第九章 图形的相似 专项训练 证明比例式或等积式的常用方法（含答案）

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第九章 图形的相似
专项训练 证明比例式或等积式的常用方法
技巧一 三点定形法
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点 E在边BC上移动(点E 不与点 B，C重合)，满足∠DEF=∠B,且点 D,F 分别在边 AB,AC上,
(1)求证:
(2)当点 E 移动到 BC 的中点时,求证:FE平分∠DFC.
技巧二 等线段代换法
2.如图,在梯形 ABCD中,AD∥BC,AC与BD 相交于点O,点 E 在线段OB 上,AE 的延长线与 BC 相交于点 F,
(1)求证：四边形 AFCD 是平行四边形；
(2)如果 BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD.
3.如图,已知在△ABC中,AD是△ABC的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE=CD.
(1)求证:
(2)求证:
技巧三 等比代换法
4.如图所示，在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线 AC,BD 相交于点E,点 F 在边AB 上,连接 CF 交线段BE 于点G,
(1)求证:∠ACF=∠ABD;
(2)连接 EF,求证:EF·BG=FG·CB.
5.如图,在 中，点D,E 分 别 在 边 AB,AC 上,∠AED =∠B,AG分别交线段 DE,BC 于点 F,G,且 AD: AC=DF: CG.
求证:(1)AG平分∠BAC;
(2)EF·CG=DF·BG.
技巧四 等积代换法
6.如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,E 是△ABC内一点,DE∥BC,过 D 作AC 的平行线交CE 的延长线于点F，CF与AB 交于点 P,求证:
7.如图，在 中， CD 是斜边AB 上的高，G是 DC 延长线上一点，过点 B作 ,垂足为E,交 CD 于点 F.求证：
8.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点 D,E,F.
(1)求证:
(2)连接EF,求证:AE·BC=EF·AC.
参考答案
1.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,
∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF,
(2)∵△BDE∽△CEF,
∵点 E 是BC 的中点,∴BE=CE,
∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC.
2.证明:(1)∵OD =OE·OB,
∵AD∥BC,
又∵∠AOE=∠DOC,∴△AOE∽△COD,∴∠EAO=∠DCO,∴AF∥CD,
∴四边形 AFCD 是平行四边形；
(2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC,
∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD.
∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC.
∵AE·AF=AD·BF,
∵四边形 AFCD 是平行四边形，∴AF=CD,
∴△ABE∽△ACD.
3.证明:(1)∵CD=CE,∴∠CED=∠EDC,
∵ ∠AEC + ∠CED = 180°, ∠ADB +∠EDC=180°,∴∠AEC=∠ADB,
∵∠DAC=∠B,∴△ACE∽△BAD;
∵BD=CD=CE,
(2)∵∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA,
∵△ACE∽△BAD,∴AE·AD=BD·CE,
∴2AE·AD=2BD·CE=BC·CD,
4.证明:
又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD;
(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE.
又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC.
∴FG·BC=FE·BG.
5.证明:(1)∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°,∠BAC+∠B+∠C=180°,∠AED=∠B,
∴∠ADE=∠C,
在△ADF 和△ACG中,AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C,∴△ADF∽△ACG,
∴∠DAF=∠CAG,∴AG平分∠BAC;
(2)在△AEF和△ABG中,∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG,∴△AEF∽△ABG,
在△ADF 和△AGC中,∠DAF=∠CAG,∠ADF=∠C,∴△ADF∽△ACG,
∴EF·CG=DF·BG.
6.证明:∵DE∥BC,∴△PDE∽△PBC,即 PD·PC=PB·PE①,
∵DF∥AC,∴△PDF∽△PAC,
即 PD·PC=PA·PF②,联立①②,得 PE·PB=PA·PF,
7.证明:∵CD⊥AB,BE⊥AG,∴∠GEB=∠BDF,
∴∠G=∠DBF,且∠ADG=∠FDB,∴△ADG∽△FDB,
即AD·BD=DF·DG,
∵∠ACB=90°,∠CDB=90°,∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD,
∴∠CAD=∠DCB,∴△ADC∽△CDB,
,即AD·BD=CD°,
8.证明:(1)∵DE⊥AB,AD⊥BC,∴∠AED=∠BDA=90°,
又∵∠EAD=∠DAB,∴△AED∽△ADB,
(2)同(1),得AD =AF·AC,∴AE·AB=AF·AC,
∴△EAF∽△CAB,∴AE·BC=EF·AC.
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