第一章直角三角形的边角关系 单元练习 北师大版数学九年级下册（含解析）

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第一章直角三角形的边角关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　）
A．60 B．30 C．240 D．120
2．如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果把∠C为直角的各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A的各三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．都没有变化 D．有些有变化
5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值 （ ）
A．缩小 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍
6．如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则( )

A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．式子的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．
9．如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　)
A．4 km B．km C．2 km D．km
10．在中，，那么边的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE＝20m，坝顶宽CD＝10m，则下底AB的长为（　　）
A．55m B．60m C．65m D．70m
12．如图，为了测量学校操场上旗杆的高度，在距旗杆米的处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为，则旗杆的高度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
13．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时， ．
14．如图，在中，，点在内，，连接．若，则的长为 ．
15．计算： ．
16．在Rt中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ，tanB=
17．计算： ．
三、解答题
18．如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东方向C处，B岛在南偏东方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
（参考数据：）
19．如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．
20．为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡长米，坡角（即）为，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡（下面两个小题结果都保留根号）．
(1)若修建的斜坡的坡比为，求休闲平台的长是多少米？
(2)一座建筑物距离A点33米远（即米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角（即）为．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？
21．如图，在水平地面上有一幢房屋与一棵树，在地面观测点处测得屋顶与树梢的仰角分别是与，，在屋顶处测得.若房屋的高米.求树高的长度.
22．如图，小明想测量电线杆的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得与地平面成角，且此时测得长的标杆在地面的影子长为，则电线杆的高度为多少（结果精确到）？
23．（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①_______；
②_______；
③_______；
④_______；
⑤_______．
猜想：已知，则_______；
（2）如图，在中，，请根据提示，利用面积方法验证结论．
24．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成角，房屋向南的窗户AB高.现要在窗户外面的上方安装一个水平遮阳篷（如图所示）.要使太阳光线不能直接射入室内，遮阳篷AC的宽度至少为多少？
《第一章直角三角形的边角关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C C B B A B C
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【详解】如图所示，
由tanA＝，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选D．
【点睛】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2．B
【详解】解法一：由同角三角函数关系，sin2a+cos2a=1，所以a=30°,选B.
解法二：sin2a+cos230°=1, cos30°= sin2a=1- cos230°=1-,sina=,
sina= , a=30°,选B.
点睛：（1）掌握同角三角函数的关系sin2a+cos2a=1，可以为解题带来方便.
(2)熟练记忆特殊三角函数值对应的角度.
3．B
【分析】本题主要考查了计算器-三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据计算器的使用方法，可得答案．
【详解】用计算器计算，按键顺序是
故选B
4．C
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．
【详解】在中，，
，
，
则当各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A的各三角比的值都没有变化，
故选：C．
【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．
5．C
【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切值为对边和邻边的比值，正弦是对边a与斜边c的比，余弦是邻边b与斜边c的比．一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．
【详解】由题意可知：如果各边长度都扩大3倍，所得三角形与原三角形相似，三个角的大小不变，那么锐角A的各个三角函数值不变．
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的概念，正确理解锐角三角函数的概念是解决问题的关键．
6．B
【分析】过点作于点，根据题意得出，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

