课件14张PPT。1.7.1 定积分在几何中的应用 1、定积分的几何意义： 表示由y=f(x)、x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)?0时的几何意义，一、复习回顾 由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积的相反数. 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)=f(x)，那么:2.微积分基本定理： (1) 类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(4) 计算定积分，求出面积。直线y=x-4与x轴交点为(4,0)S1S2本题还有其他解法吗？另解：计算由曲线 直线y=x-4以及x轴围成图形
的面积. 因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：1、求下列曲线所围成的图形的面积(1) y=x2, y=2x+3; (2) y=ex, y=e, x=0y=2x+3y=x2y=ey=ex三.课堂练习
解：求两曲线的交点:82解法2：思考：将取y为积分变量，把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 变形为1.思想方法:数形结合思想及转化思想.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定被积函数积分变量,写出定积分表达式；
(4) 计算定积分，求出面积。四. 课堂小结五.作业课本第60页习题1.7A组题1《定积分在几何中的应用》教学设计
设计教师： 孙培省
教学年级：高二年级
课题名称：定积分在几何中的应用
教材版本：人教版高中数学选修2-2
授课时间：43分钟
一．
教学构思
应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过复习回顾、热身训练、例题分析、巩固练习、等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。
二．
教材分析
定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。
三、
教学目标
1、 知识与技能目标：
通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。
2、 过程与方法目标：
通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、 情感态度与价值观目标：
通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。
。
四．
教学重点难点
1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教法分析
本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法：即学生在老师引导下，观察发现、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感性到理性主动建构新知识，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位.
六．
学法分析
“授人以鱼，不如授人以渔”,教是为了不教,一定要让学生自己去发现，去探索。在学法选择上，我主要采用：自主探究法、观察发现法、合作交流法等学习方法。
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
师生活动
设计意图
复习回顾
1.定积分的几何意义是什么？
2.微积分基本定理是什么？
【学生活动】学生回答问题
【课件展示】两问题的答案
【热身练习１】
.用定积分表示下面3个图形阴影部分的面积
图（1） 图（2） 图（3）
【学生活动】 学生到黑板板书
【课件展示】图形表示的面积的答案
【热身练习2】
用定积分表示下面2个图形阴影部分的面积
【学生活动】 学生到黑板书
【课件展示】图形表示的面积的答案
【教师点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
二．【例题讲解】
例１．计算由曲线与所围图形的面积．
【师生活动】探究解法的过程.先让学生思考，尝试去做，然后老师提示
找到图形----画图得到曲边形.
曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
计算定积分.
【板书】学生回答老师板书
【课件展示】解答过程
解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组
得两曲线的交点坐标 (0,0),(1,1)
曲边梯形OABC 曲边梯形OABD
【学生活动】让学生反思解题过程。
【课件展示】求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
1)作图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
（3）确定积分变量及被积函数,写出定积分表达式；
(4) 计算定积分，求出面积。
例２．计算由与所围图形的面积.
【学生活动】学生分组合作完成，然后让学生到黑板上板书，并进行讲解。
解法1： 作出直线，曲线的草图，所求面积为右图阴影部分的面积．
解方程组 得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
解法2：（由另一学生板书）
所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
【师生活动】归纳小结，做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.
三．【巩固练习】
1、求下列曲线所围成的图形的面积
1) y=x2 ，y=2x+3;
2) y=ex, y=e, x=0
【学生活动】学生独立完成。
【课件展示】
２．计算由与所围图形的面积.
【学生活动】学生独立思考，然后合作探究，让一学生到黑板展示成果。
【师生点评】帮助学生修改、提炼，使解题更规范。
探讨：能否改变积分变量，把x换成Y呢？
【师生活动】讨论探究解法的过程
1．找到图形----画图得到曲边形.
2．曲边形面积解法----将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差.
3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数,及积分变量y.
4．计算定积分.
【课件展示】解答过程
解：作出草图，所求面积为
图中阴影部分的面积
解方程组得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)
选ｙ为积分变量
【教师点评】强调注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .
四．互动小结
1.本节课所用的数学思想方法是什么？
2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤什么
五.作业
课本第60页习题1.7A组题1
培养学生复习的学习习惯，激发学生们的求知欲和探索欲，为后面作学习铺垫。
以教师提问学生回答的形式回顾前面的知识，这些知识是本节课的理论基础，定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的计算方法，两者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题。
进一步拓展到不规则曲边形的面积问题。学生会发现曲边形面积可以由两个曲边梯形面积相减得到，这样就有了初步的理性认识，将求解不规则曲边形的面积问题化归为曲边梯形去求解，
例1是教材中这节内容的第一个例题，学生借助图形，把所求面积进行适当的转化，突出了应用定积分解决平面图形面积问题这一重点，化解了如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题这一难点。。
通过对解题方法步骤的总结，使学生知识系统化，解题过程规范化，整个过程充分体现数形结合和化归思想的数学思想方法。
此题的目的在于巩固解题方法，由一题多解锻炼学生的发散思维。根据图形特点，选择最优化的分割方法和积分方法
巩固定积分解题的基本方法和步骤。
突显教学重点
使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点；培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。
提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。
作业即是探究活动的一种延续。
1.7.1定积分在几何中的应用（练习）
1.由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为( )
A． B． C．ln 2 D．2ln 2
2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是，则c＝________.
3.求由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积.
4.求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
5.求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
6.求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成的图形的面积．
