第九章 图形的相似 6 黄金分割（含答案）
文档属性
| 名称 | 第九章 图形的相似 6 黄金分割（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 421.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-15 13:01:04 | ||
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文档简介
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第九章 图形的相似
6 黄金分割
轻松过关
1.一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感，如图，若将 AB 抽象地看成一条线段，点P 为AB 的黄金分割点(AP>PB)，下列各式正确的是 ( )
2.矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是 ( )
3.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB 的黄金分割点(AP>BP),若线段 AB 的长为4 cm,则 AP 的长为 ( )
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=108°,分别以点 A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线 MN分别交BC,AC于点D,E,连接AD，以下结论不正确的是 ( )
A.∠BDA=72° B. BD=2AE
5.黄金分割是 Mr汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点 A，B分别在习字格的边 MN，PQ上,且AB∥NP, “晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点 C 处，且 若NP=2cm ,则 BC 的长为 cm(结果保留根号)，
6.点 P 是线段AB 上的一点,如果AP =BP·AB,BP= -1,那么AP= .
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
8.我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为 则该矩形的周长为 .
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2,∠A = 36°, BD 平分∠ABC 交 AC 于点D.
(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；
(2)求出线段 AD的长.
10.如图所示，以长为2的定线段 AB 为边作正方形ABCD，取AB的中点 P，连接 PD，在BA 的延长线上取点F,使 PF= PD,以 AF 为边作正方形AMEF,点 M在AD 上.
(1)AM,DM的长分别为 , ;
(2)M是AD的黄金分割点吗 请说明理由.
11.如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60°,30°,15°等大小的角，可采用下面的方法：
第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM 和线段BN.
(1)求∠3的度数;
(2)在第(1)题图中,延长 BN 交AD 于点G,过G点作GH⊥BC 于点 H,得出一个以 DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 若已知AB=4,求 BC的长.
快乐拓展
12.(1)我们把邻边之比为 的矩形叫做黄金矩形.如图，已知正方形ABCD，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形 ABPQ，使得点 P,Q分别在线段 BC,AD 上;(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的基础上，若以 AQ为边作正方形AMNQ,使得点 M,N分别在线段AB,PQ上，则矩形 MBPN 是黄金矩形吗 为什么
参考答案
1. A 2. D 3. A 4. C
5.(-1) 6. 2 7.(80-160) 或4
9.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,
即
∴点 D 是线段AC 的黄金分割点；
(2)∵点 D 是线段AC 的黄金分割点,
10.解:(1)在 Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理，得 ∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= 1,DM=AD-AM=3-
故答案为
(2)结论：点M 是AD 的黄金分割点.
∴点 M是AD 的黄金分割点.
11.解:(1)如图1,连接AN,
由折叠,得∠1=∠2,AB=NB,EF垂直平分AB,∴NA=NB,∴AB=NA=NB,
∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°,∴∠1=∠2=30°.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°,
∴∠3=∠ABC-∠NBA=90°-60°=30°;
(2)如图2延长 BN,交 AD 于点G,过点 G作GH⊥BC,
∵ABCD是矩形纸片,GH⊥BC,∴AB=GH=DC=4,
∵黄金矩形GHCD以DG 为宽,GH=4,
∵∠1=∠2=∠3=30°,∴BG=2GH=8,
由勾股定理，得 4
12.解:(1)画出CD边的中点E,连接 BE,以E为圆心，CE长为半径作圆弧与 BE 交于点F，以点 B为圆心，BF为半径作圆弧与BC交于P 点,在 AD 上截取 AQ=BP,连接PQ,
如图1所示，四边形 ABPQ 即为所求作的四边形；
(2)矩形 MBPN是黄金矩形.
如图2所示，
∵矩形 ABPQ是黄金矩形，
∵四边形 AMNQ是正方形，∴AQ=AM=MN,
∴点 M 是线段AB 的黄金分割点，
∴矩形 MBPN 是黄金矩形.
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第九章 图形的相似
6 黄金分割
轻松过关
1.一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感，如图，若将 AB 抽象地看成一条线段，点P 为AB 的黄金分割点(AP>PB)，下列各式正确的是 ( )
2.矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是 ( )
3.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB 的黄金分割点(AP>BP),若线段 AB 的长为4 cm,则 AP 的长为 ( )
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=108°,分别以点 A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线 MN分别交BC,AC于点D,E,连接AD，以下结论不正确的是 ( )
A.∠BDA=72° B. BD=2AE
5.黄金分割是 Mr汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点 A，B分别在习字格的边 MN，PQ上,且AB∥NP, “晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点 C 处，且 若NP=2cm ,则 BC 的长为 cm(结果保留根号)，
6.点 P 是线段AB 上的一点,如果AP =BP·AB,BP= -1,那么AP= .
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号)
8.我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为 则该矩形的周长为 .
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2,∠A = 36°, BD 平分∠ABC 交 AC 于点D.
(1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；
(2)求出线段 AD的长.
10.如图所示，以长为2的定线段 AB 为边作正方形ABCD，取AB的中点 P，连接 PD，在BA 的延长线上取点F,使 PF= PD,以 AF 为边作正方形AMEF,点 M在AD 上.
(1)AM,DM的长分别为 , ;
(2)M是AD的黄金分割点吗 请说明理由.
11.如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60°,30°,15°等大小的角，可采用下面的方法：
第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM 和线段BN.
(1)求∠3的度数;
(2)在第(1)题图中,延长 BN 交AD 于点G,过G点作GH⊥BC 于点 H,得出一个以 DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 若已知AB=4,求 BC的长.
快乐拓展
12.(1)我们把邻边之比为 的矩形叫做黄金矩形.如图，已知正方形ABCD，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形 ABPQ，使得点 P,Q分别在线段 BC,AD 上;(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的基础上，若以 AQ为边作正方形AMNQ,使得点 M,N分别在线段AB,PQ上，则矩形 MBPN 是黄金矩形吗 为什么
参考答案
1. A 2. D 3. A 4. C
5.(-1) 6. 2 7.(80-160) 或4
9.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,
即
∴点 D 是线段AC 的黄金分割点；
(2)∵点 D 是线段AC 的黄金分割点,
10.解:(1)在 Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理，得 ∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= 1,DM=AD-AM=3-
故答案为
(2)结论：点M 是AD 的黄金分割点.
∴点 M是AD 的黄金分割点.
11.解:(1)如图1,连接AN,
由折叠,得∠1=∠2,AB=NB,EF垂直平分AB,∴NA=NB,∴AB=NA=NB,
∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°,∴∠1=∠2=30°.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°,
∴∠3=∠ABC-∠NBA=90°-60°=30°;
(2)如图2延长 BN,交 AD 于点G,过点 G作GH⊥BC,
∵ABCD是矩形纸片,GH⊥BC,∴AB=GH=DC=4,
∵黄金矩形GHCD以DG 为宽,GH=4,
∵∠1=∠2=∠3=30°,∴BG=2GH=8,
由勾股定理，得 4
12.解:(1)画出CD边的中点E,连接 BE,以E为圆心，CE长为半径作圆弧与 BE 交于点F，以点 B为圆心，BF为半径作圆弧与BC交于P 点,在 AD 上截取 AQ=BP,连接PQ,
如图1所示，四边形 ABPQ 即为所求作的四边形；
(2)矩形 MBPN是黄金矩形.
如图2所示，
∵矩形 ABPQ是黄金矩形，
∵四边形 AMNQ是正方形，∴AQ=AM=MN,
∴点 M 是线段AB 的黄金分割点，
∴矩形 MBPN 是黄金矩形.
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