依题意，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
7．B
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计算即可；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵BC=6，E是BC的中点，
∴BE＝3，
∵，
∴，
∴CD＝4，
在Rt△ABE中，AE，
∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．
8．A
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
=0
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
9．B
【详解】试题分析：根据题意中方位角的特点，过点B作BE⊥AC，交AC于点E，由∠CAB=45°，AB=2km，可知BE=km，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB是∠ACD的角平分线，根据角平分线的性质可知BD=BE=km，因此CD=AD=AB+BD=（2+）km.
故选B
考点：解直角三角形的应用
10．C
【分析】由题意可知，将代入即可求得．
【详解】如图所示：在中，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键．
11．C
【分析】本题根据迎水坡坡比以及DE长度求解AE，根据背水坡坡比以及CF长度求解BF，最后将AE、EF、BF长度相加即可求得AB．
【详解】解：由题已知：四边形CDEF为矩形，
∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，
∴AE＝15m，
∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，
∴BF＝40m，
又∵EF=CD=10m，
∴AB＝AE+EF+BF＝15+10+40＝65m．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，即坡度坡角问题，解题关键是确定坡度比的比例关系，其次注意计算要仔细．
12．A
【分析】根据锐角三角函数关系得出tan30°=进而求出BC的长，即可得出答案．
【详解】根据题意得出：AC=24m，∠A=30°，
则tan30°==,
解得：BC=8.
故选A.
【点睛】考查了解直角三角中仰角问题，根据已知得出AC=24m，∠A=30°再利用锐角三角函数求出是解题关键．
13．
【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.
【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．
∴.
故答案为．
【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.
14．8或10
【详解】【思维构建】易得，由已知考虑以为顶点构造手拉手相似，即作
解法一：如图，过点作，，连接交于点，过点作于点，
则是等边三角形，
．
，
，
，
，
．
．
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得或．
解法二：如图，在的延长线上作，则，
得是等边三角形，过点作于点，
连接，过点作于点，易得，得，
得，从而设，则，
得，在中，由勾股定理得，
解得或，则或，进而得或．
15．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】原式=2-=
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
16．
【详解】试题分析：由∠C=90°，tanA=可得，即可求得结果.
∵∠C=90°，tanA=
∴
∴，
考点：三角函数
点评：计算能力是学生必须具备的基本能力，中考中各种题型中均会涉及到计算问题，因而学生应该努力提升自己的计算能力.
17．/
【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．调度中心应该派遣B岛上的维修船．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出与的值是解题的关键．作的延长线于点D，先解，求出，再解，求出，则．然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船．
【详解】解：如图，作的延长线于点D，
在中，
（海里），
（海里）．
在中，（海里），
（海里）．
∴（海里）．
∴A岛上维修船需要时间（小时），
B岛上维修船需要时间（小时）．
∵，
∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．
19．2米
【分析】在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．
【详解】解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，
∴AF＝AC tan60°＝7米，
∵BC＝8米，
∴AB＝15米，
在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，
∴AE＝AB tan30°＝15×＝5米，
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），
答：信号塔EF的高度为2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是找到并运用题中相等的线段．
20．(1)休闲平台的长是米
(2)建筑物的高为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练应用坡度和坡角．
（1）根据得，由为中点得，进而可求，，再根据斜坡的坡比为即可求得的长；
（2）可以设，则可得，再根据特殊角三角函数即可求得的高．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
解得，
∴米；
（2）由（1）可得，
则，
设米，则米，
米，
在中，即，
解得：，
答：建筑物别的高为米．
21．树的高为米.
【详解】试题分析：首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
试题解析：如图3，在中，，，
∴ ；
在中，，
∴ ；
在中，，
答：树的高为米.
22．
【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点．在中，由，得，．长的标杆在地面的影子长为，，得．．，，即电线杆的高度约为．
【易错点分析】误认为的影长是地面影长加上坡面影长，因为长的标杆在地面的影子长为，所以的影长也应该是地面上的影长，即斜坡的影长也要转化到地面上来．是的影长，要根据物高与影长成比例计算，在中要根据边角关系计算，两者之间没有联系，易错误地认为．
23．（1）①=；②=；③=；④=；⑤=；猜想：=；（2）见解析
【分析】（1）根据计算器计算即可得出结论；
（2）根据三角函数定义可得，由，可求；再根据锐角三角函数定义可得，可求，可求，比较即可得出结论．
【详解】（1）①=；
②=；
③=；
④=；
⑤=．
猜想：已知，则=；
（2）证明：图1中，
∵，
∴，
又∵，
∴；
图2中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查计算器求值比大小，锐角三角函数定义，从三角形面积不同算法，得出是解题关键．
24．遮阳篷AC的宽度至少为.
【分析】利用相应的三角函数可求得此时AC的长度，当遮阳蓬的宽度大于AC的宽度时，太阳光线照在点B的下方，也不能射入室内．
【详解】解：此时△ABC为∠ABC是30°的直角三角形,
则AC=AB×tan30°= AB=,
当遮阳蓬AC的宽度大于时，太阳光线不能射入室内,
故答案为．
【点睛】考查了解直角三角形的应用和平行投影．用到的知识点为：遮阳板越小，透进屋内的阳光越多，反正越少；关键是求得此时遮阳板的长度．