2.5二次函数与一元二次方程同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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2.5二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（ ）

A．， B．， C．， D．，
3．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解为（　　）
A．x1≈﹣2.1，x2≈0.1 B．x1≈﹣2.5，x2≈0.5
C．x1≈﹣2.9，x2≈0.9 D．x1≈﹣3，x2≈1
5．已知二次函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的两个解为（ ）．

A．，3 B．，3 C．1，3 D．3，4
6．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”，若关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数图象的与y轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
ax2＋bx＋c 0.03 0.01 0.02 0.04
A．6.1910．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A．-3，-1 B．-3，0 C．-1，0 D．3
11．如图，给出了抛物线图象的一部分，是抛物线与轴的一个交点，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是
14．二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ．
15．已知关于的二次函数的图象如图所示，则关于的方程的根为
16．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为 ．
17．若抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
三、解答题
18．已知二次函数（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上．
(3)已知点，线段AB与函数的图象有公共点，则a的取值范围是　 　．
19．如图，二次函数的图像与轴交于点，根据图像解答下列问题：

(1)写出方程的两个根；
(2)当为何值时，？当为何值时，？
20．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：
(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 　 　．
21．二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标．
22．利用二次函数的图象求下列方程的近似根．
（1）2x2-4x=5； （2）x2+2x-10=3．
23．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．
24．已知抛物线．
抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标
抛物线 A（______） B（______）
变换后的抛物线
（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；
（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物线C的顶点的对应点，再次补全表格的第二行，并求抛物线对应的函数表达式．
《2.5二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B A D B A B A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案．
【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即，
∴的解集为：或，
故选：D．
2．B
【分析】直接根据图像求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
∵两个交点坐标分别为，，
∴方程的解为，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】先测估计出对称轴右侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=﹣1，可以算出左侧交点横坐标．
【详解】解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=﹣1，
而对称轴右侧图象与x轴交点与原点的距离，约为0.5，
∴x1=0.5；
又∵对称轴为x=﹣1，
则=﹣1，
∴x2=2×（﹣1）﹣0.5=﹣2.5．
故x1≈﹣2.5，x2≈0.5．
故选B．
5．A
【分析】根据二次函数的性质，从函数的图象可知函数的对称轴及与x轴一个交点坐标，即可求解．
【详解】解：由图象可知：二次函数的对称轴是直线x=1，
函数与x轴的一个交点为（3，0），
则该函数与x轴的另一个交点横坐标为：1-（3-1）=-1，
∴交点为（3，0）和（-1，0），
∴方程的解应为：x=-1或x=3，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．D
【详解】思维构建 “倍值点”都在直线上，二次函数有两个“倍值点”，则二次函数的图象与直线有两个交点．
易得点在直线上，∵关于x的二次函数（s，t为常数，）总有两个不同的倍值点，∴二次函数（s，t为常数，）的图象与直线有两个交点，令，则，∴．令，∵，∴，即，解得．
7．B
【分析】与y轴的交点，则其横坐标为0，将代入二次函数可得y的值，故可求出其交点坐标．
【详解】解：∵图象与y轴的交点的横坐标为0，
∴将代入可得，
∴交点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与y轴交点坐标，关键是理解y轴坐标的特点：y轴上的点横坐标为0．
8．A
【分析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故选A
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9．B
【分析】观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19．
【详解】解：∵当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
10．A
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解．
【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与，
∴的两根为：，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
11．B
【分析】抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= - = -1，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= -=-1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点到x=-1的距离为2，
∴抛物线y=ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等．
12．B
【分析】由二次函数的图象与轴交于点、，可得，由抛物线与y轴负半轴相交，可知，时，抛物线开口向上，另一根利用函数值得不等式组解不等式得；可得满足的条件是．
【详解】二次函数的图象与轴交于点、，
∴，
∴，
由抛物线与y轴负半轴相交，、，
∴
由，抛物线开口向上，
∵另一根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴满足的条件是，
故选择：B．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解不等式组，掌握二次函数的性质，会利用函数值的特征组成不等式组是解题关键．
13．3
【分析】①由开口向上得到，由对称轴在轴左侧得到，由函数图象与轴的交点在轴的正半轴上得到，进而得到的正负情况；
②由函数图象与轴的交点个数得到的正负；
③由对称轴为得到，然后由当时，得到的正负；
④由对称轴为和时，，得到时，，再由，得到当时，；
⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为，，进而由方程的两根为，即为函数与直线的交点横坐标，得到与、与之间的关系．
【详解】解：①开口向上，对称轴在轴左侧，函数图象与轴的交点在轴的正半轴上，
，，，
