第一次月考试题 2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册（ 16-17章）

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第一次月考试题
2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册（ 16-17章）
一、单选题
1．已知是二次根式，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
3．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等 B．相等的两个角一定是对顶角
C．若，则 D．等边三角形是锐角三角形
5．实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
7．已知，则的值为（　　）
A． B．－ C． D．－
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（　　）
A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
二、填空题
11．化简： ．
12．已知y=++9，则（xy-64）2的平方根为 ．
13．若直角三角形的两条直角边分别是1和，则它的斜边上的高为 ．
14．在日常生活中，取款、上网都要密码．为了保密，有人发明了“二次根式法”来产生密码，如：对于二次根式，计算结果为13，中间加一个数字0，就得到一个六位数的密码“169013”，对于二次根式，用上述方法产生的六位数密码是 ．
15．某楼梯的侧面图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 米．

16．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
17．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
18．已知：，．分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
19．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
20．如图，已知某开发区有一块四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问需要投入多少元？
21．某小组利用课余时间进行车过隧道的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答问题解决中的问题．
项目 车能否顺利通过隧道的探究
日期 2024年10月28日
成员 组长：刘明成员：李丽、胡磊、王青
知识储备 勾股定理、轴对称的性质
问题解决
题干 某隧道的截面是一个半径为的半圆形．
任务 请通过计算说明一辆高，宽的卡车能否通过该隧道？
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位长度
（1）当t=2时，CD=______，AD=______；（请直接写出答案）
（2）当△CBD是直角三角形时，t=______；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．

23．阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式的最小值．
参考答案
1．D
本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，由二次根式有意义的条件可得，求解即可．
解：∵是二次根式，
∴，
∴，
故选：D．
2．C
原式=．
故选C
3．A
本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．
解：A、设，则
解得，则，故该选项是符合题意的；
B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；
C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；
D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；
故选：A
4．D
本题考查了判断命题真假、写出命题的逆命题、平行线的性质、对顶角等知识点，先写出各个选项的逆命题，分析即可得解．
解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，说法正确，故不符合题意；
B、逆命题为：对顶角一定相等，说法正确，故不符合题意；
C、逆命题为：若，则，说法正确，故不符合题意；
D、逆命题为：如果一个三角形是锐角三角形，那么它是等边三角形，说法错误，符合题意；
故选：D．
5．D
本题考查了实数与数轴、二次根式得性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键．
解：由数轴可知，，，
，，
．
故选：．
6．C
存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部
情况一：如下图，△ABC是锐角三角形
∵AD是高，∴AD⊥BC
∵AB=15，AD=12
∴在Rt△ABD中，BD=9
∵AC=13，AD=12
∴在Rt△ACD中，DC=5
∴△ABC的周长为：15+12+9+5=42
情况二：如下图，△ABC是钝角三角形
在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5
在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9
∴BC=4
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故选：C
7．C
由题意根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，进行计算即可．
解：由题意得，4-x≥0，x-4≥0，
解得x=4，则y=3，
则=．
故选：C．
8．B
由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
9．B
如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．
解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
10．A
解：在Rt△ABC中，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵半圆的面积为：S=πR2，
∴S1=π(，
S2=π(+π(
=π()
=π(，
∴S1=S2，
故选A．
11．
根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可．
解：，
故答案为.
12．±1
根据二次根式有意义的条件可得，再解可得x的值，进而可得y的值，然后可得（xy-64）2的平方根．
解：由题意得：，
解得：x=7，
则y=9，
（xy-64）2=1，
1的平方根为±1，
故答案为±1．
13．
本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据勾股定理可以求得斜边的长，然后根据等积法可以求得斜边上的高．
解：该直角三角形的面积为：，设斜边上的高为h，
由题意得斜边长为：，
∴，
则，
故答案为：．
14．025005
本题考查了二次根式的应用，熟知二次根式的性质是解题的关键．先求出的值，再根据题意即可得出结论．
解：∵，
∴产生的六位数密码是025005．
故答案为：025005．
15．(2＋2)
求地毯的长度实际是求AC与BC的长度和，利用勾股定理及相应的三角函数求得相应的线段长即可．
解：根据题意，Rt△ABC中，∠BAC=30°．
∴BC=AB÷2=4÷2=2，AC==2，
∴AC+BC=2+2，
即地毯的长度应为（2+2）米．
故答案为2+2.
16．
本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短：
在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可．
解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
∴当三点共线时，，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，
∵，，
∴，即：，
∴，
的最小值为；
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（3）先计算括号里面的，再计算二次根式的除法即可；
（4）利用平方差公式计算即可得解
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．(1)
(2)
本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先求出、的值，再将所求式子变形为，代入计算即可得解；
（2）将所求式子变形为，代入计算即可得解．
（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：．
19．
本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长度，进而求出的长度，设，则，根据勾股定理建立方程即可得出答案．
解：根据题意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
，
，解得
．
．
20．需要投入元
本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接，由勾股定理可得，再判断为直角三角形，且，求出面积，从而即可得解．
解：如图：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵每平方米草皮需要200元，
∴（元），
故需要投入元．
21．卡车能通过隧道，理由见解析
此题主要考查了勾股定理，根据题意直接构造直角三角形，进而得出当时的长，即可得出答案．正确构造直角三角形是解题关键．
解：如图所示：
当，
，
，
一辆宽3米，高3.6米的卡车能通过隧道．
22．（1）CD＝2，AD＝8；（2） t=3.6或10秒；（3）t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形，理由见解析
（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
（1）t=2时，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC==10，
AD=AC-CD=10-2=8；
（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC BD=AB BC，
即×10 BD=×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD==3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=10÷1=10秒，
综上所述，t=3.6或10秒；
故答案为（1）2，8；（2）3.6或10秒；
（3）①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，

则CE=BE，
∴CD=AD=AC=×10=5，
t=5÷1=5；
②CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
综上所述，t=5秒或6秒或7.2秒时，△CBD是等腰三角形．
23．(1)
(2)
(3)
（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
（3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点A、点或的距离之和，
故答案为；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
故答案为：．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，
∴的最小值，只需求的最小值，而点间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，
∴，
∴代数式的最小值为．
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