3.2圆的对称性同步练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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3.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ( )
A．== B．
C． D．
2．下列说法中错误的有（ ）
①过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧；
②弦的垂线平分它所对的两条弧；
③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（ ）
A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．AB，CD是⊙O的弦，若AB=CD，则AB∥CD
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
5．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的弧相等
7．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，点A在半圆上，边AB与半圆相交于点D，边OB与半圆相交于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为40°，70°，150°，则∠B的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD
10．如图，为的弦，，则等于（　　）

A． B． C． D．
11．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧
12．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
二、填空题
13．已知扇形弧上连同两个端点共有4个点，将这4点与圆心连接，则共可得 个扇形．
14．已知⊙O的直径为cm，点A在⊙O上，则线段OA的长为 cm．
15．在中，已知， 那么线段与的大小关系是 ．（从“＜”或“=”或“＞”中选择）
16．如图，点，点，点在上，分别连接，，．若，，则 ．

17．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么 ， = ，∠AOC ∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么 = ， ；
（3）如果=，那么 ， ， ．
三、解答题
18．如图，在中，，求证：
(1)；
(2)．
19．如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
20．如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若所对圆心角的度数为70°，且，求所对圆心角的度数．

21．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．

（1）求∠AOB的度数
（2）求∠EOD的度数
22．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由．
23．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）既是轴对称图形又是中心对称图形．
24．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．
(1)求证：=；
(2)若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？
《3.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A B C A D B D
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断.
【详解】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，
∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线,
∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF，
∴DF=DF=BF，
则==.
故选A.
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
2．C
【分析】利用垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①中若直线与弦不垂直，则结论不成立；
②若垂线不是直径，则结论不成立；
③若所过的弦中点故选：C所在的弦本身就是直径，则结论不成立．
故①②③都不正确，④正确．
故选：C
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解垂径定理及其推理，难度不大．
3．B
【分析】由题知AD=BC，根据圆心角、弧、弦的关系，得出=.
再给=.两边加上，即可得到AB与CD的关系.
【详解】∵AD＝BC，
∴=.
∴+=+,
即=.
∴AB=CD.
故选:B.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理；
4．A
【详解】试题分析：根据垂径定理即可判断A、B；根据AB和CD可能平行也可能相交，即可判断C；根据对称轴是直线，即可判断D．
解：A、垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，故本选项正确；
B、平分弦（弦不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项错误；
C、AB和CD可能相交，故本选项错误；
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了垂径定理和圆的认识的应用，主要考查学生对定理的理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
5．B
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案．
【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意；
B．半圆是弧，故此选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意；
D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系．
6．C
【分析】首先要明确是否同圆或者等圆，其次还要明确优弧还是劣弧.
【详解】A、B选项中的结论必须要有“同圆或等圆”的前提，故均错误；D选项除了要明确“同圆或等圆”外，还要明确是优弧还是劣弧，故也错误；
故选择C.
【点睛】对于定理，一定不能忽略它的前提和一些限制条件.
7．A
【分析】连结OD，如图，根据题意得∠DOC=30°，∠AOD=80°，由于OD=OA，则∠ADO=50°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，得出∠B=50°-30°=20°即可．
【详解】解：连结OD，如图
则∠DOC=70°-40°=30°，∠AOD=150°-70°=80°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=50°，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
∴∠B=50°-30°=20°．
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；由等腰三角形的性质得出∠ADO=50°是解题的关键．
8．D
【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．
9．B
【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．
【详解】连接BC，
∵
∴
∴
∴AC＝BD
故选：B
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出．
10．D
【分析】先运用了等腰三角形的性质求出，再根据三角形的内角和是即可得．
【详解】解：，
为等腰三角形，
，
，
所以．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质等边对等角是解题的关键．
11．D
【分析】对于A，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断;
对于B，能重合的弧叫等弧，即可进行判断;
对于C和D，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断.
【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确
B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确
C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确
D.直径是弦，半圆是弧，故错误
故选：D
【点睛】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题
12．C
【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【详解】∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
13．6
【详解】如图，当扇形AOD的上有A、B、C、D四个点时，连接OA、OB、OC、OD，则图中的扇形有：扇形AOD、扇形AOC、扇形AOB、扇形BOD、扇形BOC、扇形COD，共计6个.
故答案为6.
14．
【详解】解：∵⊙O的直径为cm，
∴⊙O的半径为cm，
∵点A在⊙O上，
∴线段OA=cm．
故答案为．
15．
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、三角形三边关系，根据圆心角、弧、弦的关系定理和三角形三边关系定理解得即可．
【详解】解：∵
∴
∴
在中，
∴
16．/20度
【分析】首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，，
，
，，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础．
17．（1）AB=CD，， ， = ；（2） ， ，∠AOB=∠COD；（3）AB＝CD，∠AOB＝∠COD， =
【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【详解】（1）∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴，∠AOB=∠COD；
（3）∵，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，．
故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等．
（1）由，可知，得到；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
；
（2）证明：，
，
又，
，
即．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC=CD，从而证明菱形．
【详解】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF．
20．
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求出，即可利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵所对圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴所对圆心角的度数为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
21．（1）20°；（2）60°．
【分析】（1）由AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；
（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
【详解】（1）连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠AOB=∠1=∠A=20°

（2）解：
∵∠2=∠A+∠1，
∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，
∴∠2=∠E，
∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．
【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系．
22．，理由见试题解析
【分析】由AB=AE，得出∠B=∠AEB，根据平行四边形的性质可得∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，从而得到∠GAF=∠FAE，再由弧、弦的关系定理得出 ．
【详解】，理由：连接AE．
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
∴．
23．见解析
【分析】根据题意圆的性质结合中心对称和轴对称的定义，设计轴对称图形或中心对称图形的图案即可．
【详解】（1）如图，是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）如图，是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）如图，既是轴对称图形又是中心对称图形．
【点睛】本题考查了圆的性质，轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图像的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】(1)先利用HL定理判定Rt△OCM和Rt△ODN全等，再根据全等三角形的性质可得∶ ∠AOM=∠BON，最后根据同圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证；
(2) 连接，根据已知条件，证明是等边三角形，所以∠MOC＝∠NOD＝∠MON，根据同圆中相等的圆心角所对弧相等即可求证．
【详解】（1）连接OM，ON，如图，
因为OM=ON，OA=OB，
∵AC=DB，
∴OC=OD，
在Rt△OCM和Rt△ODN中，
，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN，
∴∠AOM=∠BON，
∴，
（2），理由如下，如图，连接，
∵C、D分别为OA、OB中点，
∴OC=OA=AC，OD=OB=DB，
MC⊥AB，ND⊥AB，
，
是等边三角形，
∴∠MOC=∠NOD=60°，
∴∠MON=60°，
∠MOC=∠NOD=∠MON
∴∠AOM=∠MON=∠BON，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形、全等三角形的判定与性质．