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【中考真题汇编】江苏13大市三年(2022-2024)中考真题分类汇编
专题07 三角形与解直角三角形(3年中考,7大题型)
题型一 全等三角形的性质与判定 1
题型二 相似三角形的性质与判定 5
题型三 等腰/等边三角形的性质与判定 8
题型四 解直角三角形 8
题型五 三角形中的旋转问题 17
题型六 三角形中的翻折问题 19
题型七 三角形中的动点问题 20
题型一 全等三角形的性质与判定
1.(2023·江苏南通·中考真题)如图,点,分别在,上,,,相交于点,.
求证:.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.第一步
又,,
∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第___________步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
2.(2022·江苏淮安·中考真题)已知:如图,点、、、在一条直线上,且,,.求证:.
3.(2024·江苏盐城·中考真题)已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,,.
若________,则.
请从①;②;③这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
4.(2023·江苏镇江·中考真题)如图,B是AC的中点,点D,E在同侧,,.
(1)求证:≌.
(2)连接,求证:四边形是平行四边形.
5.(2023·江苏·中考真题)已知:如图,点为线段上一点,,,.求证:.
6.(2024·江苏镇江·中考真题)如图,,.
(1)求证:;
(2)若,则__________°.
7.(2024·江苏南通·中考真题)如图,点D在的边上,经过边的中点E,且.求证.
8.(2024·江苏苏州·中考真题)如图,中,,分别以B,C为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点D,连接,,,与交于点E.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
9.(2023·江苏泰州·中考真题)如图,是五边形的一边,若垂直平分,垂足为,且____________,____________,则____________.
给出下列信息:①平分;②;③.请从中选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.
题型二 相似三角形的性质与判定
10.(2022·江苏盐城·中考真题)如图,在与中,点、分别在边、上,且,若___________,则.请从①;②;③这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.
11.(2023·江苏南京·中考真题)如图,玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔,点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下,在地面上形成的影子为(不计折射),.
(1)在桌面上沿着方向平移铅笔,试说明的长度不变.
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方,且,,,桌面的高度为.在点O与所确定的平面内,将绕点A旋转,使得的长度最大.
①画出此时所在位置的示意图;
②的长度的最大值为 cm.
12.(2022·江苏苏州·中考真题)(1)如图1,在△ABC中,,CD平分,交AB于点D,//,交BC于点E.
①若,,求BC的长;
②试探究是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(2)如图2,和是△ABC的2个外角,,CD平分,交AB的延长线于点D,//,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为,△CDE的面积为,△BDE的面积为.若,求的值.
13.(2023·江苏宿迁·中考真题)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离,,,求建筑物AB的高度.
【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
题型三 等腰/等边三角形的性质与判定
14.(2024·江苏常州·中考真题)如图,B、E、C、F是直线l上的四点,相交于点G,,,.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)连接,则与l的位置关系是________.
15.(2024·江苏常州·中考真题)将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起,使点E、B分别在边上(端点除外),边相交于点G,边相交于点H.
(1)如图1,当E是边的中点时,两张纸片重叠部分的形状是________;
(2)如图2,若,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;
(3)如图3,当,时,与有怎样的数量关系?试说明理由.
题型四 解直角三角形
16.(2022·江苏淮安·中考真题)如图,湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离,经测量得:,,米,求、两点之间的距离.(参考数据:,,,,,)
17.(2022·江苏南京·中考真题)如图,灯塔位于港口的北偏东方向,且、之间的距离为,灯塔位于灯塔的正东方向,且、之间的距离为,一艘轮船从港口出发,沿正南方向航行到达处,测得灯塔位于北偏东方向上,这时,处距离港口有多远(结果取整数)?(参考数据:,,,,,)
18.(2022·江苏连云港·中考真题)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角,再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角,;小亮在点处竖立标杆,小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上,,.(注:结果精确到,参考数据:,,)
(1)求阿育王塔的高度;
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离.
19.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°,信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼的高度为20m,求信号塔的高度(计算结果保留根号).
