3.8圆内接正多边形同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.8圆内接正多边形同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-15 06:01:56 | ||
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文档简介
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3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A 的度数为（ ）
A．36° B．56° C．72° D．144°
2．如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
4．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（ ）
A．120° B．144° C．150° D．160°
5．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
6．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，的内接多边形的周长为3，的外切多边形的周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
8．如图，有一圆内接正八边形，若的面积为10，则正八边形的面积为何？（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
9．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm
12．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
二、填空题
13．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形……割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1，来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1= ； ．
15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 ．
16．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条．
17．正十二边形的每一个外角为 ，每一个内角是 ，该图形绕其中心至少旋转 才能和本身重合．
三、解答题
18．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
19．用一批全长为的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到），并比较它们的大小．
20．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．
(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND
21．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
22．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
23．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
24．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
《3.8圆内接正多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C D C A C B
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得到∠A+∠C=180°，把∠C=36°代入计算即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
而∠C=36°，
∴∠A=180°-36°=144°
故选D．
【点睛】考查了圆的内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补．
2．B
【分析】根据已知条件得到，求得，，得到，过作于，于，解直角三角形得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
，
，，
，
，
过作于，于，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．D
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
4．A
【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．
【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，
在五边形中，
，
故选：A．
5．C
【分析】连接、，先求出正五边形的中心角，再根据圆周角知识即可求出．
【详解】解：连接，如图，
∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理等知识，熟知相关知识，求出正五边形的中心角是解题关键．
6．D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形是的内接正五边形，
∴五边形的中心角的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键．
7．C
【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长.圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，然后把3与3.4平方，再利用夹逼法对即可选择答案．
【详解】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，
，
圆的周长，
只有C选项满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题关键是熟悉正多边形和圆的关系．
8．A
【分析】取中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形是由8个与全等的三角形构成，从而可得答案．
【详解】解：取中点I，则点I为圆的圆心，
圆内接正八边形是由8个与全等的三角形构成．
∵的面积为10，
∴的面积为5，则圆内接正八边形为．
故选A．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，掌握“正多边形的性质”是解本题的关键．
9．C
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
10．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，
∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，
∴是正三角形，
，
∴正六边形的边长为2，
故选：B．
11．C
【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm，
由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm．
故答案选C．
12．B
【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
13．54°/54度
【详解】解：连接OB，则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为54°．
14． 6+3
【分析】连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，设A1H=x，在Rt△A1A2H中，可得x2+（2x-x）2=12，解出x的值，即可求出S、S1，从而得到答案．
【详解】解：连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，如图：
∵圆的内接正十二边形的中心角为=30°，
∴∠A1OH=30°，
∴A1H=OA1，
设A1H=x，则OA1=2x=OA2，OH=A1H，
∴A2H=2x-x，
在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2=A1A22，
∴x2+（2x-x）2=12，
解得x=（负值已舍去），
∴A1H=，OA1=，
∴S=π×（）2=（2+）π，
S1=12×××=6+3，
∴，
故答案为：6+3，．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确地求出正十二边形的面积是解题的关键．
15．1800°
【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
16．
【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=，
，，
∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴，
故答案为：．
17． 30° 150° 30°
【分析】根据多边形内角和公式可得正十二边形的内角和为1800°，因为正十二边形有12个内角，且每个内角都相等，所以每个内角的度数为1800°÷12=150°；每个外角和每个内角都是互补的关系即可得到每个外角的度数.
【详解】易得正十二边形的内角和为1800°，故其每个内角为1800°÷12=150°；
由多边形外角与内角互补可得其每个外角的度数为180°-150°=30°；
因为正十二边形的中心角为=30°，
所以正十二边形绕其中心经过旋转与原图重合，则要至少旋转的度数为30°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角，解题的关键是内角和与边数成正比,边数增加,内角和增加；边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角和就增加180°.
18．∠A=60°.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠1=∠2=∠A，由圆周角定理可得答案.
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
19．正三角形的面积为平方米，正方形的面积为平方米，正六边形的面积为平方米，圆的面积为平方米，
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质是解题的关键．
先根据周长求正三角形，正方形，正六边形的边长，圆的半径，然后求高，求面积，最后比大小即可．
【详解】解：由题意可得，正三角形的边长为，
∴正三角形底边上的高为；
∴；
∵正方形的边长为，
∴，
∵正六边形的边长为，
∴边心距为，
∴；
∵圆的半径，
∴；
∵，
∴在周长都是时，．
20．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；
（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．
【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，圆的直径是AC，
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴BM=ND.
【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．
21．证明见解析
【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．
试题解析：
连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴ ，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCF为正五边形．
22．四边形各内角的度数分别是，，，.
【分析】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案.
【详解】依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
23．周长，面积
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
24．（1）60°；（2）90°，108°；（3）.
