3.5确定圆的条件同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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3.5确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=，则弦AC的长为（　　）
A．3 B． C． D．
2．下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
3．三角形的外心是（ ）．
A．各内角的平分线的交点
B．各边中线的交点
C．各边垂线的交点
D．各边垂直平分线的交点
4．下列叙述正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等
C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等
5．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为（　　）
A．：2π B．：4π C．：π D．2：π
7．下列说法错误的是（ ）
A．直径是弦 B．最长的弦是直径
C．垂直于弦的直径平分弦 D．经过三点可以确定一个圆
8．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
9．已知的面积为，则其内接正三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．下列命题是真命题的是( )
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的弧是等弧 D．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
11．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
12．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　）
A．三角形内 B．三角形外 C．斜边的中点 D．不能确定
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心的坐标为 ．
14．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ．
15．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °．
16．如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为 ．
17．已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写序号）
三、解答题
18．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在坐标系中的位置如图所示．

(1)作出绕原点O逆时针方向旋转90°后的；
(2)作出的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线．
(3)请直接写出的外接圆圆心坐标为 ．
19．如图，是直角三角形，．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的外接圆；
②以线段为一边，在的右侧作等边三角形；
③连接，交于点，连接；
(2)在（1）中所作的图中，若，，则线段的长为______．
20．仅用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）
　　
（1）在图1中，锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D. 请画出△ABC的角平分线AM；
（2）在图2中，点C在半圆内，请作出△ABC中AB边上的高．
21．如图，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画出示意图，并说明理由．
22．已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ；
(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积．
23．如图，已知等边△ABC．
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；
（2）若AB＝2，求△ABC的外接圆半径R．
24．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上．
《3.5确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B A D A C D
题号 11 12
答案 D C
1．A
【详解】延长AO交圆于点D，连接CD，
由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B
∴sinD=sinB=，
Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，
∴AC=AD sinD=3．
故选A．
2．C
【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．
【详解】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．
3．D
【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选D．
4．C
【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质，圆周角定理的推论，解答关键是熟练掌握相关性质或定理．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意；
C、相等的弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意；
D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解．
【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，
由图得点D的坐标为．
故该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：B．
6．A
【分析】根据直角三角形的外心在斜边的中点，若直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径，则这条直角边是斜边的一半．设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是，所以直角三角形的面积是，外接圆的面积是π，则比值是．
【详解】解：设该直角边是1，则斜边是2，另一条直角边是，
∴直角三角形的面积是，
外接圆的半径为1，面积是，
∴这个直角三角形的面积与其外接圆的面积的比为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据直角三角形的性质进行计算．
7．D
【详解】A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，
B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，
C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，
D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，
故选D．
8．A
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，
过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、作于点D，作直径，连接，
在中，，
在中，，
∴，
即,
解得，
由勾股定理得，
，
∵为圆的直径，
∴，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
则外接圆半径，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．C
【分析】由圆内接正三角形的性质可知，正三角形两条高的交点即为圆心，利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理解直角三角形，求出正三角形的边和高，即可求出面积．
【详解】解：如图，是的内接正三角形，作，，则和的交点即为点O，