20.(2022·江苏泰州·中考真题)小强在物理课上学过平面镜成像知识后,在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图,老师在该厂房顶部安装一平面镜MN,MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°,厂房高AB= 8 m,房顶AM与水平地面平行,小强在点M的正下方C处从平面镜观察,能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少 (结果精确到0.1 m,参考数据:sin34°≈0.56, tan34°≈0.68,tan56°≈1.48)
21.(2022·江苏盐城·中考真题)2022年6月5日,“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,是垂直于工作台的移动基座,、为机械臂,m,m,m,.机械臂端点到工作台的距离m.
(1)求、两点之间的距离;
(2)求长.
(结果精确到0.1m,参考数据:,,,)
22.(2022·江苏徐州·中考真题)如图,公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面,坡角.在阳光下,小明观察到在地面上的影长为,在坡面上的影长为.同一时刻,小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度.
23.(2023·江苏连云港·中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥处出发,沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布,再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布.求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米?(结果精确到)
(参考数据:)
24.(2023·江苏徐州·中考真题)徐州电视塔为我市的标志性建筑之一,如图,为了测量其高度,小明在云龙公园的点处,用测角仪测得塔顶的仰角,他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处,测得塔顶的仰角.若测角仪距地面的高度,求电视塔的高度(精确到.(参考数据:)
25.(2023·江苏泰州·中考真题)如图,堤坝长为,坡度i为,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高的铁塔.小明欲测量山高,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角为.求堤坝高及山高.(,,,小明身高忽略不计,结果精确到)
26.(2023·江苏·中考真题)根据以下材料,完成项目任务,
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明:点为古塔底面圆圆心,测角仪高度,在处分别测得古塔顶端的仰角为,测角仪所在位置与古塔底部边缘距离.点 在同一条直线上.
参考数据
项目任务
(1) 求出古塔的高度.
(2) 求出古塔底面圆的半径.
27.(2024·江苏连云港·中考真题)图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图2,正八边形游乐城的边长为,南门设立在边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路,在上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路,C处有一座雕塑.在处测得雕塑在北偏东方向上,在处测得雕塑在北偏东方向上.
(1)__________,__________;
(2)求点到道路的距离;
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走,求她离处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?(结果精确到,参考数据:,,,,)
28.(2024·江苏苏州·中考真题)图①是某种可调节支撑架,为水平固定杆,竖直固定杆,活动杆可绕点A旋转,为液压可伸缩支撑杆,已知,,.
(1)如图②,当活动杆处于水平状态时,求可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度,且(为锐角),求此时可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号).
29.(2024·江苏宿迁·中考真题)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了测量方案,在实地测量后撰写活动报告,报告部分内容如下表:
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图,步骤如下: ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角; ②沿着CA方向走到E处,用皮尺测得米; ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角.
…
已知测角仪的高度为1.2米,点C、E、A在同一水平直线上.根据以上信息,求塔的高度,
(参考数据:)
30.(2024·江苏镇江·中考真题)图1、2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图,此时点E落在上,已知,,点D、F、G、J在上,、、、均与所在直线平行,,.点N在上,、的长度固定不变.图5是折叠梯完全折叠时的主视图,此时、重合,点、、、、、在上的位置如图所示.
【分析问题】
(1)如图5,用图中的线段填空:_________;
(2)如图4,_________,由,且的长度不变,可得与之间的数量关系为_________;
【解决问题】
(3)求的长.
31.(2024·江苏徐州·中考真题)如图,在徐州云龙湖旅游景区,点为“彭城风华”观演场地,点为“水族展览馆”,点为“徐州汉画像石艺术馆”.已知,,.求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离(精确到).(参考数据:,)
32.(2023·江苏南京·中考真题)如图,为了测量无人机的飞行高度,在水平地面上选择观测点A,B. 无人机悬停在C处,此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处,此时在B 处测得 D的仰角为点A, B, C, D在同一平面内, A, B两点在 的同侧. 求无人机在 C 处时离地面的高度.(参考数据:)
题型五 三角形中的旋转问题
33.(2023·江苏扬州·中考真题)【问题情境】
在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作和,设.
【操作探究】
如图1,先将和的边、重合,再将绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为,旋转过程中保持不动,连接.
(1)当时,________;当时,________;
(2)当时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的面积;
(3)如图2,取的中点F,将绕着点A旋转一周,点F的运动路径长为________.
34.(2022·江苏连云港·中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中,小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中,,.
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转.
(1)如图2,当点落在边上时,延长交于点,求的长.
