浙江省金华市婺城中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试题
1．（2025九下·婺城开学考）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作-150元，那么80元表示（ ）
A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元
2．（2025九下·婺城开学考）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·婺城开学考）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·婺城开学考）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体
5．（2025九下·婺城开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2025九下·婺城开学考）生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·婺城开学考）如图是一个隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则该圆的半径OA为（ ）
A．6米 B．7米 C．米 D．米
8．（2025九下·婺城开学考）已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2025九下·婺城开学考）如图，在中，.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点；分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线AM.②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线BN，与射线AM相交于点.③连接CP.若点到直线AB的距离为1，则线段CP的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（2025九下·婺城开学考）如图1，在矩形纸片ABCD中，，点是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点与点重合（如图2），折痕为MN，连结ME，NE；第二次折叠纸片使点与点重合（如图3），点落在处，折痕为HG，连结HE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·婺城开学考）因式分解： .
12．（2025九下·婺城开学考）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球.
13．（2025九下·婺城开学考）如图，正九边形内接于为正九边形的一边，点为正九边形的一个顶点，则 .
14．（2025九下·婺城开学考）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 .
15．（2025九下·婺城开学考）如图，半径为1的在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其移动的过程中，所移动过的最大区域面积为 （结果保留）.
16．（2025九下·婺城开学考）如图，点是等边的边BC上的点（不与B、C重合），点是点关于AB的对称点，连结AD，DE，在AD上取一点，使得，射线EF与AC交于点，若，则 （用含的代数式表示）.
17．（2025九下·婺城开学考）计算：
18．（2025九下·婺城开学考）解不等式组：
19．（2025九下·婺城开学考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠： 证明： 垂直平分BD. ， 四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.
20．（2025九下·婺城开学考）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园”，传承华夏文明，学校随机抽取了20名学生进行诗词知识测试，测试成绩如下：83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86.
【整理数据】小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数分布表：
分组 频数
6
7
【解决问题】
（1） ， ；
（2）以上数据中，中位数是 ，众数是 ；
（3）竞赛成绩高于80分评价为“优秀”等级.试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有多少人？
21．（2025九下·婺城开学考）若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”.将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为.例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时.
（1）判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.
（2）命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由.
22．（2025九下·婺城开学考）如图，为海上一供给站，小岛在供给站的正西方向，灯塔在供给站的正南方向，另一供给站在灯塔的西南方向，与灯塔相距海里，在供给站处测得小岛在北偏西方向，且海里.
（1）求供给站到AB的距离；
（2）一游艇在小岛处突发故障滞留并发出求救信号，此时从处派出了两艘救援船甲、乙前往处救援，甲选择的路线为，乙选择的路线为，若甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达处？（参考数据：）
23．（2025九下·婺城开学考）已知二次函数．
（1）当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ▲ ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
（2）将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值.
24．（2025九下·婺城开学考）如图，CD是的直径，弦于点E，F为上一点，连结与CD交于点，连结CB交AF于点.
（1）求证：；
（2）当时，求证：是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，若，求AF的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，支出150元记作-150元，则80元表示收入80元.
故答案为：D.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
B、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
C、示意图是轴对称图形，符合题意；
D、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着某条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”判断即可.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱.
故答案为： A.
【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴有两个不相等的实数根，
故答案为： A.
【分析】根据判别式的值确定根的情况即可.
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
7．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设此圆的半径为r米，则 米， 米，
由题意得： 米，
(米)
在 中，由勾股定理得：
解得：
即此圆的半径 米，
故答案为： C.
【分析】设此圆的半径为r米，则( 米， 米，由垂径定理得 米，然后在 中， 由勾股定理得出方程，解方程即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数 的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若 且 在同一个象限，则 故选项错误，不符合题意；
B、若 且分别在三、一象限内，则 故选项错误，不符合题意；
C、若 则 故选项正确，符合题意；
D、若 则 ，当，既有， 当，既有，.故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数 的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小.据此可判断.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点， PE⊥BC于E点， 如图， 则PE=1，
由作法得PB平分∠ABC， PC平分∠ACB，
∴PF=PE=1，∠PCF=45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
故答案为： B.
