2.1二次函数同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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2.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
3．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A．y=(x-6)2 B．y=(x+6)2 C．y=-(x-6)2 D．y=-(x+6)2
4．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是( )
A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0
C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0
5．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝ B．y=2x+1 C．y=+x-2 D．=+3x
7．下列各关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=a2x
8．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B．y＝
C．y＝x2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣x2
9．下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，是的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
11．若函数是二次函数，那么的值是（ ）
A．2 B．-2或2 C．-2 D．0或2
12．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym .则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ；

14．用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式．
解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ．
因为矩形的面积为，
所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ．
15．已知抛物线开口向上，且直线经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ．
16．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝ ．
17．如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
三、解答题
18．函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．
(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？
(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？
20．已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
21．当k为何值时，函数为二次函数？
22．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么
23．若是二次函数，求m的值．
24．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数
(3)自变量x的取值范围是什么
《2.1二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D C C A C B B
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
2．B
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2，y不是x的二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0，y不是x的二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
3．B
【详解】可设抛物线解析式为y=a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案．
解：∵顶点为( 6,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，
∵开口方向,形状与函数y=x2的图象相同，
∴a=，
∴抛物线解析式为y= (x+6)2，
故选B.
4．D
【详解】试题解析：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选D．
5．C
【分析】根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解．
【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
6．C
【详解】试题分析：A、自变量x在分母上，不是二次函数；
B、自变量x的指数是1，是一次函数；
C、符合二次函数的定义，是二次函数；
D、y的次数为2，不是二次函数．
故选C．
7．A
【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是二次函数，正确；
B、被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a＝0时,＝0，不是二次函数，错误．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.x为自变量，y为因变量，等号右边自变量的最高次数是2.
8．C
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】A.y＝2x﹣1为一次函数，故错误；
B.y＝含有分式，故错误；
C.y＝x2+1为 二次函数，正确；
D.y＝（x﹣1）2﹣x2=-2x+1,为一次函数，故错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数的识别，解题的关键是熟知二次函数的定义．
9．B
【分析】先判断函数是否为二次函数，若不是则直接排除，若是，再看二次项系数是否为3．
【详解】解：A．不是二次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，且二次项系数是3，故符合题意；
C．不是二次函数，故不符合题意；
D．是二次函数，但二次项系数是1，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及相关概念，掌握形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【详解】A. 是一次函数，不合题意；
B． 是二次函数，合题意；
C． 不是二次函数，不合题意；
D． 不是函数，不合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
11．A
【分析】根据二次函数的定义得出且，继而即可求解．
【详解】∵函数是二次函数，
∴且，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：且．
12．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
13．，
【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．
【详解】由题意得：
y＝x ＝ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
故答案是：y＝ x2+20x， 0＜x≤25
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立二次函数模型是解题的关键.
14．
【分析】（1）由矩形的周长求解；
（2）由矩形的面积公式求解．
【详解】解：宽，
面积，．
故答案为：，，
【点睛】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键．
15．
【分析】由二次函数的性质与一次函数的性质可得从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
且直线经过第一、二、三象限，
∴
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的性质，同时考查了解不等式组，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
16．-1
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
【详解】解：由题意得：m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
17．
【分析】连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=，根据三角函数和勾股定理可得点B的坐标为（,）,代入抛物线即可求解．
【详解】如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB=，
∵AC与x轴负半轴的夹角为15°，
∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= OB= ，OD= = = ,
∴点B的坐标为（,）,
∵点B在抛物线的图象上，
则：，
解得：，
故答案为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B的坐标．
18．k=0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数
【详解】试题分析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可.
试题解析：∵y=（kx-1）（x-3）=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
19．(1)5s
(2)
【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=DF，可得关于t的方程，求解即可；
（2）由直角三角形的性质可求DF，BF的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C=30°，
∴CD=2DF，AC=2AB，
∵AC＝30cm，
∴AB=15cm，
根据题意得：CD=4tcm，AE=2tcm，则AD=（30-4t）cm，
∴DF=2tcm，
∴DF=AE，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当DF=AD时，四边形AEFD为菱形，
即30-4t=2t，解得：t=5；
（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，
∴，，
由（1）得：四边形AEFD是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题；
【详解】解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
21．-2
【详解】试题分析：根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，列出相应的不等式和方程，求解即可.
试题解析： ∵函数为二次函数，
∴k2+k=2，k-1≠0，
∴k1=1，k2=-2，k≠1，
∴k=-2．
点睛：本题考查了二次函数的定义，根据定义将指数转化为方程是解题的关键.
22．Q＝.
【详解】试题分析：根据圆柱体的体积公式V=πr2h，直接代入求解即可.
试题解析：函数关系式为Q＝a·π·()2＝ .
23．
【分析】利用二次函数定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行解答即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
24．(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4.
【详解】试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；
（2）通过二次函数的定义可判断；
（3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.
试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
(2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
点睛：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决此题的关键.