(2)若点、、在同一条直线上,求点到直线的距离.
(3)连接,取的中点,三角板由初始位置(图1),旋转到点、、首次在同一条直线上(如图3),求点所经过的路径长.
(4)如图4,为的中点,则在旋转过程中,点到直线的距离的最大值是_____.
题型六 三角形中的翻折问题
35.(2022·江苏南京·中考真题)在平面内,先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小,再将所得多边形沿过该点的直线翻折,我们称这种变换为自位似轴对称变换,变换前后的图形成自位似轴对称.
例如:如图①,先将以点为位似中心缩小,得到,再将沿过点的直线翻折,得到,则与成自位似轴对称.
(1)如图②,在中,,,,垂足为,下列3对三角形:①与;②与;③与.其中成自位似轴对称的是________(填写所有符合条件的序号);
(2)如图③,已知经过自位似轴对称变换得到,是上一点,用直尺和圆规作点,使与是该变换前后的对应点(保留作图痕迹,写出必要的文字说明);
(3)如图④,在中,是的中点,是内一点,,,连接,求证:.
题型七 三角形中的动点问题
36.(2022·江苏扬州·中考真题)如图1,在中,,点在边上由点向点运动(不与点重合),过点作,交射线于点.
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系,并说明理由;
①点在线段的延长线上且;
②点在线段上且.
(2)若.
①当时,求的长;
②直接写出运动过程中线段长度的最小值.
37.(2022·江苏徐州·中考真题)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=12,点P在边AB上,D、E分别为BC、PC的中点,连接DE.过点E作BC的垂线,与BC、AC分别交于F、G两点.连接DG,交PC于点H.
(1)∠EDC的度数为 ;
(2)连接PG,求△APG 的面积的最大值;
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系?请说明理由;
(4)求的最大值.
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【中考真题汇编】江苏13大市三年(2022-2024)中考真题分类汇编
专题07 三角形与解直角三角形(3年中考,7大题型)
题型一 全等三角形的性质与判定 1
题型二 相似三角形的性质与判定 9
题型三 等腰/等边三角形的性质与判定 18
题型四 解直角三角形 22
题型五 三角形中的旋转问题 42
题型六 三角形中的翻折问题 48
题型七 三角形中的动点问题 50
题型一 全等三角形的性质与判定
1.(2023·江苏南通·中考真题)如图,点,分别在,上,,,相交于点,.
求证:.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵,
∴.
∵,
∴.第一步
又,,
∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中,第___________步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
【答案】(1)二
(2)见解析
【详解】(1)解:则小虎同学的证明过程中,第二步出现错误,
故答案为:二.
(2)证明:∵,
,
在和中,
,
,
,
在和中,
,
,
.
2.(2022·江苏淮安·中考真题)已知:如图,点、、、在一条直线上,且,,.求证:.
【答案】见解析
【详解】证明:∵,
∴,
∴,
∵在和中,
∴,
∴.
3.(2024·江苏盐城·中考真题)已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,,.
若________,则.
请从①;②;③这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
【答案】①或③(答案不唯一),证明见解析
【详解】解:选择①;
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,即;
选择②;
无法证明,
无法得出;
选择③;
∵,
∴,
∵, ,
∴,
∴,
∴,即;
故答案为:①或③(答案不唯一)
4.(2023·江苏镇江·中考真题)如图,B是AC的中点,点D,E在同侧,,.
(1)求证:≌.
(2)连接,求证:四边形是平行四边形.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】(1)解:∵B是的中点,
∴.
在和中,
∴≌().
(2)如图所示,
∵≌,
∴,
∴.
又∵,
∴四边形是平行四边形.
5.(2023·江苏·中考真题)已知:如图,点为线段上一点,,,.求证:.
【答案】证明见详解;
【详解】证明:∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
6.(2024·江苏镇江·中考真题)如图,,.
(1)求证:;
(2)若,则__________°.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】(1)证明:在和中,
,
;
(2)解:,,
,
由(1)知,
,
故答案为:20.
7.(2024·江苏南通·中考真题)如图,点D在的边上,经过边的中点E,且.求证.
【答案】见详解
【详解】证明:∵点E为边的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
8.(2024·江苏苏州·中考真题)如图,中,,分别以B,C为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点D,连接,,,与交于点E.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明:由作图知:.
