17.1 勾股定理 第1课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.1 勾股定理 第1课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 952.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 17:48:35 | ||
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文档简介
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17.1 勾股定理 第1课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，，，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
6．已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积为（ ）
A． B．3 C．1 D．2
7．如图，等边的周长为，则它的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．直角三角形的两边分别是3，4，则该三角形的面积是（）
A．12 B．6或 C．4或5 D．5或
10．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 ．
12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝ ．
13．已知中，，，则的面积为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．
16．在中，．
（1）若，，则 ．
（2）若，．则 ．
三、解答题
17．如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
18．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
19．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
20．如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
(1)求证：；
(2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
21．如图，在中，，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接．
(1)求证：；
(2)若平分交于F，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
参考答案
1．B
由勾股定理即可求解．
解：∵，
∴由勾股定理得：，
故选：B．
2．D
本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．
解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故选：．
3．C
本题考查的知识点是勾股定理的正确运算，解题关键是熟练掌握勾股定理．
分别计算大圆的面积，两个小圆的面积，，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系即可求解．
解：设三个圆对应的半径分别为、、，
则依题得：，，，
，，
根据勾股定理可得：，
即，
．
故选：．
4．A
设斜边为c，根据勾股定理即可得出，再由三角形的面积公式即可得出结论．
解：设斜边为c，根据勾股定理即可得出，
，
，即a2b2=a2h2+b2h2，
，
即，
故选A.
5．C
根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案．
∵，
同理，
∵由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
由直角三角形周长和斜边可求出两直角边的和为，然后根据勾股定理有 ，最后利用完全平方公式进行变形得 ，从而利用面积公式即可求解．
设直角三角形两直角边为a,b
∵直角三角形的周长为，斜边为4
∴
由勾股定理得
∴
∴
∴
故选：D．
7．B
由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解．
解：是等边三角形，
，
又，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
故选：．
8．D
根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可．
在中，，，，
以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，
故选：D．
9．B
本题考查了分类讨论思想，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．题目中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论（1）边长为4的边是直角边；（2）边长为4的边是斜边．
解：若边长为3的边和边长为4的边有一条为斜边，
，
边长为4的边是斜边，
（1）若边长为4的边是直角边，则该三角形面积为，
（2）若边长为4的边是斜边，则该三角形另一条直角边为，
该三角形的面积为，
所以该三角形的面积是6或．
故选：B．
10．B
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
11．64
此题考查了勾股定理，熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．由勾股定理求出正方形的边长，再由正方形的面积公式解答．
解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为．
故答案为；64．
12．18
根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．
13．cm2
设BC=acm，AC=bcm，则a+b=，即可得到，根据勾股定理得到，进而得到，根据三角形面积公式即可求解．
解：设BC=acm，AC=bcm，则a+b=，
∴，
即，
∵∠C=90°，
∴,
∴，
∴cm2．
故答案为：cm2
14．
本题考查了求点到原点的距离，勾股定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．过点作轴，交轴于点，已知点P的坐标是，得，，再根据勾股定理得，即可得出答案．
解：如图，过点作轴，交轴于点，
点P的坐标是，
，，
，
故答案为：．
15．2.5
分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．
如图，分别交、于点、点
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：2.5．
16．
（1）根据题意可知为斜边，为直角边，然后根据勾股定理计算即可；
（2）根据题意是两条直角边，然后根据勾股定理计算即可．
解：（1）∵在中，，
∴，
故答案为：；
（2）∵在中，，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)4
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）先根据勾股定理求出的值，再求出的长，即可计算出周长；
（2）根据即可得出结论．
（1），，，，
在中
根据勾股定理得：
，
在中
，
四边形的周长为．
（2），
和为直角三角形，
，
，
∴．
18．(1)证明见解析；
(2)；
本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质；
（1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论；
（2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决．
（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
20．(1)见解析
(2)见解析
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键．
（1）先证和全等得，然后根据可得出结论；
（2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明．
（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)5
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由题意可得，进而证明即可；
（2）证明，得到，根据等边对等角的性质，得到，由全等三角形的性质，得到，，进而得到，再利用勾股定理证明即可；
（3）由（2）可知，，，求出的长，即可求出的长．
（1）证明：
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
；
（3）解：由（2）可知，，，
，，
，
（负值舍去），
．
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17.1 勾股定理 第1课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
一、单选题
1．如图，在中，，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，，，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是( )
A． B．
C． D．
5．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
6．已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积为（ ）
A． B．3 C．1 D．2
7．如图，等边的周长为，则它的高为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．直角三角形的两边分别是3，4，则该三角形的面积是（）
A．12 B．6或 C．4或5 D．5或
10．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 ．
12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝ ．
13．已知中，，，则的面积为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．
16．在中，．
（1）若，，则 ．
（2）若，．则 ．
三、解答题
17．如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
18．如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
19．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．
(1)求证：.
