第九章 图形的相似 专项训练 利用“基本图形”探索相似的条件（含答案）

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第九章 图形的相似
专项训练 利用“基本图形”探索相似的条件
模型一 “平行线”型
名称 A 字形 8字形
图形
重要结论 当DE∥BC时,△ADE∽△ABC,∴AB=AE=DEC
1.如图,点 A,B,C,D在一条直线上,CE 与BF 交于点G,∠A=∠1,CE∥DF.
(1)求证:∠E=∠F;
(2)若AB: BC : CD=2: 2 : 1,直接写出 的值.
2.如图,在矩形 ABCD中,点 E 在边 AD 的延长线上,DE=DC,连接 BE,分别交边 DC和对角线AC 于点 F,G,AD=FD.
(1)求证:AC⊥BE;
(2)求证:
模型二 “斜截”型
如图，图中有斜交叉相等的相似角，又有公共角或对顶角,则△ADE 与△ABC 称为“斜交型”的相似三角形.(有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”“燕尾型”)
名称 图形 重要结论
反A 共角型 当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB, ∴
反 A共角共边型 当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB时,△ACD∽△ABC, ∴AC =AD·AB
蝶型 当∠A=∠C 或∠B=∠D时,△ABO∽△CDO, ∴
燕尾型 当∠A = ∠C 或∠ABF =∠CDF时, ①△ADE∽△CBE,∴; ②△ABF∽△CDF,∴
3.如图,在△ABC中,点 D 在边 AB 上,且∠ACD=∠B,若AC= ,AD=1,则 DB的长为 .
4.如图,AD与BC交于O点,∠A=∠C,BO=4,DO=2,AB=3,则 CD的长为 .
5.如图,D,E分别是AC,AB上的点,连接 DE,且∠ADE=∠B,若DE=8,AB=18,AD=6,求 BC的长.
6.如图,BD,CE分别是AC 与AB 边上的高.求证:△ADE∽△ABC.
模型三 “双垂直”型(也称“母子相似”型)
名称 图形 结论
双垂直 共角型 当 AC⊥BC,DE⊥AB时,△ADE∽△ACB,∴AD=AB=BE
双垂直共角共边型 当 CD⊥AB,AC⊥BC时， ① △ACD ∽ △ABC AC =AD·AB; ② △ACD ∽ △CBD CD =AD·BD; ③△BCD ∽ △BAC BC =BD·AB
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,点E是AC上的一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
8.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD是斜边BC 上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求 BD的长.
模型四 “旋转”型
名称 图形 结论
旋转型 当∠1=∠2,∠B=∠D时,△ADE∽△ABC,∴AB=BE=AE
9.如图,AB 和CD 相交于点F,E为CF 上一点,连接AD,AC,AE,其中∠DAF=∠EAC=∠FCB.
(1)请根据题意从图中找到一对相似三角形，并给予证明；
(2)若 求线段AE的长.
10.(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.请直接写出BD和CE的数量关系;
(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,.连接 BD,CE.请直接写出 的值；
(3)【拓展提升】如图3,△ABC 和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且 连接BD,CE.
①求 的值；
②延长CE交BD 于点 F,交 AB 于点G.若 求 BF 的长.
模型五 “一线三等角”型
类型一：以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，如图，∠1=∠2=∠3，则图中两阴影部分三角形相似.
11.如图,在等边△ABC中,P 为 BC 上一点,D 为AC 上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD=
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)求△ABC的边长.
12.如图，在等边三角形ABC中,点 P 是边 BC 上一动点(P 点不与端点重合),作∠DPE=60°,PE 交边AC 于点E,PD交边AB 于点 D.
(1)求证:△BPD∽△CEP;
(2)若AB=10,BD=3,CP: BP=1:4,求CE的长.
类型二：以直角三角形为背景，三个直角的顶点在同一直线上，如图，三个直角相等，此时两阴影部分的三角形相似.
13.折叠矩形 ABCD,使点D 落在BC 边上的点 F 处,折痕为 AE.
(1)求证:△ABF∽△FCE;
(2)若CF=4,EC=3,求矩形 ABCD的面积.
14.如图所示，在正方形ABCD中,在BC边上取中点E,连接DE,过点E作EF⊥ED交AB于点G,交DA延长线于点F.
(1)求证:△ECD∽△DEF;
(2)若CD=8,求AF 的长.
模型六 “半角”型
名称 图形 重要结论
半角为45° 当△ABC是等腰直角三角形,∠MAN=∠BAC时,△ABN∽△MAN∽△MCA
半角为60° 当△ADE是等边三角形,∠DAE=∠BAC时,△ABD∽△CAE∽△CBA
15.已知:如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠DAE=45°.
求证:(1)△ABE∽△DCA;
参考答案
1.解:(1)证明:∵CE∥DF,∴∠BCG=∠D,
∵∠A=∠1,∴∠E=∠F;
(2)∵AB: BC:CD=2:2:1,∴AC:BD=4:3,
∵∠BCG=∠D,∠A=∠1,∴△AEC∽△BFD,
设 S△ACE=16x,S△BDF=9x,
∵∠1=∠A,∴BG∥AE,∴△CBG∽△CAE,
∴S四边形ABGE=16x-4x=12x;S四边形CDFG=9x-4x=5x,
2.证明:(1)∵DE=DC,AD=FD,∠EDF=∠CDA=90°.
∴△CDA≌△EDF(SAS),∴∠AEG=∠ACD,
∵∠ACD+∠DAC=90°,∴∠AEG+∠DAC=90°,
(2)∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴BC∥DE,
∴△BCF∽△EDF,
∵BC=AD,DE=CD,
由(1),得 ∠ACD,
∴△CDA∽△EAB,
∵AB=CD,
3. 2 4. 1.5
5.解:∵∠ADE=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,
∵DE=8,AB=18,AD=6,∴BC=24.
6.证明:∵BD,CE分别是AC 与AB 边上的高,∴∠ADB=∠AEC=90°,
∵∠A=∠A,∴△ADB∽△AEC,即
∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
7.解:在Rt△ABC中,
∵∠C=∠ADE=90°,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,
∴AD=4.
8.解:(1)证明:∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,
又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1),得△ABD∽△CBA,
∴BD=3.6.
9.解:(1)△ADF∽△CBF 或△ADE∽△ABC;(找到一对证明即可)
理由:∵∠DAF=∠BCF,∠AFD=∠CFB,∴△ADF∽△CBF;
∵∠DAF=∠EAC,∴∠DAF+∠FAE=∠EAC+∠FAE,即∠DAE=∠CAB,
∵△ADF∽△CBF,∴∠B=∠D,∴△ADE∽△ABC;
(2)由(1),得△ADE∽△ABC,
∴AE=9 cm.
10.解:(1)BD=CE;理由:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;
(2)∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD∽△CAE,
90°,设AB=3a,
∴△ABC∽△ADE,BC=4a,AC=5a.
∴∠CAE=∠BAD,∴△CAE∽△BAD,
②由①,得△CAE∽△BAD,AB=6,ABC= 则AC=10,∴∠ACE=∠ABD,
∵∠AGC=∠BGF,∴△BGF∽△CGA,
11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°,
∵∠APD=60°,∴∠BAP=∠DPC,
∵∠B=∠C,∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD;
(2)∵△ABP∽△PCD,
设等边△ABC的边长为x，
∵CD= ,CP=BC-BP=x-1,BP=1,解得x=3,即△ABC的边长为3.
12.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
∠BPD,
∵∠DPE=60°,∴∠CPE= 180°-∠DPE-∠BPD=120°-∠BPD,
∴∠BDP=∠CPE,∴△BPD∽△CEP;
(2)∵AB=10,BD=3,CP:BP=1:4,∴BC=AB=10,
∵△BPD∽△CEP,
∴CE的长是-
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠BAF+∠AFB=90°.由折叠，得
∴∠AFB+∠EFC=90°.∴∠BAF=∠EFC.∴△ABF∽△FCE;
(2)∵CF=4,EC=3,∠C=90°,∴EF=DE=5,∴AB=CD=8,
由(1),得△ABF∽△FCE,∴BF=6.∴BC=10,
∴S矩形ABCD=AB·CB=10×8=80.
14.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,EF⊥ED,
∴∠FED=∠C=90°,BC∥AD,∴∠CED=∠FDE,∴△ECD∽△DEF;
(2)∵四边形 ABCD是正方形,∴∠C=90°,AD=BC=CD=8,
∵E为BC 的中点,∴CE=BE=4,
在 Rt△DCE中,由勾股定理,得
∵△ECD∽△DEF,解得 DF=20,
∵AD=8,∴AF=DF-AD=20-8=12.
15.证明:(1)在 Rt△ABC中,
∵ AB=AC,∴∠B=∠C=45°.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠DAE=45°,∴∠BAE=∠BAD+45°.
又∵∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°,∴∠BAE=∠CDA.∴△ABE∽△DCA;
(2)由△ABE∽△DCA,得 ∴BE·CD=AB·AC.
又
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