2.3确定二次函数的表达式同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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2.3确定二次函数的表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，4 B．0，3 C．3，4 D．0，0
2．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B． C． D．
3．顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）
A．y=(x-5) 2+1 B．y=x 2- 5 C．y=（x-5）2- 1 D．y=（x+5）2 -1
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：
x … ﹣1 2 3 …
y … 0 0 4 …
则可求得（4a﹣2b+c）的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
5．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y=-（x-2）2-1 B．y=-（x-2）2-1
C．y=（x-2）2-1 D．y=（x-2）2-1
6．如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．某种正方形板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，即，当时，，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A．36厘米 B．6厘米 C．12厘米 D．24厘米
8．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的顶点坐标为，则b、c的值分别为（ ）
A．2，2 B．-2，2 C．2，0 D．-2，0
11．已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
12．某圆形零件的制作成本y（元）与它的面积成正比例，设半径为r（cm），当r＝2cm时，y＝20元，那么当制作成本为125元时，半径是（　　）
A．5cm B．cm C．10cm D．25cm
二、填空题
13．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为 ．
14．已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(-1，0)，B(0，-3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
16．抛物线过两点，与y轴的交点为，则抛物线的解析式 ．
17．与抛物线关于轴对称的抛物线解析式是 ．
三、解答题
18．已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
19．如图，一条抛物线经过(－2，5)，(0，－3)和(1，－4)三点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点A在点B左侧，试判断△OCB的形状．
20．已知抛物线y=－x2+bx+c和x轴正半轴相交于A、B两点，AB=4，P为抛物线上的一点，它的横坐标为－1，∠PAO=45°,cot∠PBO=．
(1)求P点的坐标；
(2)求抛物线的解析式.
21．如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以点P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
22．如图，已知抛物线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值．
23．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．
24．已知抛物线y=ax2 +bx+ l经过点（1，-2）， （-2，13）.
(1)求a，b的值；
(2)若（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1，求n的值；
(3)将此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．
《2.3确定二次函数的表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C C B B B C D
题号 11 12
答案 D A
1．A
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是，
则当时，，是最小值；
当时，是最大值．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
2．C
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，由条件可以得出a＝ ，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，
∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝ x2相同，
∴a＝ ，
∴y＝ （x h）2＋k，
∵抛物线的顶点为(－5，0)，
∴y＝ （x＋5）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a的值是关键．
3．A
【分析】形状与函数y=x2的图象相同开口方向相反，二次项系数是-，再用顶点式求即可．
【详解】∵形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反，
∴二次项系数是-
∵抛物线顶点坐标为(5,1)，
∴抛物线解析式为y= - (x-5)2+1
故选：A．
【点睛】本题考查求二次函数解析式问题，关键是形状相同且开口方向相反时二次项系数的值，掌握顶点式．
4．C
【分析】将表中的三组x，y值代入表达式即可求得a，b，c的值，进而求解；
【详解】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，
得到，
∴，
∴（4a﹣2b+c）＝4；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的顶点式求解析式.
【详解】解: 设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
∴二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，
把（0，3）分别代入得a=1，
所以y=（x-1）2-1．
故选C
【点睛】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．熟记顶点式公式：y=a（x-h）2+k是解题关键．
6．B
【分析】由题意可得：，即为抛物线的顶点，设，作轴，求得点的坐标，代入解析式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，即为抛物线的顶点，设，
作轴，如下图：
在正方形中，，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，，解得，即，
将点代入得，
解得，
即抛物线解析式为，
故选：B
【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，涉及了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质进行求解．
7．B
【分析】由待定系数法求出y与x的关系式，当时代入函数解析式并求解即可获得答案．
【详解】解：将，代入y与x的关系式，
可得，解得，
所以，
当成本时，可有，
解得，（不合题意，舍去），
所以当成本为72元时，边长为6cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及根据函数值求自变量的值，正确求出函数解析式是解题关键．
8．B
【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可．
【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点，
∴设原抛物线解析式为：，
将代入得：，
∴，
∴原抛物线解析式为，
∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到，
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键．
9．C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
10．D
【分析】直接利用顶点式写出抛物线的解析式即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
即
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，利用顶点式求得解析式，然后化成一般式是解题的关键．
11．D
【分析】设函数解析式为，将点代入即可求得a的值，可得结果．
【详解】解：设抛物线函数解析式为：，
∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
整理得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．
12．A
【分析】设y与r之间的函数关系式为y=kπr2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=125时代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】设y与r之间的函数关系式为y＝kπr2，由题意，得
20＝4πk，
解得：k＝，
∴y＝5r2，
当y＝125时，125＝5r2，
∴r＝5．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
13．（4，0）．
【分析】先把（1，0）代入y=x2-5x+m求出m得到抛物线解析式为y=x2-5x+4，然后解方程x2-5x+4=0得到抛物线与x轴的另一个交点的坐标．
【详解】解：把（1，0）代入y=x2-5x+m得1-5+m=0，解得m=4，
所以抛物线解析式为y=x2-5x+4，
当y=0时，x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4，
所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
故答案为（4，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题．
14．
【分析】根据对称轴为x＝1可知b=-2a，再将A，B两点带入解析式求解即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴是x=1，且对称轴x=-，
∴b=-2a，
∴y＝ax-2ax＋c，
将点A(-1，0)，B(0，-3)代入函数表达式可得，
解得a=1，c=-3，b=-2，
故函数表达式为y＝x-2x-3．
故答案为：y＝x-2x-3．
【点睛】本题考查了求解函数解析式，解决本题的关键是掌握二次函数的对称轴是x=-．
15．
【分析】先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.
