17.1 勾股定理 第3课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.1 勾股定理 第3课时 同步练习 2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-14 17:48:35 | ||
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文档简介
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17.1 勾股定理 第3课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
一、单选题
1．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点，点，x轴上取一点C使为等腰直角三角形（为斜边），则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个；
①的形状是等腰三角形；
②的周长是；
③点C到边的距离是．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ．
12．如图，，在数轴上点表示的数是 ．
13．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）的长为 ．
（2）在中，边上的高为 ．
14．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A，B，C的面积分别用，，表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ．
15．如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ．
16．如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形．
三、解答题
17．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
18．如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点
(1)求的长；
(2)请在图中以为原点，边为轴建立平面直角坐标系，并写出、、的坐标．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；
(1)画，使它的三边长分别为（在图中画出一个既可）；
(2)请在数轴上作出的对应点（保留作图痕迹）．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)以格点为顶点画，使三边长为：3，，；
(2)求的面积．
21．小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点，
(1)图中格点的面积是_______；
(2)按要求画图：
①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形；
③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段．
参考答案
1．A
本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解．
解：如图所示，
∵网格是正方形网格，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：A ．
2．D
此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可．
解：如图，为边上的高，
，
，，
，
解得：．
故选：B．
3．C
本题主要考查了勾股定理与坐标系，根据题意正确画出图形是解题的关键．
先根据题意画出符合条件的，然后直接确定点C的坐标即可．
解：根据题意画出等腰直角（为斜边）如下，易得点C坐标为．
故选C．
4．D
本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键．
根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解．
解：如图所示，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
∵，，，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
综上所述，点有4个，
故选：D ．
5．A
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
解：∵正方形的面积为5，
∴，
∴
∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
6．B
本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：B．
7．D
过点A作AF⊥DE于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的长，由勾股定理可求A'C的长．
解：如图，过点A作AF⊥DE于点F，
∵AB=4，点D为AB的中点，
∴AD=2，
∵∠ADE=30°，AF⊥DE，
∴AF=1，∠FAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠FAE=45°，AF⊥DE，
∴∠AEF=45°=∠EAF，
∴AF=EF=1，
∴AE=，
∴EC=AC-AE=2，
∵把△ADE沿DE折叠得到△A'DE，
∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=，
∴A'C=，
故选D.
8．B
根据勾股定理求出、、长，即可判断①和②，根据三角形面积公式即可判断③．
解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴的形状是等腰三角形，
∴①正确；
的周长是，
∴②错误；
设C到的距离是h，
由三角形面积公式得：，
∵，
∴，
∴③错误；
故选：B．
9．B
如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
10．B
分析：根据全等三角形的判定解答即可．
详解：由图形可知：AB=，AC=3，BC=，GD=，DE=，GE=3，DI=3，EI=，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等．
故选B．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．
11．
本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题．
解：设边上的高为h，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即边上的高为，
故答案为：．
12．
本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得表示的数．
解：由图形可知，，
在数轴上，点表示的数为，点在点右侧．
在数轴上点表示的数是，
故答案为：．
13． /
此题考查了勾股定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出方程．
（1）根据勾股定理即可，
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
解：（1）；
故答案为：
（2）设边上的高为，
，
，
故答案为：．
14． 16 9 25
本题考查了网格中的正方形与勾股定理应用，熟练掌握正方形的面积与勾股定理的光线是解题的关键．
依题意，16，，
∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，
∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，
∴
∵16，，，
∴．
故答案为：16，9，25，．
15．
本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可．
解：中，，，，
．
的周长为．
有三个顶点，
次旋转中每三次一个循环．
，
次旋转共经历674个循环还余2．
第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，
次旋转后点C共向右移动的总长为．
第一次的起点为，
右边的点表示的数是．
故答案为：．
16．
本题主要考查等腰三角形的判定，学会分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义画出图形即可．
解：如图，满足条件的等腰三角形有个，
故答案为：．
17．（1）答案见详解；（2）答案见详解．
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
18．(1)
(2)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标
（1）利用勾股定理求出的长度，根据即可求的长；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，根据点的坐标特征写出、、的坐标．
（1）解：，
由勾股定理得：，
，
解得：；
（2）解：平面直角坐标系如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标．
19．(1)见解析
(2)见解析
（1）根据正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长为，长为3，宽为1的长方形的对角线长为，即可得所求三角形；
（2）过表示的点B作数轴的垂线，在垂线上截取，连接，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点C即可．
（1）解：如图，即为所求；
根据作法得：；
（2）解：如图，点C即为所求，
理由：由作法得：，
∴，
∴点C的对应的数是．
20．(1)见解析
(2)3
（1）根据勾股定理画出图形即可．
（2）利用三角形面积公式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
其中，，，；
（2）如图，的面积为．
21．(1)
(2)①见解析②见解析③见解析
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用三角形面积公式求解即可．
（2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可．
②利用轴对称法画出图形即可．
③画出直角三角形即可．
（1）解：的面积，
故答案为：；
（2）解：①如图，即为所画（答案不唯一）