在和中,
.
(2)解:,,
.
又,
,.
,
,
.
9.(2023·江苏泰州·中考真题)如图,是五边形的一边,若垂直平分,垂足为,且____________,____________,则____________.
给出下列信息:①平分;②;③.请从中选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命题,补全图形,并加以证明.
【答案】②③,①或①②,③;证明见详解
【详解】情况一:,,
证明:根据题意补全图形如图所示:
∵垂直平分,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
∴平分;
故答案为:.
情况二:,,
证明:根据题意补全图形如图所示:
∵垂直平分,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴.
故答案为:②③,①或①②,③
题型二 相似三角形的性质与判定
10.(2022·江苏盐城·中考真题)如图,在与中,点、分别在边、上,且,若___________,则.请从①;②;③这三个选项中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.
【答案】见解析.
【详解】解:若选①,
证明:∵,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
又,
∴.
选择②,不能证明.
若选③,
证明:∵,
∴,∴,
又∵,
∴.
11.(2023·江苏南京·中考真题)如图,玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔,点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下,在地面上形成的影子为(不计折射),.
(1)在桌面上沿着方向平移铅笔,试说明的长度不变.
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方,且,,,桌面的高度为.在点O与所确定的平面内,将绕点A旋转,使得的长度最大.
①画出此时所在位置的示意图;
②的长度的最大值为 cm.
【答案】(1)见解析
(2)①见解析;②
【详解】(1)解:设平移到,在地面上形成的影子为.
,
,,,
,,,
,
,
,
沿着方向平移时,长度不变.
(2)解:①以为圆心,长为半径画圆,
当与相切于时,此时最大为.
此时所在位置为.
②,,
,
,
设,则,
在中,
,
,
,
,(舍去),
,
由①,
,
,
即的长度的最大值为,
故答案为:80.
12.(2022·江苏苏州·中考真题)(1)如图1,在△ABC中,,CD平分,交AB于点D,//,交BC于点E.
①若,,求BC的长;
②试探究是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(2)如图2,和是△ABC的2个外角,,CD平分,交AB的延长线于点D,//,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为,△CDE的面积为,△BDE的面积为.若,求的值.
【答案】(1)①;②是定值,定值为1;(2)
【详解】(1)①∵CD平分,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
②∵,
∴.
由①可得,
∴.
∴.
∴是定值,定值为1.
(2)∵,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴.
设,则.
∵CD平分,
∴.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
如图,过点D作于H.
∵,
∴.
∴.
13.(2023·江苏宿迁·中考真题)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离,,,求建筑物AB的高度.
【活动探究】
观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出;再将镜子移动至处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出.经测得,小军的眼睛离地面距离,,求这个广告牌AG的高度.
【应用拓展】
小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出;③测出坡长;④测出坡比为(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).
【答案】[问题背景] ;[活动探究] ;[应用拓展]
【详解】解:[问题背景]如图所示:
,,
,
,
,
,,,
,解得;
[活动探究]如图所示:
,
,
,
,
,,
,
,
,解得;
,
,
,
,
,,
,
,
,解得;
;
[应用拓展] 如图,过点作于点,过点作于点,
由题意得:,,
,
,
,
即,
,,
,
,
即,
,
,
,
由题意得:,
,
,,
设,,则,,
,
,
解得:(负值已舍去),
,,
,
,
同【问题背景】得:,
,
,
解得:,
,
答:信号塔的高度约为.
题型三 等腰/等边三角形的性质与判定
14.(2024·江苏常州·中考真题)如图,B、E、C、F是直线l上的四点,相交于点G,,,.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)连接,则与l的位置关系是________.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)证明:在和中
,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形;
(2)∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∵,
∴,
∴.
15.(2024·江苏常州·中考真题)将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起,使点E、B分别在边上(端点除外),边相交于点G,边相交于点H.
(1)如图1,当E是边的中点时,两张纸片重叠部分的形状是________;
(2)如图2,若,求两张纸片重叠部分的面积的最大值;
(3)如图3,当,时,与有怎样的数量关系?试说明理由.
