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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题模拟严选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
3．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的
C．都没有变化 D．都不能确定
4．如图所示的物体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．三角形的内心是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处训得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（ ）
A．50sin 40°米 B．50cos40°米
C．米 D．米
8．如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，在正方形 中，对角线 相交于点 ，以 为边向外作等边 ，连接 交 于 若点 为 的延长线上一点，连接 ，连接 且 平分 ，下列选项正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 .（结果保留根号）
12．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝ .
13．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
14．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度i为 ：3，斜坡AC的坡面长度为32m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 m.
15．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝ ，则∠C的度数是 .
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，求正方形的边长.
18．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
19．如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连结，过点作交于点.
（1）求证：四边为平行四边形.
（2）若为中点，，求半圆的半径.
20．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
21． 如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，圆的半径为10，求的长.
22．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.
23．如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
24．如图，为的直径，为弦，为的切线，C为切点，点E在上，.连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
25．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F.
（1）求证：FC＝FD.
（2）①当∠CAB的度数为 时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为 .
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浙教版数学九年级下学期第一次月考
真题模拟严选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答．
【解答】∵∠α是等边三角形的一个内角，
∴∠α=60°．
∴cosα=cos60°=．
故选A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值和等边三角形的性质．
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
3．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的
C．都没有变化 D．都不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，
故选：C．
【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
4．如图所示的物体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：从左面看易得第一层有1个矩形，第二层最左边有一个正方形．
故选A．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
5．三角形的内心是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】B
【解析】【解答】解：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
故选B．
【分析】根据三角形内心的性质求解．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，
∴cosA=．
故选C．
【分析】直接根据余弦的定义即可得到答案．
7．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处训得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米．则赛道AB的长度为（ ）
A．50sin 40°米 B．50cos40°米
C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，
∵∠A＝40°，BC＝50米，
∴
∴AB＝
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数即可解决问题
8．如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．圆柱 D．球
【答案】C
【解析】【解答】∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱、圆锥或球，
∵左视图和主视图为长方形，
∴该几何体为圆柱．
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图作出判断即可
9．如图，等边边长为，和的角平分线相交于点O，将绕点O逆时针旋转得到，交BC于点D，交AC于点E，则DE=（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，如下图所示：
∵△ABC为等边三角形，且OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，
∴△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BH=CH=BC=，
∴BO=BH=4，
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴∠2=30°=∠1，
∴△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知：
BF=BO=2，
∴MO=BM=BF=，
∴MB1=OB1-OM=OB-OM=，
又由旋转可知∠B=∠B1=30°，且对顶角∠BMO=∠DMB1=120°，
∴∠MDB1=180°-∠B1-∠DMB1=180°-30°-120°=30°，
∴△MB1D为等腰三角形，
∴MD=MB1=，
∴CD=BC-MD-BM=，
∵对顶角∠EDC=∠MDB1=30°，且∠ACB=60°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴△CDE为30°、60°、90°直角三角形，
∴DE=CD=.
故答案为：B.
【分析】过O点作OH⊥BC于H，OB1与BC交于点M，过M作MF⊥BO于F，根据等边三角形的性质以及角平分线的概念可得∠1=∠ABC=30°，∠3=∠ACB=30°，根据等腰三角形的性质可得BH=CH=，然后求出BO，根据旋转的性质可得∠2=30°=∠1，由等腰三角形的性质可得BF=BO=2，然后求出MO、MB1，易得△MB1D为等腰三角形，则MD=MB1，由CD=BC-MD-BM可得CD，推出△CDE为直角三角形，然后根据三角函数的概念进行计算.