(2)若，，，直接写出线段的长．
20．如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B．
(1)求证：；
(2)设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
21．如图，在中，，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接．
(1)求证：；
(2)若平分交于F，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
参考答案
1．B
由勾股定理即可求解．
解：∵，
∴由勾股定理得：，
故选：B．
2．D
本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理即可直接得出答案．
解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故选：．
3．C
本题考查的知识点是勾股定理的正确运算，解题关键是熟练掌握勾股定理．
分别计算大圆的面积，两个小圆的面积，，根据直角三角形中大圆小圆直径的关系即可求解．
解：设三个圆对应的半径分别为、、，
则依题得：，，，
，，
根据勾股定理可得：，
即，
．
故选：．
4．A
设斜边为c，根据勾股定理即可得出，再由三角形的面积公式即可得出结论．
解：设斜边为c，根据勾股定理即可得出，
，
，即a2b2=a2h2+b2h2，
，
即，
故选A.
5．C
根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案．
∵，
同理，
∵由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
由直角三角形周长和斜边可求出两直角边的和为，然后根据勾股定理有 ，最后利用完全平方公式进行变形得 ，从而利用面积公式即可求解．
设直角三角形两直角边为a,b
∵直角三角形的周长为，斜边为4
∴
由勾股定理得
∴
∴
∴
故选：D．
7．B
由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解．
解：是等边三角形，
，
又，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
故选：．
8．D
根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可．
在中，，，，
以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，
故选：D．
9．B
本题考查了分类讨论思想，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．题目中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论（1）边长为4的边是直角边；（2）边长为4的边是斜边．
解：若边长为3的边和边长为4的边有一条为斜边，
，
边长为4的边是斜边，
（1）若边长为4的边是直角边，则该三角形面积为，
（2）若边长为4的边是斜边，则该三角形另一条直角边为，
该三角形的面积为，
所以该三角形的面积是6或．
故选：B．
10．B
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
11．64
此题考查了勾股定理，熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．由勾股定理求出正方形的边长，再由正方形的面积公式解答．
解：由图可知正方形的边长为，
∴正方形的面积为．
故答案为；64．
12．18
根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．
13．cm2
设BC=acm，AC=bcm，则a+b=，即可得到，根据勾股定理得到，进而得到，根据三角形面积公式即可求解．
解：设BC=acm，AC=bcm，则a+b=，
∴，
即，
∵∠C=90°，
∴,
∴，
∴cm2．
故答案为：cm2
14．
本题考查了求点到原点的距离，勾股定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．过点作轴，交轴于点，已知点P的坐标是，得，，再根据勾股定理得，即可得出答案．
解：如图，过点作轴，交轴于点，
点P的坐标是，
，，
，
故答案为：．
15．2.5
分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．
如图，分别交、于点、点
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：2.5．
16．
（1）根据题意可知为斜边，为直角边，然后根据勾股定理计算即可；
（2）根据题意是两条直角边，然后根据勾股定理计算即可．
解：（1）∵在中，，
∴，
故答案为：；
（2）∵在中，，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)4
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）先根据勾股定理求出的值，再求出的长，即可计算出周长；
（2）根据即可得出结论．
（1），，，，
在中
根据勾股定理得：
，
在中
，
四边形的周长为．
（2），
和为直角三角形，
，
，
∴．
18．(1)证明见解析；
(2)；
本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证．
（2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
（1）证明： ，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
移项得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质；
（1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论；
（2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决．
（1）证明：作，交延长线于，连接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：设，
，，，
则，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
20．(1)见解析
(2)见解析
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键．
（1）先证和全等得，然后根据可得出结论；
（2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明．
（1）证明：如图所示：
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）证明：由（1）可知：，
，，，
四边形的面积正方形的面积，
，
即，
，
，，
即，
整理得：．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)5
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由题意可得，进而证明即可；
（2）证明，得到，根据等边对等角的性质，得到，由全等三角形的性质，得到，，进而得到，再利用勾股定理证明即可；
（3）由（2）可知，，，求出的长，即可求出的长．
（1）证明：
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
；
（3）解：由（2）可知，，，
，，
，
（负值舍去），
．
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