【答案】(1)菱形
(2)
(3),理由见解析
【详解】(1)解:如图所示,连接
∵都是等边三角形,
∴,
∴四点共圆,
∵点E是的中点,
∴,
∴为过的圆的直径,
又∵,
∴为过的圆的直径,
∴点H为圆心,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是菱形,
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形;
(2)解:∵都是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴是等边三角形,
过点E作,
∴设,则,,
∴,
∴
,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为;
(3)解:,理由如下:
如图所示,过点B作于M,过点E作于N,连接,
∵都是边长为的等边三角形,
∴,,
∴由勾股定理可得,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,即.
题型四 解直角三角形
16.(2022·江苏淮安·中考真题)如图,湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离,经测量得:,,米,求、两点之间的距离.(参考数据:,,,,,)
【答案】、两点之间的距离约为94米
【详解】如图,过点作,垂足为点,
在中,
∵,米,
∴,,
∴(米),
(米),
在中,
∵,米,
∴,
∴(米),
∴(米).
答:、两点之间的距离约为94米.
17.(2022·江苏南京·中考真题)如图,灯塔位于港口的北偏东方向,且、之间的距离为,灯塔位于灯塔的正东方向,且、之间的距离为,一艘轮船从港口出发,沿正南方向航行到达处,测得灯塔位于北偏东方向上,这时,处距离港口有多远(结果取整数)?(参考数据:,,,,,)
【答案】处距离港口约
【详解】解:过点作的延长线于点
在中,,
∵,,,
∴,
在中,
∵,,
∴
∴
∴处距离港口约.
18.(2022·江苏连云港·中考真题)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角,再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角,;小亮在点处竖立标杆,小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上,,.(注:结果精确到,参考数据:,,)
(1)求阿育王塔的高度;
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)在中,∵,
∴.
∵,
∴.
在中,由,
得,
解得.
经检验是方程的解
答:阿育王塔的高度约为.
(2)由题意知,
∴,
即,
∴.
经检验是方程的解
答:小亮与阿育王塔之间的距离约为.
19.(2022·江苏宿迁·中考真题)如图,某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°,信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼的高度为20m,求信号塔的高度(计算结果保留根号).
【答案】(20+20)m.
【详解】解:过点A作AE⊥CD于点E,
由题意可知,∠B=∠BDE=∠AED=90°,
∴四边形ABDE是矩形,
∴DE=AB=20m,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=30°,DE=20m,
∵tan∠DAE=,
∴m,
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠CAE=45°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴ m,
∴CD=CE+DE=(20+20)m,
∴信号塔的高度为(20+20)m.
20.(2022·江苏泰州·中考真题)小强在物理课上学过平面镜成像知识后,在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图,老师在该厂房顶部安装一平面镜MN,MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°,厂房高AB= 8 m,房顶AM与水平地面平行,小强在点M的正下方C处从平面镜观察,能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少 (结果精确到0.1 m,参考数据:sin34°≈0.56, tan34°≈0.68,tan56°≈1.48)
【答案】
【详解】解:过M点作ME⊥MN交CD于E点,如下图所示:
∵C点在M点正下方,
∴CM⊥CD,即∠MCD=90°,
∵房顶AM与水平地面平行,AB为墙面,
∴四边形AMCB为矩形,
∴MC=AB=8m,AB∥CM,
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°,
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C,结合物理学知识可知:
∴∠NME=90°,
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°,
∴∠CMD=56°,
在Rt△CMD中,,代入数据:,
∴,
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是.
21.(2022·江苏盐城·中考真题)2022年6月5日,“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,是垂直于工作台的移动基座,、为机械臂,m,m,m,.机械臂端点到工作台的距离m.
(1)求、两点之间的距离;
(2)求长.
(结果精确到0.1m,参考数据:,,,)
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m
【详解】(1)解:如图2,连接,过点作,交的延长线于.
在中,,
,所以,
,所以,
在中,m,m,
根据勾股定理得m,
答:、两点之间的距离约6.7m.
(2)如图2,过点作,垂足为,
则四边形为矩形,m,,
所以m,
在中,m,m,
根据勾股定理得m.
m.
答:的长为4.5m.
22.(2022·江苏徐州·中考真题)如图,公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面,坡角.在阳光下,小明观察到在地面上的影长为,在坡面上的影长为.同一时刻,小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm(其影子完全落在地面上).求立柱AB的高度.