【分析】过P点作PD⊥AB于D点， PE⊥BC于E点， 如图，根据点到直线的距离得到PE =1，利用基本作图得到PB平分∠ABC， PC平分∠ACB， 则根据角平分线的性质得到PF=PE=1， ∠PCF=45°， 从而可判断△PCF为等腰直角三角形，解题即可.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
如图，过点 N 作 NK⊥DC，交 DC 于点K.
由折叠性质可知AM=ME.
设AM=x，则 ME=x，MD=10-x.
在 Rt△DEM 中，由勾股定理可得
解得
，
∵由∠D = ∠MEN = ∠EKN = 90°，
∴△MDE∽△EKN，
即
∵由折叠性质可知HG⊥EN，∠MEN=90°，
∴HG∥ME，点 H 是 MN 中点.
∴ MH = EH， ∠EHG = ∠HEM = ∠HME=∠AMN.
故答案为：D.
【分析】过点 N 作 NK⊥DC，交 DC 于点K，设AM=x，在 Rt△DEM 中，根据勾股定理求出x值，然后推导得到△MDE∽△EKN，根据对应边成比例得到EK的值，然后计算正切解题.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】42
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：红球的个数为60×0.7=42(个)
故答案为：42.
【分析】根据大量重复实验的频率估计概率，然后根据概率公式计算解题.
13．【答案】20
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接OA， OB，
∵正九边形内接于⊙O，
故答案为： 20.
【分析】根据正多边形中心角的计算方法求出∠AOB，再根据圆周角定理解题.
14．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点
∴二元一次方程组 的解是
故答案为：
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
15．【答案】
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE， OF， 如图，
∵⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，
∴四边形OEDF为矩形，
∴四边形OEDF为正方形，
∵半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，
∴⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积，
∴⊙O所移动过的最大区域面积
故答案为：
【分析】设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，利用圆的切线的性质和正方形的判定定理得到四边形OEDF为正方形，最后利用⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积解答即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 如图， 连接BE， 过B作BP∥EG， 交AC于P，则∠BPC =∠EGP，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴∠ABE=∠ABD=60°，
∵∠C=60°，
∴∠EBD+∠C=180°，
∴EB∥GP，
∴四边形EBPG是平行四边形，
∴BE=PG，
∵∠DFG+∠C =120°+60°=180°，
∴∠FGC+∠FDC =180°，
∴∠ADB=∠BGP =∠BPC，
∵AB=BC， ∠ABD =∠C =60°，
∴△ABD≌△BCP(AAS)，
∴BD=PC=BE=PG，
∴CG=2BD，
在△BDE中， 易知∠EBD=120°， BE=BD，
故答案为：.
【分析】连接BE， 过B作BP∥EG， 交AC于P，证明四边形EBPG是平行四边形， 得BE= PG， 再证明△ABD≌△BCP(AAS)， 可得结论.
17．【答案】原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可.
18．【答案】由①得
由②得
原不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】衔接两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可.
19．【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：
证明：
∴四边形ABCD 是平行四边形.
又
∴平行四边形ABCD 是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”进行分析推理解题.
20．【答案】（1）1；6
（2）86.5；88
（3）解：（人）
【知识点】统计表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在20个数据中， 的有1人， 的有6人，
故答案为：a=1，b=6；
（2）把数据排列为： 67、72、73、74、75、76、78、81、83、86、87、88、88、91、93、94、95、96、98、100，
居于中间的两个数为86和87，则中位数为；
在这组数据中88出现两次，故众数为88，
故答案为：86.5，88；
【分析】（1）把20个数据分组解题即可；
（2）先把数据从小到大排列，然后根据众数和中位数的定义解题即可；
（3）利用高于80分的占比乘以800解题即可.
21．【答案】（1）是双减数，此时
（2）设千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且，于是双减数
由题意，
能被11整数
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则
【解析】【分析】（1）运用“双减数”的定义判断解题即可；
（2）设千位数字为，十位数字为，然后表示“双减数”并化简为11(a-b)解题即可.