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【详解】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
3.8圆内接正多边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A 的度数为（ ）
A．36° B．56° C．72° D．144°
2．如图，连接的内接正十二边形顶点得到，，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A．35° B．70° C．110° D．140°
4．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（ ）
A．120° B．144° C．150° D．160°
5．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
6．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，的内接多边形的周长为3，的外切多边形的周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )
A． B． C． D．
8．如图，有一圆内接正八边形，若的面积为10，则正八边形的面积为何？（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
9．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（ ）
A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm
12．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
二、填空题
13．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为 ．
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形……割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1，来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1= ； ．
15．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为 ．
16．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条．
17．正十二边形的每一个外角为 ，每一个内角是 ，该图形绕其中心至少旋转 才能和本身重合．
三、解答题
18．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
19．用一批全长为的篱笆围出一块草地，分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形和圆时的面积（精确到），并比较它们的大小．
20．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．
(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND
21．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
22．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
23．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
24．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
《3.8圆内接正多边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C D C A C B
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得到∠A+∠C=180°，把∠C=36°代入计算即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
而∠C=36°，
∴∠A=180°-36°=144°
故选D．
【点睛】考查了圆的内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补．
2．B
【分析】根据已知条件得到，求得，，得到，过作于，于，解直角三角形得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图所示，
，
，，
，
，
过作于，于，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，梯形的面积的计算，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3．D
【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
4．A
【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案．
【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，
在五边形中，
，
故选：A．
5．C
【分析】连接、，先求出正五边形的中心角，再根据圆周角知识即可求出．
【详解】解：连接，如图，
∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理等知识，熟知相关知识，求出正五边形的中心角是解题关键．
6．D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形是的内接正五边形，
∴五边形的中心角的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键．
7．C
【分析】根据圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长.圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，然后把3与3.4平方，再利用夹逼法对即可选择答案．
【详解】解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间，
，
圆的周长，
只有C选项满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题关键是熟悉正多边形和圆的关系．
8．A
【分析】取中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形是由8个与全等的三角形构成，从而可得答案．
【详解】解：取中点I，则点I为圆的圆心，
圆内接正八边形是由8个与全等的三角形构成．
∵的面积为10，
∴的面积为5，则圆内接正八边形为．
故选A．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，掌握“正多边形的性质”是解本题的关键．
9．C
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
10．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，
∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，
∴是正三角形，
，
∴正六边形的边长为2，
故选：B．
11．C
【详解】解：要用一个圆盖去盖住一个正方形的洞口，则圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长，∵正方形边长为50cm，
由勾股定理可得正方形的对角线的长为：50cm．
故答案选C．
12．B
【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
13．54°/54度
【详解】解：连接OB，则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为54°．
14． 6+3
【分析】连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，设A1H=x，在Rt△A1A2H中，可得x2+（2x-x）2=12，解出x的值，即可求出S、S1，从而得到答案．
【详解】解：连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，如图：
∵圆的内接正十二边形的中心角为=30°，
∴∠A1OH=30°，
∴A1H=OA1，
设A1H=x，则OA1=2x=OA2，OH=A1H，
∴A2H=2x-x，
在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2=A1A22，
∴x2+（2x-x）2=12，
解得x=（负值已舍去），
∴A1H=，OA1=，
∴S=π×（）2=（2+）π，
S1=12×××=6+3，
∴，
故答案为：6+3，．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确地求出正十二边形的面积是解题的关键．
15．1800°
【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
16．
【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=，
，，
∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴，
故答案为：．
17． 30° 150° 30°
【分析】根据多边形内角和公式可得正十二边形的内角和为1800°，因为正十二边形有12个内角，且每个内角都相等，所以每个内角的度数为1800°÷12=150°；每个外角和每个内角都是互补的关系即可得到每个外角的度数.
【详解】易得正十二边形的内角和为1800°，故其每个内角为1800°÷12=150°；
由多边形外角与内角互补可得其每个外角的度数为180°-150°=30°；
因为正十二边形的中心角为=30°，
所以正十二边形绕其中心经过旋转与原图重合，则要至少旋转的度数为30°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角，解题的关键是内角和与边数成正比,边数增加,内角和增加；边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角和就增加180°.
18．∠A=60°.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠1=∠2=∠A，由圆周角定理可得答案.
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
19．正三角形的面积为平方米，正方形的面积为平方米，正六边形的面积为平方米，圆的面积为平方米，
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，正多边形的性质是解题的关键．
先根据周长求正三角形，正方形，正六边形的边长，圆的半径，然后求高，求面积，最后比大小即可．
【详解】解：由题意可得，正三角形的边长为，
∴正三角形底边上的高为；
∴；
∵正方形的边长为，
∴，
∵正六边形的边长为，
∴边心距为，
∴；
∵圆的半径，
∴；
∵，
∴在周长都是时，．
20．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；
（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．
【详解】（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，圆的直径是AC，
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴BM=ND.
【点睛】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．
21．证明见解析
【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可．
试题解析：
连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴ ，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCF为正五边形．
22．四边形各内角的度数分别是，，，.
【分析】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案.
【详解】依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
23．周长，面积
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
24．（1）60°；（2）90°，108°；（3）.
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【详解】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．