【答案】(170+60)cm
【详解】解:延长AD交BN于点E,过点D作DF⊥BN于点F,
在Rt△CDF中,∠CFD=90°,∠DCF=30°,
则DF=CD=90(cm),CF=CD cos∠DCF=180×=90(cm),
由题意得:=,即=,
解得:EF=135,
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm,
则=,
解得:AB=170+60,
答:立柱AB的高度为(170+60)cm.
23.(2023·江苏连云港·中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥处出发,沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布,再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布.求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米?(结果精确到)
(参考数据:)
【答案】
【详解】过点作,垂足为.
在中,,
∴.
过点作,垂足为.
在中,,
∴.
∵,
∴.
答:从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为.
24.(2023·江苏徐州·中考真题)徐州电视塔为我市的标志性建筑之一,如图,为了测量其高度,小明在云龙公园的点处,用测角仪测得塔顶的仰角,他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处,测得塔顶的仰角.若测角仪距地面的高度,求电视塔的高度(精确到.(参考数据:)
【答案】
【详解】解:∵,,,,
∴四边形是矩形,,
∴,,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
在中,,,
∴,
在中,,,
∴,
∴,
∴,
解得,
∴电视塔的高度.
25.(2023·江苏泰州·中考真题)如图,堤坝长为,坡度i为,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高的铁塔.小明欲测量山高,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角为.求堤坝高及山高.(,,,小明身高忽略不计,结果精确到)
【答案】堤坝高为8米,山高为20米.
【详解】解:过B作于H,
∵坡度i为,
∴设,,
∴,
∴,
∴,
过B作于F,
则,
设,
∵.
∴,
∴,
∵坡度i为,
∴,
∴,
∴(米),
∴(米),
答:堤坝高为8米,山高为20米.
26.(2023·江苏·中考真题)根据以下材料,完成项目任务,
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 说明:点为古塔底面圆圆心,测角仪高度,在处分别测得古塔顶端的仰角为,测角仪所在位置与古塔底部边缘距离.点 在同一条直线上.
参考数据
项目任务
(1) 求出古塔的高度.
(2) 求出古塔底面圆的半径.
【答案】(1)古塔的高度为;(2)古塔底面圆的半径为.
【详解】解:(1)如图所示,延长交于点,则四边形是矩形,
∴,
依题意,,,
设,则,
在中,,
解得:,
∴古塔的高度为.
(2),,
∴.
答:古塔的高度为,古塔底面圆的半径为.
27.(2024·江苏连云港·中考真题)图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图2,正八边形游乐城的边长为,南门设立在边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路,在上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路,C处有一座雕塑.在处测得雕塑在北偏东方向上,在处测得雕塑在北偏东方向上.
(1)__________,__________;
(2)求点到道路的距离;
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走,求她离处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?(结果精确到,参考数据:,,,,)
【答案】(1),
(2)2.0千米
(3)
【详解】(1)解:∵正八边形的一个外角的度数为:,
∴,;
故答案为:;
(2)过点作,垂足为.
在中,,,
.
在中,,
.
答:点到道路的距离为2.0千米.
(3)连接并延长交于点,延长交于点,过点作,垂足为.
正八边形的外角均为,
在中,.
.
又,,
.
∵,
∴,
,即,
,
.
答:小李离点不超过2.4km,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
28.(2024·江苏苏州·中考真题)图①是某种可调节支撑架,为水平固定杆,竖直固定杆,活动杆可绕点A旋转,为液压可伸缩支撑杆,已知,,.
(1)如图②,当活动杆处于水平状态时,求可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度,且(为锐角),求此时可伸缩支撑杆的长度(结果保留根号).
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)解:如图,过点C作,垂足为E,
由题意可知,,
又,
四边形为矩形.
,,
,.
,
.
在中,.
即可伸缩支撑杆的长度为;
(2)解:过点D作,交的延长线于点F,交于点G.
由题意可知,四边形为矩形,
.
在中,,
.
,
,
,.
,,
,.
在中,.
即可伸缩支撑杆的长度为.
29.(2024·江苏宿迁·中考真题)双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一,由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成.某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动,该小组制定了测量方案,在实地测量后撰写活动报告,报告部分内容如下表:
测量七凤塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图,步骤如下: ①在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角; ②沿着CA方向走到E处,用皮尺测得米; ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角.
