3.7切线长定理同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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3.7切线长定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　）
A．38° B．28° C．30° D．40°
2．如图，PA、PB是的两条切线，切点分别为A、B连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C，若，，则PO的长为（ ）

A．12 B．8 C． D．4
3．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长为(　　)
A． B． C．1 D．
4．平面内，⊙的半径为，点到圆心的距离为，过点可作⊙的切线条数（ ）
A．条 B．条 C．条 D．无数条
5．如图，⊙O是的内切圆，点D、E分别为边上的点，且为⊙O的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
6．如图，是的直径，分别是的中点，在上．下列结论：①；②；③四边形是正方形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若O是△ABC的内心，且∠BOC＝100°，则∠A＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．60°
8．如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）
A． B． C．π 或 D．或
9．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
11．如图，O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　 　）
A． B． C． D．
12．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD=3，CD=2，△ABC的周长为14，则AB= ．
14．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是 ．

15．如图，的周长为16，是的内切圆，若，，则的长为 ．
16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．AD与BC相交于点F，连结BE，DC，已知EF=2，CD=5，则AD= .
17．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为 cm.
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的二次对称点．
（1）如图1，点；
①若点是点关于轴，直线的二次对称点，则点的坐标为________；
②点是点关于轴，直线的二次对称点，则的值为________；
③点是点关于轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为________；
（2）如图2，的半径为1．若上存在点，使得点是点关于轴，直线的二次对称点，且点在射线上，求的取值范围；
（3）是轴上的动点，的半径为2，若上存在点，使得点是点关于轴，直线的二次对称点，且点在轴上，写出的取值范围．
19．李老师在上课时的屏幕上有如下内容：如图，是的直径，点C为弧的中点，连结交于点E，，老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完整的题目，并解答．
(1)李老师在方框中添加的内容是“，求的长”，请你解答；
(2)某同学加的内容是，连C，求的值”．请你帮该同学完成解答．
20．已知为的外接圆，．
(1)如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
21．已知的三边长分别为，Ⅰ为的内心，且Ⅰ在的边上的射影分别为．
（1）若，求内切圆半径r；
（2）求证：．
22．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．
23．如图，在中，，⊙是的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙的半径．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
《3.7切线长定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A A C A D B D
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据切线的性质得到PB＝PC，根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到结论．
【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线，
∴PB＝PC，
∵∠P＝44°，
∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠D＝98°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，
∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
2．B
【分析】根据切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可得，再根据得到PO是线段AB的垂直平分线，最后利用“直角三角形中所对的边等于斜边的一半”求得最终结果．
【详解】PA、PB是的两条切线
，即
PO是线段AB的垂直平分线
，
，
故选：B
【点睛】本题考查了切线长定理和垂径定理以及中垂线的判定和直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．
3．D
【详解】解：连接OD.
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°
.∵cos∠CDB＝＝，BD＝5，
∴DH＝4，∴BH＝＝3.
设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3.
在Rt△ODH中，由勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2，
解得x＝，
∴OH＝.
选D.
【点睛】圆和解三角形的综合：直角三角形中，利用三角函数，已知一边和一个三角函数值，可求其他的边；圆中常用半径作为等量，垂径定理，勾股定理列方程，
4．A
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案．
【详解】⊙的半径为，点到圆心的距离为，
,
点与⊙的位置关系是：点在⊙的内部，
过点可以作⊙的条切线．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个公共点的直线，正确的理解定义是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了切线长定理，熟记定理内容是解题关键．根据切线长定理，可得，则 ，据此即可求解．
【详解】解：设切点为，如图所示：
∵都和⊙O相切，
∴．
∴，
∴
故选：A．
6．C
【分析】根据题意连结OM、ON，易得，利用含30度的直角三角形三边关系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以，则可对①进行判断；再计算出∠MOC=∠NOD=60°，则∠MON=60°，于是根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形MCDN为平行四边形，加上∠MCO=90°，则可判断四边形MCDN为矩形，由于则，于是可对③进行判断；由四边形MCDN为矩形得到MN=CD，则，则可对④进行判断．
【详解】解：如图，连接．
分别是的中点，
．
，
，故①正确．
，故②正确．
，
∴四边形为平行四边形．
，
∴四边形为矩形．
，
∴四边形不是正方形，故③错误．
∵四边形为矩形，
,
，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．A
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠OCB+∠0BC=80°，根据三角形的内心求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】∵∠BOC=100°，
∴∠OCB+∠0BC=180°﹣∠BOC=80°，
∵O是△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=160°，
∴∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=20°．
故选A．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，角平分线的性质，三角形的内心等知识点的理解和掌握，能求出∠ABC+∠ACB的度数是解此题的关键．
8．D
【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值．
【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，
连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，
∴OW=CF，WF=1，
∵∠ACB＝60○，
∴∠WCF=∠ACB=30°，
所以点O移动的距离为OW=CF===．
如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，
连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形，
∴OO′=CE，
∵∠ACB＝60○，
∴∠ACE＝120○，
∴∠O′CE=60°，
∴点O移动的距离为OO′=CE===，·
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．
9．B
【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
【详解】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设
，
，
而
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
11．D
【分析】连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．
【详解】解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠APB=∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C=60°，
∵AB=1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB=120°，
如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为，
∴△ABC的最大面积为．
故选D．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．
12．B
【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．
13．5
【分析】如图所示：由切线长定理可知：BE=BD=3，CD=CF=2，AE=AF，然后根据△ABC的周长为14求解即可．
【详解】解：如图所示：
由切线长定理可知：BE=BD=3，CD=CF=2，AE=AF．
设AE=AF=x．
根据题意得：2x+3+3+2+2=14．
解得：x=2．
∴AE=2．
∴AB=BE+AE=3+2=5．
故答案为；5．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆，利用切线长定理得到BE=BD=3，CD=CF=2，AE=AF是解题的关键．
14．4.8
【详解】设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，
连接PD，连接CP，CD，
则有PD⊥AB；
由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，
由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；
只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，
即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，
由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．
故答案为：4.8．

