA中，点C在弧AB上，连接BC，P为BC中点．若，，则点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．6
2．已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是　　
A．4π B．8π C．12π D．16π
3．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（　　）
A．90° B．120° C．180° D．135°
5．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（　　）
A． B． C． D．
6．用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．4
7．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是(　　)
A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
8．一个扇形的半径为60cm，圆心角为120°，用它做一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为
A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（ ）
A． B． C． D．
12．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一个圆锥形零件经过轴的剖面是一个等边三角形，若它的高为5cm，则它的全面积等于 ；
14．如图，将绕点A逆时针旋转得，已知，，那么图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm．
16．若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
17．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为 ．
三、解答题
18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
19．如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．
(1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;
(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立 请说明理由;
(3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．
20．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2)求证：AD平分∠BDO．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．

(1)外接圆的圆心的坐标是______；
(2)求该圆圆心到弦的距离；
(3)以所在直线为旋转轴，将旋转一周，求所得几何体的表面积．
22．如图,粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面周长为30cm,母线长为7cm,为了防雨,需要在它的顶部铺上油毡,所需油毡的面积至少是多少
23．在航海中，常用海里（单位：）作为路程的度量单位，把地球看作球体，近似等于赤道所在的圆中的圆心角所对的弧长，已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为约等于多少米（取3.14，结果取整数）？
24．上海外滩海关大钟时针长约为6米，从上午9时到当天下午6时，时针的针尖走过的路程是多少米？（取π=3.14)
《3.9弧长及扇形的面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B B C C B B
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】连接OC、OP，易得∠OPB=90°，点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，求即可．
【详解】连接OC、OP，
∵OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形，
∵P为BC中点，
∴OP⊥BC（三线合一），
即∠OPB=90°，
∴点P是在以OB的中点D为圆心，BD为半径的圆上运动，如图所示，
当点C运动到点A时，点P到达位置，
点P所经过的路径长为，
连接，∵D为OB中点，为AB中点，
∴∥OA，
∴=，BD=OA=3，
∴，
即点P所经过的路径长为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆的所在位置，以及等腰三角形的性质、中位线的性质、弧长公式，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．C
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，再根据扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：该扇形的面积．
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长
3．B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
4．C
【分析】根据弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．
【详解】解：由题意得，2π＝，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是180°．
故选C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．
5．B
【分析】根据题意直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意得：，
解得r=2cm，
故这个圆锥的高为：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的性质并正确得出圆锥的半径是解题关键．
6．B
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为，
根据题意得，
解得，
所以这个圆锥的底面圆半径为1．
故选：B
7．C
【详解】∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，
∴母线长为5cm，
∴其表面积=π×4×5+42×π+8π×6=84πcm2，
故选C．
8．C
【详解】试题分析：因为扇形的半径为60cm，圆心角为120°，所以扇形的弧长为，而扇形的弧长即为圆锥的底面周长，所以圆锥的底面半径为（cm）
考点：扇形和圆锥的转换关系
点评：扇形的弧长公式为，圆锥底面半径为
9．B
【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：，解得，
故选：B
【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键．
10．B
【分析】根据三视图得到此几何体为圆锥，几何体的表面积=侧面积+底面面积，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，求侧面积扇形面积=，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，底面利用圆的面积求解即可．
【详解】解：该几何体的表面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥表面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图的识别．
11．D
【分析】根据题意可知：B点的运动路径是以A点为圆心，长为半径，风车转动的圆弧，计算即可．
【详解】解：，风车转动，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：．
12．B
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长，
∴圆锥的底面半径为，
∴这个圆锥形筒的高为．
故选：B．
13．75πcm2
【分析】全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【详解】圆锥的轴的剖面是一个等边三角形，它的高为cm，
则等边三角形的边长为10 cm，则底面半径=5cm，底面周长=10πcm，
底面面积=25πcm2,侧面面积=50πcm2,
∴圆锥的全面积=25π+50π=75πcm2.
故答案为75πcm2.
【点睛】圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.
14．
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得，
∴S△ABC= S△ADE，
∴阴影部分的面积=扇形DAB的面积＋S△ADE －扇形EAC的面积－S△ABC
=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，根据旋转的性质推出：阴影部分的面积=扇形DAB的面积－扇形EAC的面积是解题关键．
15．6
【分析】圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=π×母线×底面半径.
【详解】解：设圆锥的底面半径为R，由题意得
π×10R=60π，
解得R=6
则这个圆锥的底面半径是6cm.
【点睛】本题是圆锥的侧面积公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
16．240
【分析】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
【详解】圆锥侧面展开图的弧长是，
设圆心角的度数是，则，
解得，
故答案为：．
17．．
【分析】根据点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点运动路径所对的圆心角是，连接，取的中点，连接，，根据在和中，点是斜边的中点，可证得点，，，四点均在同一个圆，即上，过点作，垂足为点，由垂径定理，，，可求得，再根据点和点重合，得到点运动路径所对的圆心角是，根据弧长公式可求解．
【详解】解：点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
点运动路径所对的圆心角是，
如图，连接，取的中点，连接，，
在和中，点是斜边的中点，
，
根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，
又，，
，，
过点作，垂足为点，
由垂径定理得，，
在中，，，则，
，
∵是的外接圆的圆心，
即：点和点重合，如图2
，
点是以点为圆心为半径，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动的路径长为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先根据圆的性质可得，再根据三角形的中位线定理即可得证；
（2）如图（见解析），先根据垂径定理、圆周角定理可得，从而可得，再根据直角三角形的性质、三角形的面积公式可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据图中阴影部分的面积等于扇形OAD面积减去面积即可得．
【详解】（1）∵AB是的直径，
∴，即点O是AB的中点，
∵，
∴是的中位线，
点E是AD的中点，
∴；
（2）如图，连接OD，
∵AB是的直径，，
，，
∵，
，即，
又是的半径，
，
，
，，
在中，，
OD是的斜边AB上的中线，
，
又，
，
则图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键．
19．(1)详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）＋－．
【分析】（1）PN 与⊙O 相切．要证明ON⊥ PN即可，连接ON，PM＝PN，所以∠PNM＝∠PMN，∠AMO＝∠PMN，AB⊥CD,所以∠PMN+∠MAO=90°，又因∠MAO=∠MNO,所以∠PNM+∠MNO=90°，所以PN 与⊙O 相切．
（2）成立，进行等量代换，∠MAO+∠OMA=90°，因∠OMA=∠PNM，∠MAO=∠ONA,所以∠PNM+∠ONA=90°，所以∠ONP=90°；
（3）阴影部分的面积可通过S △AOC+S扇形AOC-S△ AON求得．
【详解】 (1)PN 与⊙O 相切．
证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN．
又∵∠AMO＝∠PMN，
∴∠PNM＝∠AMO．
∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，
即PN 与⊙O 相切．
(2)成立．理由如下：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．
∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．
在Rt△AOM中,∠OMA＋∠OAM＝90°．
∴∠PNM＋∠ONA＝90°,
∴∠PNO＝180°－90°＝90°．
即PN 与⊙O 相切．
(3)连接ON，由(2)可知∠ONP＝90°．
∵∠AMO＝15°，PM＝PN，
∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，
∴∠PON＝60°,∠AON＝30°．
过点N 作NE⊥OD，垂足为点E．则OE＝．
∴NE＝．
∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝OC·OA＋－CO·NE
＝＋－
∴图中阴影部分的面积为＋－
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
【详解】（1）解：连接OA，

∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别作的垂直平分线，即可解答；
（2）用中点公式求得的中点，再利用勾股定理即可解答；
（3）旋转后的几何体为半径为2，高为6的圆锥，减去半径为2，高为2的圆锥，据此求出表面积即可．
【详解】（1）解：如图，外接圆的圆心的坐标是，

故答案为：；
（2）解：根据中点公式，可得的中点，
（3）解：旋转后的几何体为半径为2，高为6的圆锥，减去半径为2，高为2的圆锥，
则他们的母线长为，，
所得表面积为．
【点睛】本题考查了外接圆、两点之间的距离公式、圆锥表面积公式，勾股定理，正确得到旋转后的图形是解题的关键．
22．112cm2.
【分析】根据圆锥的侧面积S=LR==,公式求即可.
【详解】解：∵圆锥的底面周长为30cm,母线长为7cm,
∴圆锥的侧面积为：
答：所需油毡的面积至少是105cm2.
23．ln mile约等于1852m．
【分析】先把1分化为度，再根据弧长公式得到1n mile的长度，然后进行近似计算即可．
【详解】解：∵1’＝（）°，
∴赤道所在的圆中的圆心角所对的弧长l＝＝≈1.8520（km）＝1852m，
∴ln mile约等于1852m
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：熟记弧长公式是解题的关键．
24．28.26m．
【分析】先计算从上午9时到下午6时时针走过的圆心角度数，再由弧长公式求得圆弧的长．
【详解】钟时针长为半径，从上午9时到当天下午6时指针走过270度．
所以时针的针尖走过的路程是28．26m．
【点睛】本题考查圆心角、弧长公式等知识，是重要考点，熟记公式、掌握相关知识是解题关键．