22．【答案】（1）如图，作于点，
由题知，
（海里）
即供给站到AB的距离为海里
（2）解：如图，作于点，则，
；
在Rt中，，
（海里），
（海里），
在Rt中，，
（海里），
（海里），
（海里），（海里），
（海里），
（海里），
甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，
甲到达处用时：（小时），
乙到达处用时：（小时），
，
甲先到达处
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)过点C作于点E，构造直角三角形，利用三角函数求解即可。
(2)过点D作于点F，分别求出甲、乙所用的时间，比较即可。
23．【答案】（1）①
②∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，且
（2）
∴抛物线的顶点为
∴抛物线的解析式为
①若
将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 则平移后的抛物线在的范围内最小值始终为-a，不符合题意；
②若
当 则当 时取得最小值
或
当 则当 时，函数
有最小值
解得
综上，的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】(1) 当 时，
①抛物线解析式为
∴顶点坐标为：，
故答案为：；
【分析】(1)①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得对称轴；
②根据二次函数的增减性得出 求出m的取值范围解题即可；
(2)求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意得到关于k的方程，解方程即可.
24．【答案】（1）证明： ∵弦AB⊥直径CD，
（2）证明如图1，
是等腰三角形，理由如下：
设AF， BC交于点H，
是等腰三角形
（3）如图2，
连接BG， AD，
由 (2) 知，
同理可得，
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出 从而得出∠AFC=∠CAB；
(2)设AF， BC交于点H， 可推出∠BCF+∠AFC=90°， ∠B+∠BCD=90°，∠ABC=∠AFC， 从而∠BCD=∠BCF， 进而得出∠CGH =∠AFC， 进一步得出结论；
(3)连接BG， AD， 可推出BG= BF =4，△AEG∽△CEA， 从而 根据得出 从而得出 进而依次求得BE，CE，CG， 可证得△AED∽△CEB， 从而得出DE·CE=AE·BE， 从而求得DE， DG， 可同理证得AG·FG=DG·EG， 从而求得FG的长，进一步得出结果.
1 / 1浙江省金华市婺城中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试题
1．（2025九下·婺城开学考）两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作-150元，那么80元表示（ ）
A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】D
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，支出150元记作-150元，则80元表示收入80元.
故答案为：D.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．（2025九下·婺城开学考）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
B、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
C、示意图是轴对称图形，符合题意；
D、示意图不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“沿着某条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”判断即可.
3．（2025九下·婺城开学考）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
4．（2025九下·婺城开学考）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体
【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱.
故答案为： A.
【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图.
5．（2025九下·婺城开学考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴有两个不相等的实数根，
故答案为： A.
【分析】根据判别式的值确定根的情况即可.
6．（2025九下·婺城开学考）生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
7．（2025九下·婺城开学考）如图是一个隧道的横截面，其形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，高米，则该圆的半径OA为（ ）
A．6米 B．7米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设此圆的半径为r米，则 米， 米，
由题意得： 米，
(米)
在 中，由勾股定理得：
解得：
即此圆的半径 米，
故答案为： C.
【分析】设此圆的半径为r米，则( 米， 米，由垂径定理得 米，然后在 中， 由勾股定理得出方程，解方程即可.
8．（2025九下·婺城开学考）已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数 的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若 且 在同一个象限，则 故选项错误，不符合题意；
B、若 且分别在三、一象限内，则 故选项错误，不符合题意；
C、若 则 故选项正确，符合题意；
D、若 则 ，当，既有， 当，既有，.故选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数 的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小.据此可判断.
9．（2025九下·婺城开学考）如图，在中，.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点；分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线AM.②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC，AB相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线BN，与射线AM相交于点.③连接CP.若点到直线AB的距离为1，则线段CP的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过P点作PD⊥AB于D点， PE⊥BC于E点， 如图， 则PE=1，
由作法得PB平分∠ABC， PC平分∠ACB，
∴PF=PE=1，∠PCF=45°，
∴△PCF为等腰直角三角形，
故答案为： B.
【分析】过P点作PD⊥AB于D点， PE⊥BC于E点， 如图，根据点到直线的距离得到PE =1，利用基本作图得到PB平分∠ABC， PC平分∠ACB， 则根据角平分线的性质得到PF=PE=1， ∠PCF=45°， 从而可判断△PCF为等腰直角三角形，解题即可.