【详解】解：点，反比例函数经过点B，则点，
则，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，故点，
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
16．
【分析】根据题意，设抛物线的交点式为，代入（0，4）即可求得a．
【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为，将代入得，，
解得，
所以抛物线的解析式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线的交点式是解题的关键．
17．
【详解】分析：把原抛物线解析式转化为顶点式形式，求出顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出描出的抛物线的顶点坐标，然后根据描出的抛物线与原抛物线形状相同，开口方向向下写出解析式即可．
详解：∵，
∴顶点，
∴顶点关于轴，对称点为且开口向下，
∴．
故答案为.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，关键是求出关键点—顶点的对称坐标，然后根据对称性求出函数的解析式，是常考题.
18．
【分析】设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把已知的三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得
，解得
所以抛物线解析式为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
19．（1）抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；（2）△OCB是等腰直角三角形．
【详解】试题分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或x=3，
∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），
∵c=﹣3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∴OB=OC，
∴△OCB是等腰直角三角形．
考点：1、抛物线与x轴的交点；2、待定系数法求二次函数解析式
20．(1) P为(－1,－3);(2)y=.
【分析】（1）作PD⊥x轴于D，根据等腰三角形的判定得到PD=AD，根据正切的定义求出DP，得到P点的坐标；
（2）利用待定系数法求出二次函数的解析式．
【详解】(1)如图，过P点作PD垂直x轴，垂足为D(分离出的图形见图2).
因为∠DAP=45°，所以PD=AD，
在Rt△PDBk ,DB=DA+AB=PD+4．
cot∠DBP=，
解之，得DP=3，
∴P点纵坐标为－3，故P为(－1,－3)；
（2）OA=DA－OD=2，A(2,0)，
又∵A、P两点在抛物线上，
∴解之，得，
∴y=.
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、解直角三角形、待定系数法求函数解析式，掌握锐角三角函数的定义、灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．
21．(1)
(2)点或，点或
【分析】（1）由题意，利用待定系数法解答；
（2）分别解得A、B、C的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以为顶点的三角形与全等，据此再分两种情况讨论：当点P在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可．
【详解】（1）解：将点和代入抛物线中，
；
（2）令y=0，则
令
抛物线的对称轴为直线，且OB=OC=3
当时，以为顶点的三角形与全等，
设
当点P在抛物线对称轴的右侧时，
或
当点P在抛物线对称轴的左侧时，
由抛物线的对称性得，此时点E的坐标同上，
综上所述，点或，点或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，充分利用数形结合与分类讨论的思想方法解题．
22．（1）；（2）的值为4
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为，则向下平移m个单位长度后的解析式为：．由于抛物线与直线只有一个公共点，联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值．
【详解】（1）∵抛物线（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），
得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：，
∵点D在抛物线上，
∴可设D（，），
又∵点D在直线上，
∴，即，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与直线的交点．
23．（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）P（﹣4，5）（2，5）．
【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3．
∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得．
∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标：
∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1．
∴A（1，0），B（﹣3，0）．∴AB=4．
设P（m，n），
∵△ABP的面积为10，∴AB |n|=10，解得：n=±5．
当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解．
∴P（﹣4，5）（2，5）．
24．(1)a=1，b=-4
(2)n的值为-1
(3)m的值为4或6
【分析】（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x=5代入y=x2-4x+1得到y1=6，于是得到y1=y2，即可得到结论；
（3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可．
【详解】（1）解：把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）解：由（1）得函数解析式为y=x2-4x+1，
把x=5代入y=x2-4x+1得，y1=6，
∴y2=12- y1=6= y1，
∵（5，y1），（n，y2）是抛物线上不同的两点，
∴（5，y1）与（n，y2）关于对称轴对称，
∵对称轴为直线x=2，
∴n=4-5=-1．
（3）解：由（1）得函数解析式为，
∵此抛物线沿x轴平移m（m>0）个单位长度，
∴①当向右平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当即时，对称轴-1≤x≤3的右边，
此时当-1≤x≤3时y随x的增大而减小，
∴当时，有最小值6，即，
解得，（舍去）；
②当向左平移时，平移后的解析式为，
∴对称轴为，
当时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当，时，当-1≤x≤3时y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值6，即，
解得，（舍去），
综上所述，m的值为4或6.
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．