10．如图，在正方形 中，对角线 相交于点 ，以 为边向外作等边 ，连接 交 于 若点 为 的延长线上一点，连接 ，连接 且 平分 ，下列选项正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图1，连结OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=90°，OD=OB，OC=OA，BD=AC，
∴OD=OB=OC=OA，
∵△ADE是等边三角形， ，
∴ ，∠ADE=60°，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∵AE=DE，OD=OA，
∴OE垂直平分AD，即OE⊥AD，DH=AH ，
∴ ，
，
∴ ，
∵∠ADC=∠DHE=90°，
∴CD∥OE，
∴△CDF∽△EOF，
∴ ，则 ，即 ，
∵ ，则 ，
∴ ，解得： ，故①符合题意；
∵ ，
又∵CD∥OE，
∴ ，
∴
，
故②符合题意；
如图2，过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，则 为等腰三角形，
在 中， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
由 得： ，则 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ，则 ，
，
∵FM平分∠AMC，
∴∠CMF=∠AMF，
在△MCF和△MTF中，
，
∴△MCF≌△MTF（SAS），
∴CF=FT，
在Rt△CFP和Rt△FTQ中，
∴Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，则 为等边三角形，
∴ ，故③符合题意；
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
，
在 中， ，
∴ ，
∵
∴ ，故④不符合题意；
∴正确的选项有3个，
故答案为：C．
【分析】①连结OE，根据正方形性质和等边三角形性质可证：OE垂直平分AD，进而可证：△CDF∽△EOF，由相似三角形性质即可求得DF；②由 ，又由两条平行之间的距离处处相等得 ，即可得 ，利用三角形面积公式计算即可得出结果；
③过点F作PQ⊥CD分别交CD、AB于点P、Q，在MA上截取MT=MC，连接FT、CT，求得相关的线段长，可证：△MCF≌△MTF（SAS），Rt△CFP≌Rt△FTQ（HL），求出BT的长，利用特殊角的三角函数值和等边三角形的判定与性质即可求得 ；
④根据解直角三角形和线段的加减运算分别求出 的长，整理即可得出这三条线段之间的数量关系，即可做出判断．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度 .（结果保留根号）
【答案】（6+4 ）米
【解析】【解答】解：在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，
∴DE DC＝2(米)，
过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，
∴∠FBD＝45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF＝DF＝x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF＝DE＝2米，即AB＝（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴ （米），
BD BF x米，DC＝4米，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得： ，
解得：x＝4+4 ，
则AB＝（6+4 ）米.
故答案为：（6+4 ）米.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得DE=CD=2米，过D作DF⊥AB，交AB于点F，易得△BFD为等腰直角三角形，设BF＝DF＝x米，根据矩形的性质可得AF＝DE＝2米，则AB＝(x+2)米，根据三角函数的概念可得BC、BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理可求出x，进而可得AB.
12．如图，在5×5的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O，则tan∠AOC＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
根据勾股定理可得：，，
，
∵，
∴，
∴∠FCD＝90°，
∴.
故答案为：.
【分析】将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，则∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，利用勾股定理可得CF、CD、DF的值，结合勾股定理逆定理知△FCD为直角三角形，且∠FCD＝90°，然后根据三角函数的概念进行计算.
13．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， cos∠OAB= ，则AB的长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC.
∵AB是⊙O切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
∵cos∠OAB= ，
∴设
根据勾股定理得，
.
故答案为： .
【分析】连接OC，由切线的性质可得OC⊥AB，AC=BC，设AC=2x，则OA=3x，然后在Rt△OAC中利用勾股定理表示出OC，由OC=OD=2可求得x的值，进而得到AC、AB的值.
14．活动楼梯如图所示，∠B＝90°，斜坡AC的坡度i为 ：3，斜坡AC的坡面长度为32m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为 m.
【答案】
【解析】【解答】解：设 ，
根据坡度为 ：3，则 ，
根据勾股定理得： ，
解得： （舍负值），
∴ ，
故答案为： .
【分析】设AB=3x，根据坡度的概念可表示出BC，然后由勾股定理可求得x的值，进而得到BC的值.
15．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝ ，则∠C的度数是 .
【答案】105°
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，cosA＝ ，
∴∠A=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°.
故答案为：105°
【分析】由cosA＝ 得出∠A=30°，利用三角形内角和定理即可求出结论.