，故①错误，不符合题意；
②函数图象与轴有2个交点，
，
，故②正确，符合题意；
③对称轴为，
，
，
当时，，
，
，故③错误，不符合题意；
④对称轴为，且当时，，
时，，当时，随的增大为减小，
，得到当时，，故④正确，符合题意；
⑤，是方程的两根，
与轴的两个交点的横坐标为，，
方程的两根为，，
函数与直线的交点横坐标位，，
函数图象开口向上，
，，故⑤正确，符合题意，
正确的个数有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系．
14．或
【分析】先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标．
【详解】解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线的对称轴是直线：，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴，即，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（，6）；
当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴，即，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（，﹣9）；
综上，点M的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．0或-3
【分析】求关于的方程的根，其实就是求在二次函数中，当 y=4时x的值，据此可解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），
∴当x=0或-3时，y=4,即=4，即=0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x1=0，x2=-3．
故答案为：x1=0，x2=-3．
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
16．xl＝5，x2＝1
【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，
∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．
故答案为：xl＝5，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．
17．±8
【分析】由抛物线y=2x2+mx+8与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+mx+8=0，根的判别式△=b2-4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2-4ac=m2-4×2×8=0；
∴m=±8．
故答案为±8．
【点睛】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．一个交点判别式Δ=0，两个交点Δ>0，没有交点Δ<0，熟练掌握相关知识是解题关键.
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1 ）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论；
（ 2）利用配方法得到二次函数的顶点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（ 3）先计算出抛物线与直线的交点的横坐标，然后结合图象得到且．
【详解】（1）证明：∵
，
所以不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；
（2）证明：，
二次函数的顶点坐标为
当时，，
所以不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数的图象上；
（3）当时，，解得，
当且时，线段AB与函数的图象有公共点，
所以a的范围为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19．(1)
(2)当时，；当或时，
【分析】（1）结合二次函数图像分析求解即可；
（2）结合二次函数图像与轴点，观察图像总在轴的上方和图像总在轴的下方时的取值范围，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点，
∴的根为；
（2）∵二次函数的图像与轴交于点，
观察图像可知：当时，图像总在轴的上方，
∴当时，．
观察图像可知：当或时，图像总在轴的下方，
∴当或时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像与轴交点等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
20．(1)m＜2
(2)证明见详解
(3)m≤0或m＝1
【分析】（1）考查函数图象与x轴的交点问题，直接求解即可：
（2）求出函数解析式的顶点坐标，然后代入一次函数解析式y＝﹣x＋2判断即可：
（3）根据二次函数图象的对称轴和顶点去判断增减性，得到m的取值范围．
【详解】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上．
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1,
故答案为：m≤0或m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数图象和一元二次方程的关系，数形结合思想的熟练应用是解题的关键．特别是根据二次函数最值与对称称来判断函数增减性是难点，也是易错点，必要的数形结合加以理解很重要．
21．相交，交点坐标为和．
【分析】联立方程，消去得到关于的方程，解方程求得的值，进而求得的值，从而求得交点坐标．
【详解】解：相交；
由消去得，
解，
，
当时，，当时，，
交点坐标为，和，
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是利用数形结合思想的应用．
22．（1）x1≈-0.9，x2≈2.9．（2）x1≈-4.8，x2≈2.8．
【分析】画出抛物线y=2x2-4x-5与抛物线y=x2+2x-13的图象，观察它们的图象，再找出当函数值y=0时（即抛物线与x轴的交点）自变量x就是它们的解．
【详解】（1）原方程变为：y=2x2-4x-5，画函数y=2x2-4x-5的图象．
列表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 11 1 -5 -7 -5 1 11
描点、连线，如图1所示．由图象知方程2x2-4x=5有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间，先求-1和0之间的根，
x -0.9 -0.8 -0.7
y 0.22 -0.52 -1.22
因此，x=-0.9是方程的近似根．
求2和3之间的根：
x 2.9 2.8 2.7
y 0.22 -0.52 -1.22
因此，x=2.9是方程的近似根．
综上所述，一元二次方程2x2-4x=5的解是x1≈-0.9，x2≈2.9．
（2）同（1），一元二次方程x2+2x-10=3解是x1≈-4.8，x2≈2.8．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．此题实际上是利用二次函数的图象解一元二次方程．
23．(1)
(2)（-1，-3）
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
（3）解：由题意得不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（4）解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
24．（1）顶点的坐标为，点坐标为，画图见解析；（2），，，，抛物线对应的函数表达式．
【分析】（1）利用配方法得到，根据二次函数的性质即可得到点坐标，再令得，然后解方程即可得到点坐标；再利用描点法画抛物线；
（2）利用抛物线上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到点的对应点，点的对应点，由于抛物线的顶点坐标为，然后设顶点式求出抛物线的解析式．
【详解】解：（1），
则顶点的坐标为，
当时，，
解得，，
则点坐标为，
故答案为：顶点的坐标为，点坐标为，
抛物线C的图象如图所示：
（2）根据题意得：点的对应点，点的对应点，
由于抛物线的顶点是抛物线的顶点的对应点，
所以抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入，
得，
解得，
所以抛物线的解析式为．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数：当△时，抛物线与轴有2个交点；当△时，抛物线与轴有1个交点；当△时，抛物线与轴没有交点．