②如图，即为所画（答案不唯一）
③如图，即为所画（答案不唯一）
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17.1 勾股定理 第3课时 同步练习
2024--2025学年初中数学人教版版八年级下册
一、单选题
1．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点，点，x轴上取一点C使为等腰直角三角形（为斜边），则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论正确的有（ ）个；
①的形状是等腰三角形；
②的周长是；
③点C到边的距离是．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点均为格点，以为圆心，长为半径作弧，交网格线于点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ．
12．如图，，在数轴上点表示的数是 ．
13．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上．
（1）的长为 ．
（2）在中，边上的高为 ．
14．在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A，B，C的面积分别用，，表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ．
15．如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ．
16．如图，在边长为的小正方形网格中，、、、、均为格点，点是线段上的一个动点，在点运动过程中存在 个位置使得是腰长为的等腰三角形．
三、解答题
17．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
18．如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点
(1)求的长；
(2)请在图中以为原点，边为轴建立平面直角坐标系，并写出、、的坐标．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；
(1)画，使它的三边长分别为（在图中画出一个既可）；
(2)请在数轴上作出的对应点（保留作图痕迹）．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)以格点为顶点画，使三边长为：3，，；
(2)求的面积．
21．小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点，
(1)图中格点的面积是_______；
(2)按要求画图：
①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形；
③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段．
参考答案
1．A
本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解．
解：如图所示，
∵网格是正方形网格，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：A ．
2．D
此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可．
解：如图，为边上的高，
，
，，
，
解得：．
故选：B．
3．C
本题主要考查了勾股定理与坐标系，根据题意正确画出图形是解题的关键．
先根据题意画出符合条件的，然后直接确定点C的坐标即可．
解：根据题意画出等腰直角（为斜边）如下，易得点C坐标为．
故选C．
4．D
本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键．
根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解．
解：如图所示，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
∵，，，
∴是等腰三角形，
∴点为所求点；
综上所述，点有4个，
故选：D ．
5．A
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
解：∵正方形的面积为5，
∴，
∴
∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
6．B
本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：B．
7．D
过点A作AF⊥DE于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的长，由勾股定理可求A'C的长．
解：如图，过点A作AF⊥DE于点F，
∵AB=4，点D为AB的中点，
∴AD=2，
∵∠ADE=30°，AF⊥DE，
∴AF=1，∠FAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠FAE=45°，AF⊥DE，
∴∠AEF=45°=∠EAF，
∴AF=EF=1，
∴AE=，
∴EC=AC-AE=2，
∵把△ADE沿DE折叠得到△A'DE，
∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=，
∴A'C=，
故选D.
8．B
根据勾股定理求出、、长，即可判断①和②，根据三角形面积公式即可判断③．
解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴的形状是等腰三角形，
∴①正确；
的周长是，
∴②错误；
设C到的距离是h，
由三角形面积公式得：，
∵，
∴，
∴③错误；
故选：B．
9．B
如图：连接AE，则AE=2、AD=1,由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1
∴DE=
∴CE=CD-DE=．
故选B．
10．B
分析：根据全等三角形的判定解答即可．
详解：由图形可知：AB=，AC=3，BC=，GD=，DE=，GE=3，DI=3，EI=，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等．
故选B．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．
11．
本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题．
解：设边上的高为h，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即边上的高为，
故答案为：．
12．
本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得表示的数．
解：由图形可知，，
在数轴上，点表示的数为，点在点右侧．
在数轴上点表示的数是，
故答案为：．
13． /
此题考查了勾股定理，三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出方程．
（1）根据勾股定理即可，
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
解：（1）；
故答案为：
（2）设边上的高为，
，
，
故答案为：．
14． 16 9 25
本题考查了网格中的正方形与勾股定理应用，熟练掌握正方形的面积与勾股定理的光线是解题的关键．
依题意，16，，
∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，
∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，
∴
∵16，，，
∴．
故答案为：16，9，25，．
15．
本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可．
解：中，，，，
．
的周长为．
有三个顶点，
次旋转中每三次一个循环．
，
次旋转共经历674个循环还余2．
第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，
次旋转后点C共向右移动的总长为．
第一次的起点为，
右边的点表示的数是．
故答案为：．
16．
本题主要考查等腰三角形的判定，学会分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义画出图形即可．
解：如图，满足条件的等腰三角形有个，
故答案为：．
17．（1）答案见详解；（2）答案见详解．
（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
18．(1)
(2)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标
（1）利用勾股定理求出的长度，根据即可求的长；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，根据点的坐标特征写出、、的坐标．
（1）解：，
由勾股定理得：，
，
解得：；
（2）解：平面直角坐标系如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标．
19．(1)见解析
(2)见解析
（1）根据正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长为，长为3，宽为1的长方形的对角线长为，即可得所求三角形；
（2）过表示的点B作数轴的垂线，在垂线上截取，连接，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点C即可．
（1）解：如图，即为所求；
根据作法得：；
（2）解：如图，点C即为所求，
理由：由作法得：，
∴，
∴点C的对应的数是．
20．(1)见解析
(2)3
（1）根据勾股定理画出图形即可．
（2）利用三角形面积公式计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
其中，，，；
（2）如图，的面积为．
21．(1)
(2)①见解析②见解析③见解析
本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用三角形面积公式求解即可．
（2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可．
②利用轴对称法画出图形即可．
③画出直角三角形即可．
（1）解：的面积，
故答案为：；
（2）解：①如图，即为所画（答案不唯一）
②如图，即为所画（答案不唯一）
③如图，即为所画（答案不唯一）
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