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，
设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，
∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1，
∵∠ACB=90°，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α
∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β，
∴90°-α=α+2β，
∴2α+2β=90°，
∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β，
∴∠FGD=∠B，
∵，
∴
解之：，
∴；
∵∠FGD=2β，∠BAE=β，
∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE，
∴GF=AG，
在Rt△FGD中，
FG2+DF2=GD2即AG2+4=（x-AG）2，
解之：，
解之：x1=4，x2=0（舍去），
∴AD=4.
故答案为：4
【分析】过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，可表示出∠ADF，∠B，AC=AD=x，可表示出BA的长，再利用等腰三角形的性质可得到2α+2β=90°，；再证明∠FGD=∠B，利用解直角三角形可得到方程，解方程表示出DG，AG的长；利用三角形的外角的性质可表示出∠GFA，利用等角对等边可证得GF=AG，在Rt△FGD中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点.
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为，求正方形的边长.
【答案】（1）证明：如下图，过O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切
（2）解：的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为.
【解析】【分析】 （1）过O作于H， 由正方形，可得， 证明，再证明从而可得结论；
（2）先根据勾股定理求出，从而可得，再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案．
18．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
19．如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连结，过点作交于点.
（1）求证：四边为平行四边形.
（2）若为中点，，求半圆的半径.
【答案】（1）证明：连结OE，
∵AE切半圆于点E，
∴OE⊥AB，
为的中点，OE为半径，
∴FD∥AB，
.
四边形DEGF是平行四边形；
（2）解：连结OE交DF于点H，
设，则，
∵CF为直径，
，
四边形BDHE为矩形，
∵D为BC中点，GE∥DF，
四边形DEGF是平行四边形，
，
解得：
.
【解析】【分析】（1）连结OE，由圆的切线垂直于经过切点的直径得OE⊥AB，由垂径定理得OE⊥DF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得FD∥AB，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连结OE交DF于点H，由垂径定理得FH=HD，由三角形的中位线定理得OH=CD，设OH=x，则CD=BD=2x，由直径所对的圆周角是直角得∠CDF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BDHE为矩形，由矩形性质得EH=BD=2x，DH=BE，OE=OF=OC=3x，由勾股定理表示出DF，由三角形的中位线定理可表示出AB，由平行四边形的对边相等可得GE的长，进而根据AG=AB-BE-GE建立方程可求出x的值，从而此题得解.
20．如图，已知矩形中.
（1）请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
（2）在（1）的条件下若，，求出的值.
【答案】（1）解：如图
（2）解： EC平分
矩形ABCD
，
在中由勾股定理得
在中得
.
【解析】【解答】解：（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求.
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质可得∠BEC=∠BCE，于是由等角对等边可得BC=BE，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求得AE的值，由线段的构成ED=AD-AE可求得ED的值，在直角三角形CDE中，根据锐角三角函数=可求解.
21． 如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，圆的半径为10，求的长.
【答案】（1）证明：连接.
平分，
，
∴，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：作直径，连接.
∵，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
，
，
负根已经舍去，
.
【解析】【分析】（1）连接. 根据角平分线的定义及垂径定理可得， 利用平行线的性质可得 ， 根据切线的判定定理即证；
（2）作直径，连接.由（1）知，可得，从而得出，根据圆周角定理及锐角三角函数可得 ， 设，则， 在Rt△DBR中，利用勾股定理建立方程并解之即可.
22．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝4，∠A＝30°，求图中由BD、BE、弧DE围成阴影部分面积.