设，则，
解得，
是正三角形，
，，
，
，
，
，，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查圆和等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握正三角形高线（中线、角平分线）的交点即为外接圆的圆心．
10．D
【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆；平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；根据能够完全重合的弧是等弧和旋转角的定义可得答案．
【详解】解：A.任意三点确定一个圆，是假命题；
B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，是假命题；
C.长度相等的弧是等弧，是假命题；
D.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了命题与定理以及圆的相关知识．熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键．
11．D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠PA，于是得到结论．
【详解】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
12．C
【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．
【详解】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，
∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
13．
【分析】根据题意，先求出AC、AB、BC的长度，得出E，D的坐标，则点M是AC与BC的垂直平分线的交点，分别求出直线DM和EM的解析式，再求出点M的坐标即可．
【详解】解：如图：
∵、、，
∴点E的坐标为（1，1），点D坐标为（，），
∵，，
又∵DM垂直平分BC，EM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴直线EM的解析式为：；
直线DM的解析式为：，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查了求三角形外接圆的圆心，一次函数的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是正确求出直线的解析式，从而求出点M的坐标．
14．5
【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径及勾股定理，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为，所以外接圆的半径就是．
【详解】解：的两直角边的长分别为和，
斜边为，
外接圆的半径就是．
故答案为：5
15．73
【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，，
点是的外心，
，
，，，
，
，
即，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．
【分析】根据三角形外心的定义可知外心为斜边的中点，根据三角形重心的定义可知C、P、Q三点共线，根据勾股定理求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，然后利用重心的性质得到．
【详解】解∶根据题意可知，C、P、Q三点共线．
在中，，
的外心为，
为斜边的中点，
，
的重心为，
．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出C、P、Q三点共线是解题的关键．
17．④
【分析】根据图形中最长的线段与圆的直径相比较即可判断．
【详解】解：半径为1的圆的直径为2，
①∵＞2，
∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
②∵3＞2，
∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，
∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，
∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；
故答案为：④．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了旋转作图以及三角形的外接圆，涉及到旋转性质以及垂直平分线的性质．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、；然后依次连接、、，即可作答；
（2）根据旋转性质，的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线是以点O为圆心，半径为的圆上的；
（3）根据的外接圆的定义，即过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，所以分别作出线段和的垂直平分线，它们的交点点G即为的外接圆圆心，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：即为的点B绕原点O逆时针方向旋转后经过的路线，如图所示：

（3）解：点即为的外接圆圆心，如图所示：

所以，
故的外接圆圆心坐标为．
19．(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，以O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做出等边三角形；
（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出，再利用等面积法即可求出线段AE的长．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
∴，
∴，
∴，
故线段AE的长为 ．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．
20．（1）见解析； （2）见解析．
【分析】（1）根据垂径定理延长OD交半圆于点E，弧BE与弧CE相等，则他们所对的圆周角相等，即可求得；
（2）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°，画图即可．
【详解】（1）延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点M，AM即为所求；
（2）延长AC、BC分别交半圆于点E、D，连接BE、AD并延长交于点P，连接PC并延长交AB于点F，则线段CF即为所求的高：
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
21．见解析
【详解】分析：因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同，所以水泵站应在AB、BC的中垂线的交点处．
本题解析：
连接AB、BC，分别作AB、BC的中垂线，两线交于点O，点O就是所求．
点睛：本题需仔细分析题意，结合图形，利用中垂线的性质即可解决问题．
22．(1)见解析
(2)斜边中点
(3)
【分析】（1）作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；
（2）根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；
（3）连接OB，利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆．
（2）解：如图，直角三角形ABC，作斜边AB上的中线CD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，CD= AD= BD，即D为直角三角形ABC的外接圆圆心，
故答案为：斜边中点．
（3）解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD=，
连接OB，
∵OD⊥BC，
∴，
∴，
其外接圆的面积为．
【点睛】本题考查了三角形外接圆、垂径定理和圆的面积计算，解题关键是熟练掌握三角形外接圆的作法，能够熟练运用垂径定理求出半径长．
23．（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）作∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于O点，然后以O点为圆心，OB为半径画圆即可；
（2）延长AO交BC于H，如图，根据等边三角形的性质得到AH⊥BC，BH＝CH＝，∠OBH＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB即可．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）延长AO交BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝ BC＝AB＝，∠OBH＝30°，
∴ ，
∴OH＝BH＝1，
∴OB＝2OH＝2，
即△ABC的外接圆半径R为2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握三角形的三条内角平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键．
24．见解析
【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论．
【详解】证明：连接，．
分别是的高，为的中点，
，
∴点在以点为圆心的同一圆上．
【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键．