二次函数的实际应用
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的应用 ★★★ 能用二次函数解决实际问题
二次函数的应用在中考中较为常见，其中二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中认真对待。
一、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
二、利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。
三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
四、利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
根据实际问题列二次函数关系式
（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨万元出售，平均每天可售出吨市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值题中“元”为人民币
【答案】解：设该果商定价万元时每天的“利润”为万元，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为万元，
答：该果商定价为万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为万元．
【解析】设该果商定价万元时每天的“利润”为万元，根据题意列出与之间的函数关系式，再根据二次函数的单调性即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．
1.2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：根据题意得：，，
即，．
故选：．
2.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，
销售单价为元时，每天的销售量，商家每天销售纪念品获得的利润，
，．
故选：．
3.某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元与改造面积（亩的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田亩，改造当年收益为元，则与之间的数量关系可列式为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设改造农田亩，则总成本为，总销售额为，
可列方程为．
故选：．
4.据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：根据题意得，
关于的函数表达式是：．
故选：．
5.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，
根据题意得，，
故选：．
二次函数的应用
（2024·河北省邯郸·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则 ______
【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，
由题意可知，，，其中点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：，
将代入上式，
解得：，
即抛物线的解析式式为：，
为抛物线与轴的交点，
即，
解得：，舍，
故答案为：．
以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，，，其中点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：，将代入上式，求出的值，进而求出抛物线表达式，最后将代入表达式中即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键．
1.如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽CD=（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
【答案】
【解析】解：米，
当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故选：．
2.已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：在中，令得：
，
解得或（舍去），
该同学此次投掷实心球的成绩是，
故选：．
3.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为
A．2 B．4 C．2或 D．4或
【答案】
【解析】解：，其中为实数．其中某个喷泉水柱的最大高度是4，
，
解得，
故选：．
4.如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5
【答案】B
【解析】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线t＝2，
∴设二次函数解析式为h＝a（t﹣2）2+k，
代入原点坐标得0＝a（0﹣2）2+k，
解得k＝﹣4a，
∴h＝a（t﹣2）2﹣4a，
令h＝0得a（t﹣2）2﹣4a＝0，解得t1＝0，t2＝4，
∴一个球从出发到落地用时4秒，
∵整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得2≤t＜4，
故选：B．
5.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：设出抛物线方程，
由图象可知该图象经过点，
故，
，
故，故选：．
二次函数综合题
（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平而直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离桥塔的粗细忽略不计
求缆索所在抛物线的函数表达式；
点在缆索上，，且，，求的长．
【答案】解：由题意，，
．
又，缆索的最低点到的距离，
抛物线的顶点为．
故可设抛物线为．
又将代入抛物线可得，
．
．
缆索所在抛物线为．
由题意，缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，
又缆索所在抛物线为，
缆索所在抛物线为．
又令，
．
，．
又，
．
的长为．
【解析】依据题意，由，从而，又，缆索的最低点到的距离，可得抛物线的顶点为，故可设抛物线为，又将代入抛物线可求得的值，进而可以得解；
依据题意，由缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，又缆索所在抛物线为，从而可得缆索所在抛物线为，又令，可得，求出或，进而计算可以判断得解．
1.已知，如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，点为轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接、，求四边形面积的最大值；
（3）是否存在这样的点，使得点到和两边的距离相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；
（2）四边形的最大值为51；
（3），．
【解析】解：（1），，
，，，
抛物线的解析式为：，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
；
直线的解析式为：；
连接，过点作轴交于点，
设点的横坐标为，
，，
，
；
，，
；
，
当时，四边形的最大值为51；
（3）存在，理由如下：
若点到和两边的距离相等，则是的平分线，设与轴交于点，过点作于点，
平分，，，
，，
，，
，
设，
，，
在中，由勾股定理可得，，
解得，
，
直线的解析式为：，
令，
解得（舍或，
，．
2.已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
【解析】解：（1）抛物线，
抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，如图，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为为直线，
点关于直线的对称点为，
点，，，
；
（3）存在实数，使得恒成立，
，抛物线的顶点坐标为，
抛物线开口向下，，
如图，当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
3.如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
【解析】解：（1）将，代入，
得：，
解得，
则抛物线解析式为；
（2）能．
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
设，则，，，
，，
当时，，即，
整理得，
解得，（舍去），此时点坐标为，；
当时，，即，
整理得，
解得，（舍去），此时点坐标为，；
综上所述，当点的坐标为，或，时，直线把分成面积之比为的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线，如图，
设，
，，
，，，
当时，为直角三角形，，即，解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，解得，此时点的坐标为；
当时，为直角三角形，，即，解得，，此时点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，．
4.如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
（3）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标．
【答案】（1）；
（2），，，；
（3）最大为，此时为．
【解析】解：（1）把，两点代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）如图，当时，延长交轴于点，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
时，，
此时；
如图，当时，延长交轴于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
时，，
此时；
当时，设，
，，
，
，，，
，
，
，
整理，得，
解得，
此时或；
综上所述，点或点或点或点．
（3）如图，设与轴的交点为，点，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
；
，，
，
，
连接，
，
，
，
，
抛物线开口向下，
有最大值，且当时，取得最大值，且为，
此时，
故点．
5.平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；
（2）存在，，，，；
（3）存在，，．
【解析】解：（1）将代入，
即，
解得：，
，
令，则，
令，则，
解得：，，，；
（2）存在点，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，，
，，，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：或，
综上所述：，，，；
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，
，
，
由对称性可知，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，
，．二次函数的实际应用
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的应用 ★★★ 能用二次函数解决实际问题
二次函数的应用在中考中较为常见，其中二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中认真对待。
一、用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
二、利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。
三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
四、利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
根据实际问题列二次函数关系式
（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨万元出售，平均每天可售出吨市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值题中“元”为人民币
1.2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A． B．
C． D．
2.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是
A． B．
C． D．
3.某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元与改造面积（亩的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田亩，改造当年收益为元，则与之间的数量关系可列式为
A． B．
C． D．
4.据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是
A． B．
C． D．
5.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系为
A． B．
C． D．
二次函数的应用
（2024·河北省邯郸·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手点处的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是若实心球落地点为，则 ______
1.如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽CD=（ ）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
2.已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是
A． B． C． D．
3.西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图建立坐标系后，可由函数确定，其中为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的值为
A．2 B．4 C．2或 D．4或
4.如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A．0＜t＜2 B．2≤t＜4 C．1≤t＜3 D．3≤t＜5
5.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是
A． B． C． D．
二次函数综合题
（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平而直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点到的距离桥塔的粗细忽略不计
求缆索所在抛物线的函数表达式；
点在缆索上，，且，，求的长．
1.已知，如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，点为轴下方的抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接、，求四边形面积的最大值；
（3）是否存在这样的点，使得点到和两边的距离相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标．
4.如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标．
（3）如图1，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标．
5.平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