【答案】（1）解：直线BD与⊙O的位置关系是相切
证明：连接OD、DE
∵∠C＝90°
∴∠CBD+∠CDB＝90°
∵∠A＝∠CBD
∴∠A+∠CDB＝90°
∵OD＝OA
∴∠A＝∠ADO
∴∠ADO+∠CDB＝90°
∴∠ODB＝180°-90°＝90°
∴OD⊥BD
∵OD为半径
∴BD是⊙O切线
（2）解：∵AE是⊙O直径
∴∠ADE＝90°
∵AE＝4，∠A＝30°
∴DE＝AE＝2，∠AED＝60°
∵OD＝OE
∴△DOE是等边三角形
∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2
∵∠ODB＝90°
∴∠EDB＝30°
∴∠B＝∠DEO-∠EDB＝60°-30°＝30°
∴OB＝2OD＝4
由勾股定理得：DB＝，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB-S扇形DOE
＝
＝.
【解析】【分析】（1）连接OD、DE，由已知条件可知∠A=∠CBD，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，结合∠A+∠CDB=90°可得∠ODB＝90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠ADE＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得DE＝AE＝2，推出△DOE是等边三角形，得到∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠EDB＝30°，∠B＝∠DEO-∠EDB＝30°，OB＝2OD＝4，由勾股定理可得DB，然后根据S阴影=S△ODB-S扇形DOE进行计算.
23．如图①中共线，若米，的范围：的范围：.
（1）如图②，当，BC恰好垂直时，求的长；（结果保留根号）
（2）若（1）中长度不变，求点间最远的距离多少米.（结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，
，
答：的长为；
（2）解：如图：
由题意得，，时，伸展到最远，过点作交的延长线于，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
.
∴点C、A间最远的距离为米.
【解析】【分析】（1）根据∠MAB的正弦函数的概念就可求出BC；
（2）由题意得∠MAB=30°，∠ABC=105°时，伸展到最远，过点B作BD⊥MN交NM的延长线于D，根据三角函数的概念可得AD、CD，然后根据AC=CD+AD进行计算.
24．如图，为的直径，为弦，为的切线，C为切点，点E在上，.连接.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵切于C，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，则，
∵，
∴，
解得（不合题意的值舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC、OE，首先由SSS判断出△AOC≌△EOC，得∠ACO=∠ECO，根据等腰三角形的三线合一得OC⊥AE，由直径所对的圆周角是直角得BE⊥AE，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥OC，由切线的性质得OC⊥PC，推出BE⊥PC；
（2）连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由勾股定理算出BC，由同角的余角相等得∠PCB=∠ACO，由等边对等角得∠CAO=∠ACO，故∠PCB=∠CAO，进而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCB∽△PAC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PC的长；由圆周角定理得∠CEB=∠CAB=∠BCP，由PC∥AE推出∠P=∠BAE，由圆周角定理得∠ECB=∠EAB，则∠P=∠ECB，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCB∽△CEB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出EB的长.
25．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点（不与点A，B重合），D是弦AC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F.
（1）求证：FC＝FD.
（2）①当∠CAB的度数为 时，四边形OEFC是矩形；②若D是弦AC的中点，⊙O的半径为5，AC＝8，则FC的长为 .
【答案】（1）解：∵FC是圆的切线，
∴∠FCD+∠ACO＝90°，
∵FE⊥BA，
∴∠ADE+∠CAO＝90°，
而∠CAO＝∠ACO，∠ADE＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FC＝FD；
（2）45；
【解析】【解答】解：(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，
则四边形OEFC是矩形，
故答案为：45；
②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，
设∠FDC＝α，
∵ FD=FC，∴DM= CD，
∵D是弦AC的中点，
∴OD⊥AC，AD＝DC，
∴∠ADE+∠EDO=90°，
∵∠DEO=90°，
∴∠EDO+∠EOD=90°，
∴∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，
∵AD＝CD＝ AC＝4，OA＝5，
∴DO＝ =3，
∴cosα＝ ，
∴在△FDC中，FD＝ ＝ ，
∴FC= .
故答案为：.
【分析】(1)证明∠FDC＝∠FCD，即可求解；
(2)①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，即可求解；②连接OD，过点F作FM⊥CD，垂足为M，设∠FDC＝α，由D是弦AC的中点，则OD⊥AC，求出cosα＝ ，继而根据FD＝ 即可求解.
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