3.4圆周角和圆心角的关系同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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3.4圆周角和圆心角的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，点A在半圆上，边AB与半圆相交于点D，边OB与半圆相交于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°，70°，150°，则∠B的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（　　）
A． B．3 C．2 D．4
3．如图，锐角的顶点均在上，，则的度数为
A． B． C． D．
4．如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(　　)
A．12 B．10 C．14 D．15
8．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三等分点，，的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆； ②优弧一定大于劣弧；③等弧所对的圆周角相等； ④平分弦的直径垂直于弦；其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，，C是⊙O上不与点A，B重合的点，则等于（ ）
A． B． C．或 D．不确定
12．如图，内接于，于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，四边形内接于，，，，则的值为 ．
14．如图，线段AB是的直径，弦，垂足为H．点M是上任意一点，，则的值为 ．
15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是 的中点，则∠DAC的度数是 ．
16．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧 ;所对的弦 , 所对弦的弦心距 ．
17．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝
三、解答题
18．如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小．
19．如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4 cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
20．如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，则的长　　．
21．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，求的半径及的长．

22．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．
（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；
（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．
23．如图，D，E分别是半径，的中点，，和的大小有什么关系？为什么？
24．如图，的直径的长为，弦的长为，的平分线交于点．
求的长；
求弦的长．
《3.4圆周角和圆心角的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B C D B B C B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】连结OD，如图，根据题意得∠DOC=30°，∠AOD=80°，由于OD=OA，则∠ADO=50°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，得出∠B=50°-30°=20°即可．
【详解】解：连结OD，如图
则∠DOC=70°-40°=30°，∠AOD=150°-70°=80°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=50°，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
∴∠B=50°-30°=20°．
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；由等腰三角形的性质得出∠ADO=50°是解题的关键．
2．C
【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．
【详解】解：设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°，，
∴∠C=∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC cos30°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，也考查了解直角三角形．题目难度不大．
3．A
【分析】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半；
先根据圆的基本性质求得的度数，再根据圆周角定理求解即可
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴
故选A
4．B
【详解】试题解析：∵∠AOC=50°，
∴∠C=∠DOB=∠AOC=25°．
故选B．
【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．C
【详解】试题分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，均等于所对圆心角的一半.
∵
∴=
故选C.
考点：圆周角定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成.
6．D
【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，
∵，是的中点，
∴∠COE=45°，
∵，，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE=，
∴BE=OB－OE=，
∵OA=OB，，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED=，
∴CD=CE－DE=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
7．B
【详解】如图，连接EF，因为∠EOF=90°，所以EF是直径，
由勾股定理得，EF=10.
故选B.
8．B
【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，再由圆周角定理得出的度数即可．
【详解】∵B、C分别是劣弧的三等分点，，
∴，
∴（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．C
【分析】本题考查的是圆周角定理，熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】根据确定圆的条件，弧的概念，圆周角定理，垂径定理，逐项分析判断，从而可以解答本题．
【详解】解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误；
不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误；
等弧所对的圆周角相等，故命题③正确；
平分非直径的弦的直径垂直于弦，故命题④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题和定理，解答本题的关键掌握确定圆的条件，弧的概念，圆周角定理，垂径定理．
11．C
【分析】分两种情况讨论，①当在劣弧上，②当在优弧上，分别根据圆周角定理进行求解即可
【详解】①如图，当在劣弧上
②如图，当在优弧上，
综上所述，或者
故选C
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
12．A
【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．
【详解】连接OB，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠OBC==40°．
故选A．
【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．5
【分析】如图，连接证明为直径，则三点共线，再证明结合从而可得答案.
【详解】解：如图，连接
为直径，则三点共线，
，，
故答案为：5
【点睛】本题考查的是的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键.
14．/0.6
【分析】因为线段AB是的直径，弦，故，在中，利用勾股定理求出OC的长，求出，根据，得到，故可得．
【详解】解：连接OC，OD，
∵线段AB是的直径，弦，
∴，
∴在中，，，设OC为x，
由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理与同弧所对的圆周角与圆心角的关系，相同大小的角的三角函数值相同，是解答本题的关键．
15．35°．
【详解】试题解析：连接OC，OD，如图所示：
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都为，∠BAC=20°，
∴∠BOC=2∠BAC=40°，
∴∠AOC=140°，
又∵，
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=70°，
∵∠DAC与∠DOC所对的弧都为，
∴∠DAC=∠COD=35°．
考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．
16． 越长 越长 越短
【分析】根据圆心角定理解答即可.
【详解】在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．
故答案为越长；越长；越短.