…
已知测角仪的高度为1.2米,点C、E、A在同一水平直线上.根据以上信息,求塔的高度,
(参考数据:)
【答案】73.2米
【详解】解:由题意得,米,米,,,
在中,,
,
在中,,
,
米,
,
解得,
(米,
答:塔的高度为73.2米.
30.(2024·江苏镇江·中考真题)图1、2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图,此时点E落在上,已知,,点D、F、G、J在上,、、、均与所在直线平行,,.点N在上,、的长度固定不变.图5是折叠梯完全折叠时的主视图,此时、重合,点、、、、、在上的位置如图所示.
【分析问题】
(1)如图5,用图中的线段填空:_________;
(2)如图4,_________,由,且的长度不变,可得与之间的数量关系为_________;
【解决问题】
(3)求的长.
【答案】(1);(2),;(3)
【详解】解:(1),
,
故答案为:;
(2)、、、均与所在直线平行,
,
,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,,
,
,
,
,
故答案为:,;
(3)如图,
作于,
,
,,
,
设,则,,
,
,
.
31.(2024·江苏徐州·中考真题)如图,在徐州云龙湖旅游景区,点为“彭城风华”观演场地,点为“水族展览馆”,点为“徐州汉画像石艺术馆”.已知,,.求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离(精确到).(参考数据:,)
【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是
【详解】解:过作于,
设,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴.
答:“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是.
32.(2023·江苏南京·中考真题)如图,为了测量无人机的飞行高度,在水平地面上选择观测点A,B. 无人机悬停在C处,此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处,此时在B 处测得 D的仰角为点A, B, C, D在同一平面内, A, B两点在 的同侧. 求无人机在 C 处时离地面的高度.(参考数据:)
【答案】
【详解】解:过点C作于点M, 设, 则,
在中, ,
则,
则;
在中, ,
则
解得:,
经检验,是该分式方程的解.
∴.
答:无人机在C处时离地面.
题型五 三角形中的旋转问题
33.(2023·江苏扬州·中考真题)【问题情境】
在综合实践活动课上,李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动,两块三角板分别记作和,设.
【操作探究】
如图1,先将和的边、重合,再将绕着点A按顺时针方向旋转,旋转角为,旋转过程中保持不动,连接.
(1)当时,________;当时,________;
(2)当时,画出图形,并求两块三角板重叠部分图形的面积;
(3)如图2,取的中点F,将绕着点A旋转一周,点F的运动路径长为________.
【答案】(1)2;30或210
(2)画图见解析;
(3)
【详解】(1)解:∵和中,
∴,
∴当时,与重合,如图所示:连接,
∵,,
∴为等边三角形,
∴;
当时,
∵,
∴当时,为直角三角形,,
∴,
当在下方时,如图所示:
∵,
∴此时;
当在上方时,如图所示:
∵,
∴此时;
综上分析可知,当时,或;
故答案为:2;30或210.
(2)解:当时,如图所示:
∵,
∴,
∴,
∵,
又∵,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
,
即两块三角板重叠部分图形的面积为.
(3)解:∵,为的中点,
∴,
∴,
∴将绕着点A旋转一周,点F在以为直径的圆上运动,
∵
∴点F运动的路径长为.
故答案为:.
34.(2022·江苏连云港·中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中,小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中,,.
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转.
(1)如图2,当点落在边上时,延长交于点,求的长.
(2)若点、、在同一条直线上,求点到直线的距离.
(3)连接,取的中点,三角板由初始位置(图1),旋转到点、、首次在同一条直线上(如图3),求点所经过的路径长.
(4)如图4,为的中点,则在旋转过程中,点到直线的距离的最大值是_____.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】(1)解:由题意得,,
∵在中,,,.
∴.
(2)①当点在上方时,
如图一,过点作,垂足为,
∵在中,,,,
∴,
∴.
∵在中,,,
,,
∴.
∵点、、在同一直线上,且,
∴.
又∵在中,,,,
∴,
∴.
∵在中,,
∴.
②当点在下方时,
如图二,
在中,∵,,,
∴.
∴.
过点作,垂足为.
在中,,
∴.
综上,点到直线的距离为.