10．（2025九下·婺城开学考）如图1，在矩形纸片ABCD中，，点是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次，第一次折叠纸片使点与点重合（如图2），折痕为MN，连结ME，NE；第二次折叠纸片使点与点重合（如图3），点落在处，折痕为HG，连结HE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
如图，过点 N 作 NK⊥DC，交 DC 于点K.
由折叠性质可知AM=ME.
设AM=x，则 ME=x，MD=10-x.
在 Rt△DEM 中，由勾股定理可得
解得
，
∵由∠D = ∠MEN = ∠EKN = 90°，
∴△MDE∽△EKN，
即
∵由折叠性质可知HG⊥EN，∠MEN=90°，
∴HG∥ME，点 H 是 MN 中点.
∴ MH = EH， ∠EHG = ∠HEM = ∠HME=∠AMN.
故答案为：D.
【分析】过点 N 作 NK⊥DC，交 DC 于点K，设AM=x，在 Rt△DEM 中，根据勾股定理求出x值，然后推导得到△MDE∽△EKN，根据对应边成比例得到EK的值，然后计算正切解题.
11．（2025九下·婺城开学考）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．（2025九下·婺城开学考）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球.
【答案】42
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：红球的个数为60×0.7=42(个)
故答案为：42.
【分析】根据大量重复实验的频率估计概率，然后根据概率公式计算解题.
13．（2025九下·婺城开学考）如图，正九边形内接于为正九边形的一边，点为正九边形的一个顶点，则 .
【答案】20
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接OA， OB，
∵正九边形内接于⊙O，
故答案为： 20.
【分析】根据正多边形中心角的计算方法求出∠AOB，再根据圆周角定理解题.
14．（2025九下·婺城开学考）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点
∴二元一次方程组 的解是
故答案为：
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案.
15．（2025九下·婺城开学考）如图，半径为1的在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其移动的过程中，所移动过的最大区域面积为 （结果保留）.
【答案】
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE， OF， 如图，
∵⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，
∴四边形OEDF为矩形，
∴四边形OEDF为正方形，
∵半径为1的⊙O在边长为4的正方形ABCD内任意移动，
∴⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积，
∴⊙O所移动过的最大区域面积
故答案为：
【分析】设⊙O与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，利用圆的切线的性质和正方形的判定定理得到四边形OEDF为正方形，最后利用⊙O所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积解答即可.
16．（2025九下·婺城开学考）如图，点是等边的边BC上的点（不与B、C重合），点是点关于AB的对称点，连结AD，DE，在AD上取一点，使得，射线EF与AC交于点，若，则 （用含的代数式表示）.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 如图， 连接BE， 过B作BP∥EG， 交AC于P，则∠BPC =∠EGP，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴∠ABE=∠ABD=60°，
∵∠C=60°，
∴∠EBD+∠C=180°，
∴EB∥GP，
∴四边形EBPG是平行四边形，
∴BE=PG，
∵∠DFG+∠C =120°+60°=180°，
∴∠FGC+∠FDC =180°，
∴∠ADB=∠BGP =∠BPC，
∵AB=BC， ∠ABD =∠C =60°，
∴△ABD≌△BCP(AAS)，
∴BD=PC=BE=PG，
∴CG=2BD，
在△BDE中， 易知∠EBD=120°， BE=BD，
故答案为：.
【分析】连接BE， 过B作BP∥EG， 交AC于P，证明四边形EBPG是平行四边形， 得BE= PG， 再证明△ABD≌△BCP(AAS)， 可得结论.
17．（2025九下·婺城开学考）计算：
【答案】原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算零次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可.
18．（2025九下·婺城开学考）解不等式组：
【答案】由①得
由②得
原不等式组的解为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】衔接两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解题即可.
19．（2025九下·婺城开学考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠： 证明： 垂直平分BD. ， 四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.
【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：
证明：
∴四边形ABCD 是平行四边形.
又
∴平行四边形ABCD 是菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”进行分析推理解题.
20．（2025九下·婺城开学考）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园”，传承华夏文明，学校随机抽取了20名学生进行诗词知识测试，测试成绩如下：83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86.