考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理
15．2
【分析】利用切线长定理可知，，，结合已知条件求出，再证是等边三角形即可得出．
【详解】解：是的内切圆，
，，均是的切线，切点分别为F，E，D，
由切线长定理可知，，，
，
的周长为16，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查切线长定理的应用、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
16．
【分析】根据三角形的内心的定义得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【详解】∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∴，
∴BD=CD=5，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠CAD，
∴∠DBE=∠DEB．
∴DE=DB=5，
∴DF=DE-EF=3，
∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
∴AD=，
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形的内接圆与内心、外接圆与外心，掌握三角形的内心的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．8
【分析】连接OD、OE，由切线性质易得四边形ODBE为正方形.由切线长定理可知MD=MP，NP=NE，则Rt△MBN的周长等于BD+BE.
【详解】解：连接OD、OE，
由切线性质可知OD⊥AB、OE⊥BC，再结合∠B=90°且OD=OE可知四边形ODBE为正方形，则BD=BE=OE=4cm.由切线长定理可知MD=MP，NP=NE，则：
Rt△MBN的周长=BM+MN+BN=BM+MD+BN+NE=BD+BE=4+4=8cm，
故答案为4cm.
【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理.
18．（1）．①（3，0）；②-2；③y=-x+2．（2）；
（3）
【分析】（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题．
（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题．
（3）设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．
【详解】（1）．①如图1中，点A（-1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．
②如图2中，由题意C（-5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，
∴a=-2．
③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），
∴直线A1D的解析式为y=x-1，线段A1D的中垂线的解析式为y=-x+2，
∴直线l3的解析式为y=-x+2．
故答案分别为（3，0），a=-2．y=-x+2．
（2）∵使得点是点关于轴，直线的二次对称点
∴设点关于轴对称点是，则关于对称点是
∵在一条平行轴的直线上或者就是轴，
∴
由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，
∵是轴对称图形
∴关于轴对称点也在圆上
∵直线OM′的解析式为，
∴∠MM′O =30°，
∵点在射线上
∴，
当在之间时，此时当OM⊥OM′时，MM′=2OM=2的值最大，此时最大
∵
∴的最小值为-1
当在之间时，此时当点M在x轴的正半轴上即为原点时，此时可得b的最小值，最大值为，
综上所述，满足条件的b取值范围为．
故答案为．
（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．
连接E1E′交直线于K，易知直线E1E′的解析式为
连接E1E′交直线于K，易知直线E1E′的解析式为，
由解得
∴K
∵KE1= K E′,
∴
当⊙E′与y轴相切时，
，解得，
综上所述，满足条件的t的取值范围为
【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．(1)AB=6，见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据点C为弧的中点得，即可得，即可判定，得，进行计算即可得，根据是的直径得，运用勾股定理即可得，即可得；
（2）连接交于点F，根据点C为弧的中点得，，根据，即可得，根据得，由（1）知，，，则 ，，，，即可得．
【详解】（1）解：∵点C为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于点F，
∵点C为弧的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，，
则 ，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形函数，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握并灵活运用这些知识点．
20．(1)①见解析；②；
(2)，理由见解析
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【详解】（1）①，，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接，，如图，
，
，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由①知：，
，
．
，
．
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
21．（1）1；（2）见解析
【分析】（1）先得到△ABC为直角三角形，再根据面积相等求出△ABC内切圆的半径；
（2）利用切线的判定与性质以及切线长定理得出AF=AE，BF=BD，CD=EC，进而求出即可．
【详解】解：（1）∵，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为，由△ABC的面积可得：
=，
即=，
解得：r=1，
∴△ABC的内切圆半径为1；
（2）∵I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC，AC，AB上的射影分别为D，E，F，
∴D、E、F分别是⊙I的三边切点，
∴AF=AE，BF=BD，CD=EC，
设AE=AF=x，则EC=b-x，BF=c-x，
故BC=a=b-x+c-x，
整理得出：x=，
即AE=AF=．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，利用切线长定理得出是解题关键．
22．（1）；（2）存在，理由见解析；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；
（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得△ABD的面积是△ABC面积的倍，判断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点D的坐标；
（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E的坐标为E,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标，再设设F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n=，通过计算整理得出，由此得出F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再计算最大值与最小值即可.
【详解】解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得
，解得，
∴
（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1，）时，，
△ABD的面积是△ABC面积的倍，
，所以D点一定在x轴上方．
设D(m,n), △ABD的面积是△ABC面积的倍，
n＝
＝m＝－4或m＝2
D(－4, )或（2，）
（3）设E(x,y),
∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴,
∴y=,
∴E,
∵F是AE的中点,
∴F的坐标,
设F(m,n),
∴m=,n=,
∴x=2m+3,
∴n=,
∴2n+2=,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4()2=1,
∴,
∴F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
∴最大值：，
最小值：
最大值； 最小值
【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.
23．4
【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
【详解】解：连接，，，则，设．
在中，，
∴．
∵分别与，，相切于点D，E，F，
∴．
又∵，
∴四边形为正方形．
∴．
∵．．
∴．
而，
∴．
∴，
即的半径为4．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
24．（1）详见解析；（2）PC＝．
【分析】(1)利用等角对等边证明即可．
(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：(1)证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
(2)解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝，
∴PB＝，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．