(3)解:如图三,取的中点,连接,则.
∴点在以为圆心,为半径的圆上.
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时,点所经过的轨迹为所对的圆弧,圆弧长为.
∴点所经过的路径长为.
(4)解:由(3)知,点在以为圆心,为半径的圆上,
如图四,过O作OH⊥AB于H,
当G在OH的反向延长线上时,GH最大,即点到直线的距离的最大,
在Rt△BOH中,∠BHO=90°,∠OBH=30°,,
∴,
∴,
即点到直线的距离的最大值为.
题型六 三角形中的翻折问题
35.(2022·江苏南京·中考真题)在平面内,先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小,再将所得多边形沿过该点的直线翻折,我们称这种变换为自位似轴对称变换,变换前后的图形成自位似轴对称.
例如:如图①,先将以点为位似中心缩小,得到,再将沿过点的直线翻折,得到,则与成自位似轴对称.
(1)如图②,在中,,,,垂足为,下列3对三角形:①与;②与;③与.其中成自位似轴对称的是________(填写所有符合条件的序号);
(2)如图③,已知经过自位似轴对称变换得到,是上一点,用直尺和圆规作点,使与是该变换前后的对应点(保留作图痕迹,写出必要的文字说明);
(3)如图④,在中,是的中点,是内一点,,,连接,求证:.
【答案】(1)①②
(2)见解析
(3)见解析
【详解】(1)解:①与成自位似轴对称,对称轴为的角平分线所在的直线,如图;
②与成自位似轴对称,对称轴为平分线所在的直线,如图,
,
③与不成自位似轴对称,
故答案为:①②;
(2)解:如图,
1)分别在和上截取,,
2)连接,在上截取,
3)连接并延长交于P,则点即为所求;
(3)证明:延长交于点,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵是中点,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴.
题型七 三角形中的动点问题
36.(2022·江苏扬州·中考真题)如图1,在中,,点在边上由点向点运动(不与点重合),过点作,交射线于点.
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系,并说明理由;
①点在线段的延长线上且;
②点在线段上且.
(2)若.
①当时,求的长;
②直接写出运动过程中线段长度的最小值.
【答案】(1)①②
(2)①②4
【详解】(1)①∵在中,,
∴
∵
∴,
在中,
∴
∴
∴;
②如图:
∵
∴,
∴在中,
∴
∴;
(2)①分别过点A,E作BC的垂线,相交于点H,G,则∠EGD=∠DHA=90°,
∴∠GED+∠GDE=90°,
∵∠HDA+∠GDE=90°,
∴∠GED=∠HDA,
∴,
设,,则,,
在中,,AB=6
则,
在中,,
则
在中,,
∴
∴
由得,
即
解得:,(舍)
故;
②分别过点A,E作BC的垂线,相交于点G,H,则∠EHD=∠AGD=90°,
∵∠ADE=90°,
∴∠EDH=90°-∠ADG=∠DAG,
∵∠EHD=∠AGD=90°,
∴,
∴,
∴,
∵∠BAC=90°,∠C=60°,
∴∠B=30°,
∴,
∴,
∴=,
∵
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故AE的最小值为4.
37.(2022·江苏徐州·中考真题)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=12,点P在边AB上,D、E分别为BC、PC的中点,连接DE.过点E作BC的垂线,与BC、AC分别交于F、G两点.连接DG,交PC于点H.
(1)∠EDC的度数为 ;
(2)连接PG,求△APG 的面积的最大值;
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系?请说明理由;
(4)求的最大值.
【答案】(1)45°
(2)9
(3)PE=DG,理由见解析
(4)
【详解】(1)解:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=12
∴∠B=∠ACB=45°
∵,D、E分别为BC、PC的中点
∴DEBP,DE=
∴∠EDC=∠B=45°.
(2)解:如图:连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°,GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ,GF=CF= ,
设AP=x,则BP=12-x,BP=12-x=2DE
∴DE=,EF=
∵Rt△APC,
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以当x=6时,S△APG有最大值9.
(3)解:DG=PE,DG⊥PE,理由如下:
∵DF=EF,∠CFE=∠GFD,GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG;
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°,即DG⊥PE.
(4)解:∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴,即
∴
∵FC= ,CE=,CD=
∴
∴的最大值为.
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