【点睛】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17．54°
【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解．
【详解】解：∵CD是⊙O的直径，
∴OD=OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵AB=OD，
∴AB=OB，
∴∠AOB=∠A，
∵∠A＝18°，
∴∠AOB=18°，
∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，
∴∠BOE=108°，
∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°．
故答案为：54°
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
18．2.
【详解】试题分析：由∠BAC=45°可得∠BOC=90°，由OB=OC可求出∠OCB=45°，已知BC的长度，利用锐角三角函数不难求出OB长度.
试题解析：
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=45°，
∵BC=2，
∴sin45°===,
∴OB=2．
即⊙O的半径为2．
点睛：熟练运用圆周角定理.
19．（1）证明见解析；（2）2cm
【详解】试题分析：(1)、根据直径所对的圆周角为直角得出∠C=90°，根据平行线的性质得出垂直；(2)、根据平行线的性质以及点O为中点得出OD为△ABC的中位线，从而根据中位线的性质得出OD的长度．
试题解析：(1)、证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90°，∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°， ∴AC⊥OD；
(2)、解：∵OD∥BC， 又∵O是AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×4=2(cm)．
点睛：本题主要考查的就是圆周角的逆定理，三角形中位线的性质以及平行线的性质问题，属于简单题型，在解决这个问题的时候只要这几个性质明了，就会很快得出答案．在解决圆的问题的时候，我们很多时候会转化为三角形的题目来进行解得，直径和圆上任意一点可以得到直角三角形，垂径定理可以得到直角三角形，两条半径可以得到等腰三角形，所以解决圆的问题时候我们需要多思考三角形的问题．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，得到，结合求得，然后利用得到，从而得到，再利用得到，从而，最后得证结果；
（2）根据三角形的中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质得到的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
是的中位线，
，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线．
21．半径为5，，
【分析】由垂径定理得到，点C是的中点，再求得，连接，由是直径得到，得到是的中位线，则，在中，由勾股定理即可求得答案．
【详解】解：，，
，点C是的中点，
设的半径，
，
在中，，
∴，
解得：，
连接，如图，

，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
22．（1）∠BOD＝2α+2β；（2）AC＝；（3）OC＝．
【分析】（1）作辅助线OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可确定∠DOB的值；
（2）分析△ACD中只有∠D可能等于30°，得出∠D的对应角为∠B，根据相垂径定理可得出AC的长；
（3）先根据比例中项得出a和b的关系式，再证明△ACD∽△OCA，再得出AD和AC的关系式，两式联立即可求出AC、AD，从而求出OC．
【详解】解：（1）连接AO，如图：
∵OA＝OD，OA＝OB，∠B＝α，∠ADC＝β，
∴∠OAD＝∠ADC＝α，∠OAB＝∠B＝β，
∴∠BOD＝2∠DAB＝2（∠OAD+∠OAB）＝2α+2β；
（2）∵点C不与A、B重合，
∴∠DAC＞30°，∠ACD＞30°，
∵△ACD∽△OCB，
∴∠D＝∠B＝α＝30°，
由（1）知∠DOB＝2（30°+30°）＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠OCB＝90°，
根据垂径定理知C是AB的中点，
∴AC＝BC＝OB cos30°＝；
（3）∵α＝β，
∴∠ADO=∠ABO，
∵OA=OD=OB，
∴∠ADO=∠OAD=∠ABO=∠OAB，
∴△ADO≌△ABO，
∵OA是∠DAC的角平分线，
设AD＝a，AC=b，AD、AC边上的高为h，
则：，，，
又∵S2是S1和S3的比例中项，
∴，即，
化简得a2﹣b2＝ab①，
∵α＝β，
∴∠DOB＝4α，
∴∠DCB＝3α，
∴∠AOC＝∠DAC＝2α，
∴△ACO～△DCA，
∴，
∴，
整理得：，a2b＝a+b②，
联立①②得：
，
∴OC＝．
【点睛】本题主要考查圆的知识的综合应用，关键是要熟练掌握与圆有关性质，包括垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，第二问关键要考虑到只有∠D可以等于30°，这样就能找到对应的边，当出现多个未知数时，要考虑用方程组的思想解决．
23．，理由见解析．
【分析】应该是相等的关系，连接，只要证明和全等即可．
【详解】解：结论：．
理由：连接，
、分别是、的中点，，
，
又
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）由圆周角定理可知△ABC为直角三角形，利用勾股定理可求得BC；
（2）由条件可知D为的中点，则可知AD=BD，利用勾股定理可求得BD的长．
试题解析：解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC===5；
（2）如图，连接BD，同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5．
点睛：本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．