3.3垂径定理同步练习 北师大版数学九年级下册

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3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，直径，垂足为M．若，则的半径为（ ）
A．0.2 B．2.6 C．2.4 D．4
3．如图，在中，弦的长为16cm，若圆心O到的距离为6cm，则的半径为（ ）cm．
A．4 B．6 C．8 D．10
4．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的弦垂直于，点为垂足，连接．若，，则的值是（　　）

A． B． C． D．
6．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
7．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（　　）
A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm
9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是
A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm
10．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为( )
A．22 B．24 C． D．
12．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
二、填空题
13．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．
14．如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO= cm．
15．的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为 ．
16．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺寸），则这块圆柱形木材的直径是 寸．

17．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2．
三、解答题
18．如图，已知是的直径，弦于点，点在上，.
（1）判断、的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）若恰好经过圆心，求的度数.
19．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．
20．如图，以的顶点O为圆心的交于点C、D，且，与相等吗？为什么？
21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为 ；
（2）连接AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）；
22．已知三角形三条中线相交于一点，如图，内接于，，是弧的中点．请分别在下图中使用无刻度的直尺画图．（不用写具体做法）

(1)在图①中，画出的边上的中线，若已知为中点，则和的位置关系是 ，理由是 ；
(2)在图②中，画出的边上的中线．
23．如图 (1)所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．
(1)求证阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的；
(2)如图 (2)所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的．
24．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
《3.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A A B B C B D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作于，连接，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
2．B
【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，根据垂径定理求出CM，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OC=R，OM=5-R，
∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD=2，
∴CM=DM=1，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
R2=（5-R）2+1 ，
解得R=2.6．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．
3．D
【分析】如图所示，连接，由垂径定理得到，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵圆心O到的距离为6cm，
∴，即，
∴，
∴，
∴的半径为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
4．A
【分析】设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，结合题意可解得，
，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接，
由题意可知是矩形，．
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理解三角形和垂径定理；掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
5．A
【分析】如图所示，过点作于点，于点，连接，根据垂径定理可求出的值，再证，可得，根据正方形的判定可得四边形为正方形，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，连接，
∴根据垂径定理得，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，是正方形的对角线，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
6．B
【分析】连接、，根据题意可得，，再根据垂径定理得到，设，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．
【详解】解：连接、，交于点H，
由题可得，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．
7．B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
8．C
【分析】连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论．
【详解】
解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，
∵OD⊥AB，
∴在Rt△OAD中，AD===4mm，
∴AB=2AD=8mm．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．B
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【详解】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OBC中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝ ＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．
故选B．
【点睛】本题垂考查径定理的应用，解题的关键是根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程．
10．D
【分析】根据垂径定理得AB=2BE，∠OEB=90°，由勾股定理得BE=4，进而即可求解．
【详解】∵CE＝２，DE＝８，
∴CD＝１０，
∴OB=OC=5，
∴OE=OC-CE=3，∵CD⊥AB，
∴∠OEB=90°，AB=2BE，
∴BE==4，
∴AB=8；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
11．B
【详解】解：对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,
过点作于点,则有,
点,
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示
根据垂径定理及勾股定理可得,
的最小值为
故选：B
12．A
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，交圆O于点E，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
，
∴ME=OE-OM=100-60=40cm．
故选：A．
考点：(1)、垂径定理的应用；(2)、勾股定理．
13．48
【分析】根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC．
∵∠A=42°，
∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
14．5
【分析】如图所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长．
【详解】如图所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D为BC的中点，
在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=，
∴BD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
在Rt△BDO中，OB=，BD=3，
根据勾股定理得：OD==1，
则AO=AD+OD=4+1=5；
故答案为5．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理等知识，这道题用到的知识点有解直角三角形，等腰三角形的性质，垂径定理及勾股定理， 分类讨论是解题的关键．
15．或
【分析】分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
16．26
【分析】线段垂直且平分线段，在中，的长为寸．
【详解】解：1尺寸．
根据题意可得（寸）．
设圆的半径为寸，
，
，
这块圆柱形木材的直径是：（寸）．
故答案为：26．
【点睛】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理和利用勾股定理列方程．
17．108
【分析】过点A作于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求.
【详解】如图，过点A作于点M，连接OC，
AB=AC且BC=12 cm．
BM=CM=BC=6 cm．
∵圆的半径等于10 cm．
cm．
cm．
cm．
cm2．
故答案为108
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.
18．（1）；（2）16；（3）30°
【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
【详解】（1）BC∥MD．理由如下：
∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；
（2）连接OC．
∵AE=16，BE=4，∴OB==10，∴OE=10﹣4=6．
∵CD⊥AB，∴CE=CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；
（3）如图2．
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D．
∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
19．(1)见解析
(2)OD＜OE
【分析】（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，AE＝AC，且∠ADO＝∠AEO＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以AD＝AE，于是可判断四边形ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝AB，OD＝AE＝AC，又AB＞AC，即可得出OE和OD的大小关系．
【详解】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝AB，AE＝EC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
（2）解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴OE ＝AB，OD＝AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．
20．相等，理由见解析
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出垂直于弦的半径．过O作于E，则OE满足垂径定理得到，然后利用线段的垂直平分线的性质即可得到．
【详解】解：．
理由如下：
如图，过O作于E，
∵是的弦，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)、图形见解析；D(2，－2)；(2)、2
【分析】(1)、分别作AB和BC的中垂线，从而得出点D的坐标；(2)、过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，根据Rt△ADE的勾股定理求出半径的长度.
【详解】(1)如图所示，D（2，-2）
(2)、如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE=4，DE=2，
则r= ，
所以⊙D的半径为2.
22．(1)图见解析，垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦
(2)见解析
【分析】（1）连接交与点，连接，即为的边上的中线，
（2）连接并延长交于点，交于点，连接并延长交于点，即为的边上的中线．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
，
连接，
是弧的中点，
，
，，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
为的边上的中线，
若已知为中点，则和的位置关系是垂直，理由是平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，
故答案为：垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦；
（2）解：如图，即为所作，

连接，
在和中，
，
，
，
，
，
为中边上的中线，
为的边上的中线，且、交于点，
为的边上的中线．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质、三角形中线的知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：(1)本题要依靠辅助线的帮助．连接OA，OC，证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得 S△OAC=SΔABC ，易证 SOFCG=SΔABC ．
(2)本题有多种解法．连接OA，OB和OC，证明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可.
解：(1)连接OA，OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，S四边形OFCG＝2S△OFC＝S△OAC．∵S△OAC＝S△ABC，∴S四边形OFCG＝S△ABC．
(2)证法1：如图 (1)所示，连接OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2．不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF，∴S四边形OFCG＝S△AOC＝S△ABC．证法2：如图 (2)所示，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，作DH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H，K．在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，∴∠HOK＝360°－90°－90°－60°＝120°，即∠1＋∠2＝120°．又∵∠GOF＝∠2＋∠3＝120°∴∠1＝∠3．∵AC＝BC，∴OH＝OK．又∠OHF＝∠OKG＝90°．∴△OFH≌△OGK，∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝S△ABC．
点睛：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，认真观察图形，等边三角形的外接圆的圆心即为等边三角形的中心，图中的角的度数，线段间的关系要熟练掌握.
24．．
【分析】利用勾股定理和垂径定理解答．
【详解】解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，注意数形结合思想与方程思想的应用．