【整理数据】小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数分布表：
分组 频数
6
7
【解决问题】
（1） ， ；
（2）以上数据中，中位数是 ，众数是 ；
（3）竞赛成绩高于80分评价为“优秀”等级.试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”的约有多少人？
【答案】（1）1；6
（2）86.5；88
（3）解：（人）
【知识点】统计表；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在20个数据中， 的有1人， 的有6人，
故答案为：a=1，b=6；
（2）把数据排列为： 67、72、73、74、75、76、78、81、83、86、87、88、88、91、93、94、95、96、98、100，
居于中间的两个数为86和87，则中位数为；
在这组数据中88出现两次，故众数为88，
故答案为：86.5，88；
【分析】（1）把20个数据分组解题即可；
（2）先把数据从小到大排列，然后根据众数和中位数的定义解题即可；
（3）利用高于80分的占比乘以800解题即可.
21．（2025九下·婺城开学考）若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”.将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为.例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时.
（1）判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.
（2）命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由.
【答案】（1）是双减数，此时
（2）设千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且，于是双减数
由题意，
能被11整数
【知识点】整式的加减运算；有理数的减法法则
【解析】【分析】（1）运用“双减数”的定义判断解题即可；
（2）设千位数字为，十位数字为，然后表示“双减数”并化简为11(a-b)解题即可.
22．（2025九下·婺城开学考）如图，为海上一供给站，小岛在供给站的正西方向，灯塔在供给站的正南方向，另一供给站在灯塔的西南方向，与灯塔相距海里，在供给站处测得小岛在北偏西方向，且海里.
（1）求供给站到AB的距离；
（2）一游艇在小岛处突发故障滞留并发出求救信号，此时从处派出了两艘救援船甲、乙前往处救援，甲选择的路线为，乙选择的路线为，若甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，请通过计算说明甲、乙两艘救援船谁先到达处？（参考数据：）
【答案】（1）如图，作于点，
由题知，
（海里）
即供给站到AB的距离为海里
（2）解：如图，作于点，则，
；
在Rt中，，
（海里），
（海里），
在Rt中，，
（海里），
（海里），
（海里），（海里），
（海里），
（海里），
甲的速度为每小时海里，乙的速度为每小时海里，
甲到达处用时：（小时），
乙到达处用时：（小时），
，
甲先到达处
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)过点C作于点E，构造直角三角形，利用三角函数求解即可。
(2)过点D作于点F，分别求出甲、乙所用的时间，比较即可。
23．（2025九下·婺城开学考）已知二次函数．
（1）当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ▲ ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
（2）将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值.
【答案】（1）①
②∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，且
（2）
∴抛物线的顶点为
∴抛物线的解析式为
①若
将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 则平移后的抛物线在的范围内最小值始终为-a，不符合题意；
②若
当 则当 时取得最小值
或
当 则当 时，函数
有最小值
解得
综上，的值为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】(1) 当 时，
①抛物线解析式为
∴顶点坐标为：，
故答案为：；
【分析】(1)①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得对称轴；
②根据二次函数的增减性得出 求出m的取值范围解题即可；
(2)求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意得到关于k的方程，解方程即可.
24．（2025九下·婺城开学考）如图，CD是的直径，弦于点E，F为上一点，连结与CD交于点，连结CB交AF于点.
（1）求证：；
（2）当时，求证：是等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，若，求AF的长.
【答案】（1）证明： ∵弦AB⊥直径CD，
（2）证明如图1，
是等腰三角形，理由如下：
设AF， BC交于点H，
是等腰三角形
（3）如图2，
连接BG， AD，
由 (2) 知，
同理可得，
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出 从而得出∠AFC=∠CAB；
(2)设AF， BC交于点H， 可推出∠BCF+∠AFC=90°， ∠B+∠BCD=90°，∠ABC=∠AFC， 从而∠BCD=∠BCF， 进而得出∠CGH =∠AFC， 进一步得出结论；
(3)连接BG， AD， 可推出BG= BF =4，△AEG∽△CEA， 从而 根据得出 从而得出 进而依次求得BE，CE，CG， 可证得△AED∽△CEB， 从而得出DE·CE=AE·BE， 从而求得DE， DG， 可同理证得AG·FG=DG·EG， 从而求得FG的长，进一步得出结果.
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